LAPLASZ-TRANSZFORMÁCIÓ: MEGHATÁROZÁS, TÖRTÉNELEM ÉS MI AZ - MATEMATIKA - 2025

A Laplasz-transzformáció az utóbbi években nagy jelentőséggel bír a mérnöki tanulmányokban, a matematikában és a fizikában, és többek között a tudomány iránti érdeklődés mellett egyszerű módszert kínál a következő problémák megoldására: tudomány és mérnöki munka.

Eredetileg a Laplace-transzformációt Pierre-Simón Laplace mutatta be a valószínűségi elmélet tanulmányában, és kezdetben pusztán elméleti érdeklődésű matematikai objektumként kezelték.

A jelenlegi alkalmazások akkor merülnek fel, amikor különféle matematikusok megpróbálták hivatalosan igazolni a Heaviside által az elektromágneses elmélet egyenleteinek tanulmányozása során alkalmazott „működési szabályokat”.

Meghatározás

Legyen f a t ≥ 0 -ra definiált függvény. A Laplace-transzformációt a következőképpen definiáljuk:

A Laplasz-transzformációról azt mondják, hogy létezik, ha az előző integrál konvergál, ellenkező esetben azt mondják, hogy a Laplasz-transzformáció nem létezik.

Általában kisbetűvel jelöljük a transzformálandó funkciót, a nagybetű pedig megfelel annak transzformációjának. Ily módon:

Példák

Vegyük az f (t) = 1 állandó függvényt. Megfigyelésünk szerint:

Ha az integrál konvergál, azaz amikor s> 0. Ellenkező esetben, s <0, az integrál eltér.

Legyen g (t) = t. Laplace-transzformációját megadja

Ha részekre integráljuk, és tudjuk, hogy a te-t ^értéke 0, ha t végtelenre hajlik, és s> 0, az előző példával együtt:

A transzformáció létezik vagy nem létezik, például az f (t) = 1 / t függvénynél az integrál, amely meghatározza a Laplace-transzformációt, nem konvergál, ezért transzformációja nem létezik.

Az f függvény Laplace-transzformációjának biztosításához elegendő feltétel az, hogy f darabonként folytonos, ha t ≥ 0, és exponenciális sorrendben van.

Azt mondják, hogy egy függvény darabonként folytonos, ha t ≥ 0, ha bármilyen intervallumnál a> 0, akkor véges számú t _k pont van , ahol f folytonosságot mutat, és folyamatos minden alintervallban.

Másrészt egy függvényt exponenciális c rendűnek mondják, ha olyan valós állandók vannak M> 0, c és T> 0, amelyek:

Példaként van, hogy f (t) = t ² jelentése az exponenciális érdekében, mivel -t ² - <e ^3T minden t> 0.

Hivatalosan a következő tétel létezik

Tétel (Megfelelő feltételek a létezéshez)

Ha f egy folyamatos függvény t> 0-ra és c exponenciális sorrendre, akkor a Laplace-transzformáció létezik s> c-nél.

Fontos megjegyezni, hogy ez egy elégségi feltétel, vagyis lehet, hogy van egy olyan funkció, amely nem felel meg ezeknek a feltételeknek, és még akkor is létezik Laplace-transzformációja.

Erre példa az f (t) = t ^-1/2 függvény, amely t ^darabonként nem folytonos t ≥ 0 esetén, de a Laplace-transzformáció létezik.

Néhány alapfunkció Laplasz transzformációja

Az alábbi táblázat a leggyakoribb funkciók Laplace-transzformációit mutatja.

Történelem

A Laplasz-transzformáció nevét Pierre-Simon Laplace-nek, egy francia matematikusnak és elméleti csillagásznak köszönheti, aki 1749-ben született és 1827-ben halt meg. Hírneve olyan volt, hogy Franciaország Newtonjának hívták.

1744-ben Leonard Euler a forma integrálására fordította tanulmányait

mint a közönséges differenciálegyenletek megoldását, de gyorsan felhagyott ezzel a vizsgálattal. Később, Joseph Louis Lagrange, aki nagymértékben csodálta Euler-t, szintén megvizsgálta az integrálok ilyen típusait, és a valószínűségi elmélethez kapcsolta őket.

1782, Laplace

1782-ben Laplace elkezdett tanulmányozni ezeket az integrálokat a differenciálegyenletek megoldásaként, és a történészek szerint 1785-ben úgy döntött, hogy újrafogalmazza a problémát, amely később a Laplace-transzformációkhoz vezetett, ahogyan azok ma érthetők.

Miután bevezették a valószínűségi elmélet területébe, az akkoriban csak kevés érdeklődést mutatott a tudósok számára, és csak matematikai objektumnak tekintették, amely csak elméleti érdeklődést mutatott.

