KVÁZI-VARIANCIA: KÉPLET ÉS EGYENLETEK, PÉLDÁK, GYAKORLAT - DUDAS - 2025

A kvázivariancia, kvázi variáció vagy elfogulatlan szórás a mintaadatok átlaghoz viszonyított eloszlásának statisztikai mértéke. A minta viszont egy adatsorból áll, amely egy nagyobb univerzumból, az úgynevezett populációból származik.

Több módon jelöljük, itt választottuk meg az _c ^{2 értéket,} és a következő képlettel számoltuk:

1. ábra: A kvázi-variancia meghatározása. Forrás: F. Zapata.

Ahol:

A kvázi-variancia hasonló az s ² varianciához, azzal a különbséggel, hogy a variancia nevezője n-1, míg a variancia nevezője csak n-el van osztva. Nyilvánvaló, hogy ha n nagyon nagy, akkor mindkettő értéke azonos.

Ha ismeri a kvázi-variancia értékét, azonnal megismerheti a variancia értékét.

Példák kvázi-varianciára

Gyakran meg akarja tudni minden lakosság jellemzőit: emberek, állatok, növények és általában bármilyen típusú tárgy. A teljes populáció elemzése azonban nem feltétlenül könnyű feladat, különösen, ha az elemek száma nagyon nagy.

Ezután mintákat vesznek abban a reményben, hogy viselkedésük tükrözi a lakosság viselkedését, és így következtetéseket tehetnek erről, amelynek köszönhetően az erőforrásokat optimalizálják. Ezt statisztikai következtetésnek nevezzük.

Íme néhány példa, amelyekben a kvázi-variancia és a hozzá tartozó kvázi-standard eltérés szolgál statisztikai mutatóként azzal, hogy megmutatja, hogy a kapott eredmények mennyiben vannak az átlagtól.

1.- Az autóakkumulátorokat gyártó cég marketing igazgatójának hónapokban meg kell becsülnie az akkumulátor átlagos élettartamát.

Ehhez véletlenszerűen kiválaszt egy mintát az adott márka 100 vásárolt eleméből. A társaság nyilvántartja a vásárlók adatait, és interjút készíthet velük, hogy megtudja, mennyi ideig tartanak az elemek.

2. ábra. A kvázi-variancia hasznos következtetések levonására és minőség-ellenőrzésre. Forrás: Pixabay.

2. Az egyetemi intézmény akadémiai vezetőségének meg kell becsülnie a következő év beiratkozását, elemezve azon hallgatók számát, akik várhatóan átadják a jelenleg tanulmányozott tantárgyakat.

Például a jelenleg a Fizika I-t vesz részt minden szakaszból a vezetés kiválaszthat egy hallgatói mintát, és elemezheti teljesítményét abban a székben. Ily módon megállapíthatja, hogy a következő időszakban hány hallgató vesz részt a fizika II-ben.

3.- A csillagászok egy csoportja az ég egy részére összpontosítja figyelmét, ahol bizonyos számú csillagot megfigyelnek, bizonyos jellemzőkkel: például méret, tömeg és hőmérséklet.

Felmerül az a kérdés, vajon egy másik hasonló régió csillagai ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkeznek, akár más galaxisok csillagai is, például a szomszédos Magellán felhők vagy Andromeda.

Miért kell osztani n-1-gyel?

A kvavavariánusban n helyett n-1-re osztják, és azért van így, mert a kvazivarátum elfogulatlan becslés, amint azt az elején elmondták.

Előfordul, hogy ugyanabból a populációból számos minta kivonható. Ezen minták mindegyikének szórása átlagolható, de ezen varianciák átlaga nem válik egyenlőnek a populáció varianciájával.

Valójában a minta varianciájának átlaga hajlamos alábecsülni a populációs varianciát, kivéve ha n-1-et használják a nevezőben. Megállapítható, hogy az E (s _c ²) kvázi-variancia várt értéke pontosan s ².

Ezért azt állítják, hogy a kvazisvariátor elfogulatlan és jobban becsüli a s ² populációs varianciát.

Alternatív módszer a kvazivariancia kiszámítására

Könnyen bebizonyítható, hogy a kvazvariancia a következőképpen is kiszámítható:

s _c ² = -

A standard pontszám

A minta eltérésével megmondhatjuk, hogy egy adott x érték hány standard eltérést mutat, az átlag felett vagy alatt.

Ehhez a következő méret nélküli kifejezést kell használni:

Normál pontszám = (x - X) / s _c

A feladat megoldódott

863 903 957 1041 1138 1204 1354 1624 1698 1745 1802 1883

a) Használja a kvázivariancia elején megadott meghatározását, és ellenőrizze az eredményt az előző szakaszban megadott alternatív forma segítségével.

b) Számítsa ki a második adat standard pontszámát, felülről lefelé olvasva.

Megoldás

A problémát kézzel, egy egyszerű vagy tudományos számológép segítségével lehet megoldani, amelyre sorrendben kell eljárni. És ehhez semmi jobb, mint az adatokat az alábbi táblázatba rendezni:

A táblázatnak köszönhetően az információk meg vannak rendezve, és a képletekben igényelt mennyiségek a megfelelő oszlopok végén vannak, azonnal felhasználásra készek. Az összegzéseket félkövér betűkkel jelöljük.

Az átlagos oszlop mindig megismétlődik, de megéri, mert kényelmes a látható érték megjelenése, a táblázat minden sorának kitöltése.

Végül alkalmazzuk az elején megadott kvízváltozós egyenletet, csak az értékeket helyettesítjük, és az összegzéshez hasonlóan már kiszámítottuk:

s _c ² = 1 593 770 / (12-1) = 1 593 770/11 = 144 888,2

Ez a kvazisváltozó értéke, és annak egységei "dollár négyzetben vannak", ami nem gyakorlatilag nagy jelentőséggel bír, tehát kiszámítják a minta kvázi-standard eltérését, amely nem más, mint a kvazisvariátor négyzetgyöke:

s _c = (√ 144 888,2) $ = 380,64 USD

Azonnal megerősítést nyer, hogy ezt az értéket a kvázi-variancia alternatív formájával is meg lehet kapni. A szükséges összeg a bal oldali utolsó oszlop végén található:

s _c ² = - = -

= 2,136,016,55 - 1,991,128,36 = 144,888 USD négyzetben

Ugyanaz az érték, amelyet az elején megadott képlettel kaptunk.

B. Megoldás

A második érték felülről lefelé 903, a standard pontszáma:

Normál pontszám: 903 = (x - X) / s _c = (903 - 1351) /380,64 = -1,177

Irodalom

1. Canavos, G. 1988. Valószínűség és statisztika: Alkalmazások és módszerek. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Valószínűség és statisztika a mérnöki és tudományos ismeretek számára. 8.. Kiadás. Cengage.
3. Levin, R. 1988. Statisztikák az adminisztrátorok számára. 2.. Kiadás. Prentice Hall.
4. A diszperzió mértéke. Helyreállítva: thales.cica.es.
5. Walpole, R. 2007. Valószínűség és statisztika a mérnöki és tudományos ismeretek számára. Pearson.