KÖTÉL (GEOMETRIA): HOSSZ, TÉTEL ÉS GYAKORLATOK - MATEMATIKA - 2026

A húr, sík geometria szerint, az a vonalszakasz, amely egy görbe két pontját egyesíti. Azt a vonalat, amely ezt a szegmenst tartalmazza, azt mondják, hogy a görbe metsző vonalát képezi. Ez gyakran egy kör, de az akkordok minden bizonnyal sok más görbére felhívhatók, például ellipszisekre és parabolákra.

Az 1. ábrán a bal oldalon van egy görbe, amelybe az A és B pontok tartoznak. Az A és B közötti akkord a zöld szegmens. Jobb oldalon van egy kerület és annak egyik húra, mivel lehetséges a végtelenségek rajzolása.

1. ábra. Balra egy tetszőleges görbe húrja és jobbra a kör húrja. Forrás: Wikimedia Commons.

A kerületén átmérője különösen érdekes, amelyet fő akkordnak is neveznek. Ez egy akkord, amely mindig tartalmazza a kerület középpontját és a sugár kétszeresét méri.

Az alábbi ábra a kerület sugárát, átmérőjét, húrját és ívét mutatja. A problémák megoldásakor fontos mindegyik helyes azonosítása.

2. ábra. A kerület elemei. Forrás: Wikimedia Commons.

Kör akkord hossza

Az akkord hosszát körben kiszámolhatjuk a 3a. És a 3b. Ábrából. Vegye figyelembe, hogy mindig háromszög alakul ki két egyenlő oldallal (egyenlő méretű): az OA és OB szegmensek, amelyek az kerület sugárát R mérik. A háromszög harmadik oldala az AB szegmens, úgynevezett C, amely pontosan az akkord hossza.

A C húrra merőleges vonalat meg kell húzni a két sugár között lévõ θ szög felszakításához, amelynek csúcsa a kör O középpontja. Ez egy központi szög - mivel a csúcsa a középpont -, és a felező vonal a kerülethez is kapcsolódik.

Azonnal két derékszögű háromszög képződik, amelynek hipoténusza R-t méri. Mivel a felező és vele együtt az átmérő osztja az akkordot két egyenlő részre, kiderül, hogy az egyik láb a C fele, ahogy az a 3b ábra

A szög szinuszának meghatározása alapján:

sin (θ / 2) = ellenkező láb / hipotenusz = (C / 2) / R

Így:

sin (θ / 2) = C / 2R

C = 2R sin (θ / 2)

3. ábra: A két sugár és a kerület húrja által alkotott háromszög egyenlő szélességű (3. ábra), mivel két azonos oldalával rendelkezik. A felező két jobb háromszögre osztja (3b. Ábra). Forrás: F. Zapata készítette.

Húros tétel

A húr tétel így működik:

Az alábbi ábra ugyanazon kerület két akkordját mutatja: AB és CD, amelyek keresztezik a P pontot. Az AB akkordban az AP és a PB szegmensek vannak definiálva, míg az akkordban a CD és PD a PD. Tehát a tétel szerint:

AP. PB = CP. Ui

4. ábra: Egy kör akkordtétele. Forrás: F. Zapata.

Megoldott húrok gyakorlata

- 1. Feladat

A körnek 48 cm-es akkordja van, amely 7 cm-re van a központtól. Számolja ki a kör területét és a kerület kerületét.

Megoldás

Az A kör területének kiszámításához elegendő a négyzet kerületének sugarat megismerni, mivel ez igaz:

A = π.R ²

A megadott adatokkal kialakított ábra egy derékszögű háromszög, amelynek lábai 7, illetve 24 cm.

5. ábra: A megoldott feladat geometriája 1. Forrás: F. Zapata.

Ezért az R ² értékének meghatározásához a Pythagora tételt c ² = a ² + b ² közvetlenül alkalmazzuk, mivel R a háromszög hipotenusza:

R ² = (7 cm) ² + (24 cm) ² = 625 cm ²

Tehát a kért terület:

A = π. 625 cm ² = 1963,5 cm ²

A kerület kerületét vagy hosszát L számítva:

L = 2π. R

Helyettesítő értékek:

R = √625 cm ² = 25 cm

L = 2π. 25 cm = 157,1 cm.

