- Hogyan lehet megtalálni egy ötszög területét?
- Egy szabályos ötszög területe
- Szabálytalan ötszög területe
- Gauss-meghatározó
- Irodalom
Az ötszög területét háromszögelésnek nevezett módszer alkalmazásával kell kiszámítani, amely bármely sokszögre alkalmazható. Ez a módszer az ötszög három háromszögre osztását jelenti.
Ezután kiszámolják az egyes háromszögek területét, és végül hozzáadják az összes talált területet. Az eredmény az ötszög területe lesz.
Az ötszög más geometriai alakokra is felosztható, például trapéz alakú és háromszög alakú alakokra, például a jobb oldali ábra.
A probléma az, hogy a nagyobb alap hosszát és a trapéz magasságát nem könnyű kiszámítani. Ezenkívül ki kell számítani a piros háromszög magasságát.
Hogyan lehet megtalálni egy ötszög területét?
Az ötszög területének kiszámításához az általános módszer a háromszögelés, de a módszer egyértelmű vagy kissé hosszabb is lehet attól függően, hogy az ötszög szabályos-e vagy sem.
Egy szabályos ötszög területe
A terület kiszámítása előtt meg kell tudni, mi az apotema.
A szabályos ötszög (szabályos sokszög) apotémája a legkisebb távolság az ötszög (sokszög) középpontjától az ötszög (sokszög) egyik oldalának középpontjától.
Más szavakkal, az apothem a vonalszakasz hossza, amely az ötszög közepétől az egyik oldal középpontjáig megy.
Vegyünk egy szabályos ötszöget úgy, hogy oldalának hossza "L" legyen. Apotémájának kiszámításához először ossza meg az α középső szöget az oldalak számával, azaz α = 360º / 5 = 72º.
A trigonometrikus arányok alkalmazásával az apothem hosszát a következő képen látható módon számoljuk ki.
Ezért az apothem hossza L / 2tan (36º) = L / 1,45.
Az ötszög háromszög alakításával az alábbiakhoz hasonló ábrát kapunk.
Mind az 5 háromszög azonos területű (normál ötszög alakú). Ezért az ötszög területe ötszöröse a háromszög területének. Vagyis: egy ötszög területe = 5 * (L * ap / 2).
Az apothemát helyettesítve azt kapjuk, hogy a terület A = 1,72 * L².
Ezért a szabályos ötszög területének kiszámításához csak az egyik oldal hosszát kell tudnia.
Szabálytalan ötszög területe
Szabálytalan ötszögből indulunk, oldalainak hossza L1, L2, L3, L4 és L5. Ebben az esetben az apothem nem használható a korábbiak szerint.
A háromszögelés elvégzése után a következő ábra szerepel:
Most felhívjuk és kiszámoljuk ezen 5 belső háromszög magasságát.
Tehát a belső háromszögek területe T1 = L1 * h1 / 2, T2 = L2 * h2 / 2, T3 = L3 * h3 / 2, T4 = L4 * h4 / 2 és T5 = L5 * h5 / 2.
A h1, h2, h3, h4 és h5 értékei az egyes háromszögek magasságát jelentik.
Végül az ötszög területe ezen 5 terület összege. Vagyis A = T1 + T2 + T3 + T4 + T5.
Mint láthatja, a szabálytalan ötszög területének kiszámítása összetettebb, mint a normál ötszög területének kiszámítása.
Gauss-meghatározó
Van még egy módszer, amellyel kiszámolható bármilyen szabálytalan sokszög területe, az úgynevezett Gauss-determináns.
Ez a módszer a sokszög rajzolása a derékszög síkjára, majd az egyes csúcsok koordinátáinak kiszámítása.
A csúcsokat az óramutató járásával ellentétesen felsoroljuk, és végül kiszámolunk bizonyos meghatározókat, hogy végül megkapjuk a kérdéses sokszög területét.
Irodalom
- Alexander, DC és Koeberlein, GM (2014). Elemi geometria főiskolai hallgatók számára. Cengage tanulás.
- Arthur Goodman, LH (1996). Algebra és trigonometria analitikai geometriával. Pearson oktatás.
- Lofret, EH (2002). Táblázatok és képletek könyve / Szorzótáblák és képletek könyve. Ötletes.
- Palmer, CI, & Bibb, SF (1979). Gyakorlati matematika: számtani, algebra, geometria, trigonometria és csúsztaszabály (reprint ed.). Reverte.
- Posamentier, AS, és Bannister, RL (2014). Geometria, elemei és felépítése: Második kiadás. Courier Corporation.
- Quintero, AH és Costas, N. (1994). Geometria. A szerkesztőség, az UPR.
- Ruiz Á. És Barrantes, H. (2006). Geometries. Szerkesztői Tecnologica de CR.
- Torah, FB (2013). Matematika. 1. didaktikai egység 1. ESO, 1. kötet. Szerkesztő Klub Universitario.
- Víquez, M., Arias, R. és Araya, J. (sf). Matematika (hatodik év). EUNED.