GÖMB KOORDINÁTÁK: PÉLDÁK ÉS MEGOLDOTT FELADATOK - MATEMATIKA - 2026

A gömb alakú koordináták a háromdimenziós térben lévő helymeghatározási pontok halmazát képezik, amely sugárirányú koordinátát és két szögkoordinátát alkot, amelyeket poláris koordinátának és azimutális koordinátának neveznek.

Az 1. ábra, amelyet alább látunk, az M pont gömb koordinátáit (r, θ, φ) mutatja. Ezek a koordináták az O eredetű X, Y, Z derékszögű tengelyek merőleges rendszerére vonatkoznak.

1. ábra. Az M pont gömb alakú koordinátái (r, θ, φ) (wikimedia commons)

Ebben az esetben az M pont r koordinátája az attól a ponttól az O kiindulási távolságig terjed. A lar poláris koordináta a Z pozitív féltengely és az OM sugara vektor közötti szöget ábrázolja. Míg az im azimutális koordinátája a pozitív X tengely és az OM 'sugárvektor közötti szög, ahol M' az M merőleges merőleges vetülete az XY síkban.

Az r sugárirányú koordinátának csak pozitív értékei vannak, de ha egy pont az eredeti helyen található, akkor r = 0. A lar poláris koordináta minimum 0º értéket vesz fel a Z pozitív féltengelyen lévő pontoknál, és a pontok maximális értéke 180 ° a Z negatív féltengelyen helyezkedik el. Végül az im azimutális koordinátának legalább 0 ° -ot és maximális magasságát 360 ° kell venni.

0 ≤ r <∞

0 ≤ θ ≤ 180º

0 ≤ φ <360º

A koordináták megváltozása

Az M pont derékszögű koordinátáinak (x, y, z) megszerzését lehetővé tevő képleteket az alábbiakban adjuk meg, feltételezve, hogy ugyanazon (r, θ, point) pont gömbkoordinátái ismertek:

x = r Sen (θ) Cos (φ)

y = r Sen (θ) Sen (φ)

z = r Cos (θ)

Ugyanígy hasznos megtalálni a kapcsolatokat egy adott pont derékszögű koordinátáitól (x, y, z) az említett pont gömb alakú koordinátáig:

r = √ (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)

θ = Arctan (√ (x ^ 2 + y ^ 2) / z)

φ = Arctan (y / x)

Vektor alap gömb alakú koordinátákkal

A gömb alakú koordináták alapján meghatározzuk az alapvektorok ortonormális bázisát, amelyeket Ur, Uθ, Uφ jelölnek. Az 1. ábrán ez a három egységvektor látható, amelyek a következő jellemzőkkel rendelkeznek:

- Ur az egységvektor, amely a radiális vonalhoz puut, line = ctte és φ = ctte;

- Uθ az vector = ctte és r = ctte ív érintõ egységvektora;

- Uφ az egységvektor érintője az r = ctte és θ = ctte ívnél.

A vonal és a térfogat elemei gömb alakban

A térbeli pont helyzetvektorát gömb koordinátákban így írják:

r = r Ur

De egy pont végtelen változását vagy elmozdulását a háromdimenziós térben ezekben a koordinátákban a következő vektorviszony fejezi ki:

d r = dr Ur + r dθ Uθ + r Sen (θ) d φ Uφ

Végül egy végtelen dV térfogatot gömb koordinátákban írunk így:

dV = r ^ 2 Sen (θ) dr dθ dφ

Ezek a kapcsolatok nagyon hasznosak a vonal- és térfogat-integrálok kiszámításához gömbszimmetriájú fizikai helyzetekben.

Kapcsolat a földrajzi koordinátákkal

A földrajzi koordinátákat azoknak kell érteni, amelyek a föld felszínén lévő helyek meghatározására szolgálnak. Ez a rendszer a szélességi és hosszúsági koordinátákat használja a föld felszínének helyzetének meghatározására.

A földrajzi koordinátarendszerben a föld felszínét Rt sugarakkal gömb alakúnak tekintik, annak ellenére, hogy ismert, hogy a sarkoknál síkban van, és figyelembe vesszük a képzeletbeli vonalak halmazát, amelyet párhuzamoknak és meridiánoknak nevezünk.

2. ábra: A földfelszínen megfigyelő α hosszúsága és β szélessége.

A β szélesség egy szög, amelyet egy sugár alkot, amely a Föld középpontjától kezdve a pozícionálni kívánt pontig kezdődik. Az egyenlítői síktól mérik, ahogy az a 2. ábrán látható. Másrészt az α hosszúság az a szög, amelyet a felépülő pont meridiánja alakít ki a nulla meridiánhoz (Greenwichi meridián).