- 2. gyakorlat

Határozzuk meg egy kör húrjának hosszát, amelynek egyenlete:

x ² + y ² - 6x - 14 é -111 = 0

Az akkord középpontjának koordinátái P (17/2; 7/2).

Megoldás

A P akkord középpontja nem tartozik a kerülethez, de az akkord végpontjai ugyan. A problémát az előzőekben megadott húrteoremával lehet megoldani, de először célszerű a kerület egyenletét kanonikus formában írni, hogy meghatározzuk R sugarat és O középpontját.

1. lépés: kapja meg a kerület kanonikus egyenletét

A kör kanonikus egyenlete a központtal (h, k):

(xh) ² + (yk) ² = R ²

Ennek megszerzéséhez négyzetet kell kitöltenie:

(x ² - 6x) + (y ² - 14 é) -111 = 0

Vegye figyelembe, hogy a 6x = 2. (3x) és 14y = 2. (7y), így az előző kifejezés így kerül átírásra, változatlanul:

(x ² - 6x + 3 ² -3 ²) + (y ² - 14 év + 7 ² -7 ²) -111 = 0

És most, emlékezve a figyelemre méltó termék definíciójára (ab) ² = a ² - 2ab + b ², akkor írhat:

(x - 3) ² - 3 ² + (y - 7) ² - 7 ² - 111 = 0

= (x - 3) ² + (y - 7) ² = 111 + 3 ² + 7 ² → (x - 3) ² + (y - 7) ² = 169

A kerület középpontja (3,7) és sugara R = √169 = 13. Az alábbi ábra a kerület grafikáját és az akkordban használt akkordokat mutatja be:

6. ábra: A feloldott feladat kerületének grafikonja 2. Forrás: F. Zapata a Mathway online grafikus számológéppel.

2. lépés: határozza meg a karakterlánc-tételben használni kívánt szegmenseket

A használandó szegmensek a CD és az AB karakterláncok, a 6. ábra szerint, mindkettőt a P ponton vágják, ezért:

CP. PD = AP. PB

Most meg fogjuk találni az O és a P pont közötti távolságot, mivel ez megadja az OP szegmens hosszát. Ha hozzáadjuk a sugarat ehhez a hosszúsághoz, akkor a szegmens CP lesz.

A d _OP távolság két koordinátapont (x ₁, y ₁) és (x ₂, y ₂) között:

d _OP ² = OP ² = (x ₂ - x ₁) ² + (y ₂ - y ₁) ² = (3- 17/2) ² + (7- 7/2) ² = 121/4 + 49/4 = 170/4

d _OP = OP = √170 / 2

Az összes kapott eredményt, valamint a grafikont felépítve a következő szegmensek listáját készítjük (lásd a 6. ábrát):

CO = 13 cm = R

OP = √170 / 2 cm

CP = OP + R = 13 + √170 / 2 cm

PD = OD - OP = 13 - √170 / 2 cm

AP = PB

2.AP = akkord hossza

Helyettesítés a karakterlánc tételben:

CP. PD = AP. PB = = AP ²

= AP ²

253/2 = AP ²

AP = √ (253/2)

A húr hossza 2.AP = 2 (√253 / 2) = √506

Meg tudja oldani az olvasó a problémát más módon?

Irodalom

1. Baldor, A. 2004. Sík- és űrgeometria trigonometria segítségével. Publicaciones Cultural SA de CV México.
2. C-K12. Akkord hossza. Helyreállítva: ck12.org.
3. Escobar, J. The Circumference. Helyreállítva: matematicas.udea.edu.co.
4. Villena, M. Cónicas. Helyreállítva: dspace.espol.edu.ec.
5. Wikipedia. Kötél (geometria). Helyreállítva: es.wikipedia.org.