Oliver Heaviside

A tizenkilencedik század közepén volt az, amikor Oliver Heaviside angol mérnök felfedezte, hogy a differenciális operátorok algebrai változókként kezelhetők, ezáltal Laplac-nak transzformálva modern alkalmazásukat.

Oliver Heaviside angol fizikus, villamosmérnök és matematikus volt, 1850-ben Londonban született és 1925-ben halt meg. Míg a rezgések elméletére alkalmazott differenciálegyenletek problémáinak megválaszolására és Laplace tanulmányainak felhasználásával kezdett kialakítani a A Laplace-transzformációk modern alkalmazásai.

A Heaviside által bemutatott eredmények gyorsan elterjedtek az akkori tudományos közösségben, de mivel munkája nem volt szigorú, a hagyományosabb matematikusok gyorsan kritizálták.

A Heaviside munkájának hasznossága a fizikai egyenletek megoldásában tette módszereit népszerűvé a fizikusok és a mérnökök körében.

E hátrányok ellenére és néhány évtizedes sikertelen kísérletek után a 20. század elején szigorú indoklást lehet adni a Heaviside által adott működési szabályoknak.

Ezek a kísérletek számos matematikus, például Bromwich, Carson, van der Pol erőfeszítéseinek köszönhetően hoztak eredményt.

Tulajdonságok

A Laplace-transzformáció tulajdonságai közül a következők emelkednek ki:

Linearitás

Legyenek c1 és c2 állandók, és f (t) és g (t) függvények, amelyek Laplase transzformációi F (s) és G (s), akkor:

Ennek a tulajdonságnak köszönhetően a Laplace-transzformációt lineáris operátornak mondják.

Példa

Első fordítási tétel

Ha ez történik:

És az 'a' bármilyen valós szám, tehát:

Példa

Mivel a cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) Laplace-transzformációja óta:

Második fordítási tétel

Igen

Így

Példa

Ha f (t) = t ^ 3, akkor F (s) = 6 / s ^ 4. És ezért a

G (s) = 6e ^-2s / s ^ 4

Skálaváltozás

Igen

És az 'a' nem nulla valóság, kell

Példa

Mivel az f (t) = sin (t) transzformációja F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1), így van

Laplace-származékok transzformációja

Ha f, f ', f' ',…, f ⁽ⁿ⁾ t folyamatos, ha t ≥ 0, és exponenciális rendű, és f ⁽ⁿ⁾ (t) darabonként folytonos, ha t ≥ 0, akkor

Az integrálok Laplasz-transzformációja

Igen

Így

Szorzás t-vel

Ha kell

Így

Osztás t szerint

Ha kell

Így

Periodikus funkciók

Legyen f egy periodikus függvény, amelynek T periódusa 0, azaz f (t + T) = f (t)

Az F (ek) viselkedése a végtelenségig hajlik

Ha f folytonos részekben és exponenciális sorrendben, és

Így

Inverz transzformációk

Amikor a Laplace-transzformációt f (t) függvényre alkalmazzuk, akkor F (s) -et kapunk, amely ezt a transzformációt képviseli. Ugyanígy mondhatjuk, hogy f (t) az F (s) inverz Laplasz-transzformációja, és így íródik

Tudjuk, hogy f (t) = 1 és g (t) = t Laplace-transzformációi F (s) = 1 / s, és G (s) = 1 / s ², tehát

Néhány általános fordított Laplace-transzformáció a következő

Ezenkívül az inverz Laplace-transzformáció lineáris, azaz igaz

Gyakorlat

megtalálja

Ennek a feladatnak a megoldásához össze kell hangolni az F (ek) függvényt az előző táblázat egyikével. Ebben az esetben, ha + 1 = 5-et veszünk, és az inverz transzformáció linearitási tulajdonságát használjuk, akkor szorzzuk és osztjuk 4-szel! Szerzés

A második inverz transzformációhoz részleges törteket alkalmazunk az F (s) függvény átírására, majd a linearitás tulajdonságára, így

Amint ezekből a példákból kiderül, általános, hogy az értékelt F (ek) függvény nem egyezik pontosan a táblázatban megadott függvényekkel. Ezekben az esetekben, amint látható, elegendő a függvény átírása, amíg el nem érjük a megfelelő űrlapot.

A Laplace-transzformáció alkalmazásai

Differenciál egyenletek

A Laplace-transzformációk fő alkalmazása a differenciálegyenletek megoldása.

A származék transzformációjának tulajdonságát felhasználva egyértelmű, hogy

Az n-1 származékok Y értéke t = 0-ban értékelt.

Ez a tulajdonság nagyon hasznosá teszi a transzformációt olyan kezdeti értékproblémák megoldására, amelyekben állandó együtthatókkal rendelkező differenciálegyenletek szerepelnek.