A szélesség lehet északi vagy déli szélesség, attól függően, hogy a helyét az északi féltekén vagy a déli féltekén találja-e. Hasonlóképpen, a hosszúsági fok nyugaton vagy keleten lehet, attól függően, hogy a hely nyugatra vagy keletre van-e a nulla meridiántól.

A földrajzi és gömb alakúvá váló képletek

Ezeknek a képleteknek az eléréséhez az első dolog egy koordinátarendszer létrehozása. Az XY síkot úgy választják meg, hogy egybeesjen az egyenlítői síkkal; a pozitív X féltengely az, amely a Föld középpontjától megy keresztül és áthalad a nulla meridiánon. Az Y tengely viszont áthalad a 90 ° É meridiánon, a Föld felületének Rt sugara van.

Ezzel a koordinátarendszerrel a földrajzi és gömb alakú transzformációk a következők:

αEβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = α)

αOβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = 360º-α)

αEβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = α)

αOβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = 360º-α)

Példák

1. példa

Palma de Mallorca (Spanyolország) földrajzi koordinátái:

Keleti hosszúság 38.847º és északi szélesség 39.570º. A Palma de Mallorca-nak megfelelő gömbkoordináták meghatározásához az előző szakaszban szereplő képletek közül az elsőt kell alkalmazni:

38,847ºE39,570ºN → (r = 6371 km, θ = 90º – 39,570º, φ = 38,847º)

A gömb koordinátái tehát:

Palma de Mallorca: (r = 6371 km, θ = 50,43º, φ = 38,85º)

Az előző válaszban r értéke megegyezik a Föld átlagos sugárával.

2. példa

Tudva, hogy a Malvinas (Falkland) szigetek földrajzi koordinátái 59ºO 51,75ºS, határozza meg a megfelelõ poláris koordinátákat. Ne feledje, hogy az X tengely a Föld középpontjától a 0 ° meridiánig és az egyenlítői síkon megy; az Y tengely az egyenlítői síkban is és a 90 ° nyugati meridiánon halad át; végül a Z tengely a Föld forgástengelyén dél-észak irányban.

A megfelelő gömb koordináták meghatározásához az előző szakaszban bemutatott képleteket használjuk:

59ºO 51,75ºS → (r = 6371 km, θ = 90º + 51,75º, φ = 360º – 59º), azaz

Malvinák: (r = 6371 km, θ = 141,75º, φ = 301º)

Feladatok

1. Feladat

Keresse meg a Palma de Mallorca derékszögű koordinátáit a 2. ábrán látható XYZ derékszögű referenciarendszerben.

Megoldás: Korábban, az 1. példában a gömbkoordinátákat Palma de Mallorca földrajzi koordinátáitól kezdve kaptuk meg. Tehát a fent bemutatott képletek felhasználhatók gömb alakútól derékszögűre:

x = 6371 km Sen (50,43º) Cos (38,85º)

y = 6371 km Sen (50,43º) Sen (38,85º)

z = 6371 km Cos (50,43º)

A megfelelő számítások elvégzése:

Palma de Mallorca: (x = 3825 km, y = 3081 km, z = 4059)

2. gyakorlat

Keresse meg a Falkland-szigetek derékszögű koordinátáit a 2. ábrán látható XYZ derékszögű referenciarendszerben.

Megoldás: Korábban, a 2. példában, a gömbkoordinátákat a Malvinas-szigetek földrajzi koordinátáitól kezdve kaptuk meg. Tehát a fent bemutatott képletek felhasználhatók gömb alakútól derékszögűre:

x = 6371 km Sen (141,75º) Cos (301º)

y = 6371 km Sen (141,75º) Sen (301º)

z = 6371 km Cos (141,75º)

A megfelelő számítások elvégzésével a következőket kapjuk:

Falkland-szigetek: (x = 2031 km, y = -3381 km, z = -5003)

Irodalom

1. Arfken G és Weber H. (2012). Matematikai módszerek a fizikusok számára. Átfogó útmutató. 7. kiadás. Academic Press. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Számítás cc. A hengeres és gömb koordináták megoldott problémái. Helyreállítva: calculo.cc
3. Csillagászat műhely. Szélesség és hosszúság. Helyreállítva: tarifamates.blogspot.com/
4. Weisstein, Eric W. "Gömb alakú koordináták". A MathWorld-A Wolfram web-ről. Helyreállítva: mathworld.wolfram.com
5. wikipedia. Gömb alakú koordináta-rendszer. Helyreállítva: en.wikipedia.com
6. wikipedia. Vektormezők hengeres és gömb koordinátákban. Helyreállítva: en.wikipedia.com