A következő példák bemutatják, hogyan lehet a Laplace-transzformációt felhasználni a differenciálegyenletek megoldására.

1. példa

Tekintettel a következő kezdeti érték problémára

A Laplace-transzformációval keresse meg a megoldást.

A Laplace-transzformációt alkalmazzuk a differenciálegyenlet minden tagjára

A származék transzformációjának tulajdonsága szerint

Az összes kifejezés fejlesztésével és az Y (k) törlésével

Részleges törtek felhasználásával írjuk újra a kapott egyenlet jobb oldalát

Végül célunk az y (t) függvény megtalálása, amely kielégíti a differenciálegyenletet. Az inverz Laplace-transzformáció használatával kapjuk az eredményt

2. példa

megfejt

Mint az előző esetben, a transzformációt az egyenlet mindkét oldalán, és külön-külön kifejezésenként alkalmazzuk.

Ily módon eredményünk van

Az adott kezdeti értékek helyettesítése és az Y (k) megoldása

Egyszerű törtek felhasználásával az alábbiak szerint írhatjuk meg az egyenletet

És az inverz Laplace-transzformáció alkalmazása eredményt ad nekünk

Ezekben a példákban tévesen következtethetünk arra, hogy ez a módszer nem sokkal jobb, mint a differenciálegyenletek megoldására szolgáló hagyományos módszerek.

A Laplace-transzformáció előnyei az, hogy nem kell paraméteres variációt alkalmazni, vagy aggódnia a meghatározhatatlan együttható módszer különböző esetei miatt.

A kezdeti érték problémák ezen módszerrel történő megoldásakor is a kezdeti feltételeket használjuk, tehát nem szükséges más számításokat végezni az adott megoldás megtalálásához.

Differenciálegyenletek rendszerei

A Laplace-transzformáció arra is felhasználható, hogy megoldásokat találjon a párhuzamos rendes differenciálegyenletekre, amint a következő példa bemutatja.

Példa

Elhatározás

A kezdeti feltételek mellett x (0) = 8 és y (0) = 3.

Ha kell

Így

A megoldás eredményeként ad nekünk

És a fordított Laplace-transzformáció alkalmazásával

Mechanika és elektromos áramkörök

A Laplasz-transzformáció nagy jelentőséggel bír a fizikában, főleg mechanikai és elektromos áramkörökben alkalmazható.

Egy egyszerű elektromos áramkör a következő elemekből áll

Kapcsoló, elem vagy forrás, induktor, ellenállás és kondenzátor. Amikor a kapcsoló zárva van, villamos áram jön létre, amelyet i (t) jelöl. A kondenzátor töltését q (t) jelöli.

Kirchhoff második törvényének megfelelően az E forrás által a zárt körben előállított feszültségnek egyenlőnek kell lennie az egyes feszültségek csökkenésével.

Az i (t) elektromos áram a kondenzátor q (t) töltésével függ össze i = dq / dt-vel. Másrészt az egyes elemek feszültségcsökkenését a következőképpen határozzuk meg:

Az ellenállás feszültségcsökkenése iR = R (dq / dt)

Az induktoron keresztüli feszültségcsökkenés L (di / dt) = L (d ² q / dt ²)

A feszültség esése a kondenzátoron q / C

Ezekkel az adatokkal és Kirchhoff második törvényének az egyszerű zárt áramkörre történő alkalmazásával egy második rendű differenciálegyenletet kapunk, amely leírja a rendszert és lehetővé teszi q (t) értékének meghatározását.

Példa

Az induktor, a kondenzátor és az ellenállás az E elemhez van csatlakoztatva, az ábra szerint. Az induktor 2 henry, a kondenzátor 0,02 farad és az ellenállás 16 oh. T = 0 időpontban az áramkör zárva van. A töltést és az áramot bármikor megtalálja t> 0, ha E = 300 volt.

Van, hogy ezt az áramkört leíró differenciálegyenlet a következő

Ahol a kezdeti feltételek q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

A Laplace-transzformáció alkalmazásával ezt kapjuk

És megoldja a Q (t) értéket

Ezután a fordított Laplace-transzformáció alkalmazásával

Irodalom

1. G. Holbrook, J. (1987). Laplasz transzformáció az elektronikai mérnökök számára. Limusa.
2. Ruiz, LM és Hernandez, MP (2006). Diferenciális egyenletek és Laplace-transzformáció alkalmazásokkal. Szerkesztői UPV.
3. Simmons, GF (1993). Differenciálegyenletek alkalmazásokkal és történelmi megjegyzésekkel. McGraw-Hill.
4. Spiegel, MR (1991). Laplasz transzformálódik. McGraw-Hill.
5. Zill, DG és Cullen, MR (2008). Differenciálegyenletek határérték-problémákkal. Cengage Learning Editores, SA