ÁTMÉRŐ: SZIMBÓLUMOK ÉS KÉPLETEK, HOGYAN LEHET ELÉRNI, KERÜLET - MATEMATIKA - 2026

Az átmérő az egyenes vonal, amely áthalad egy zárt lapos görbe vagy egy alak középpontjában két vagy három dimenzióban, és amely szintén csatlakozik ellentétes pontjaihoz. Ez általában egy kör (lapos görbe), egy kör (lapos alak), gömb vagy egy jobb kör alakú henger (háromdimenziós tárgyak).

Bár a kerületet és a kört általában szinonimáknak tekintik, a két kifejezés között különbség van. A kerület a zárt görbe, amely körülveszi a kört, amely megfelel annak a feltételnek, hogy bármely pontja és a középpont közötti távolság megegyezik. Ez a távolság nem más, mint a kerület sugara. Ehelyett a kör egy lapos alak, amelyet a kerület határol.

1. ábra. A kerékpár-kerekek átmérője fontos elem a kialakításukban. Forrás: Pixabay.

Kerület, kör és gömb esetében az átmérő egy egyenes szegmens, amely legalább három pontot tartalmaz: a kerület vagy kör széle középpontját plusz két pontjával, vagy a gömb felületével.

És ami a jobb kör alakú hengert illeti, az átmérő a keresztmetszetre vonatkozik, amely a magassággal együtt két jellemző paramétere.

A kerület és a kör átmérője, amelyet ø vagy egyszerűen „D” vagy „d” betű szimbólummal jelöl, a kerületéhez, körvonalához vagy hosszához kapcsolódik, amelyet L betű jelöl:

L = π.D = π. vagy

Ha van kerület, akkor a hossza és átmérője hányadosa az irrációs szám π = 3.14159…, így:

π = L / D

Hogyan szerezzük meg az átmérőt?

Ha rajta van a kerület vagy a kör, vagy közvetlenül a kör alakú tárgy, például érme vagy gyűrű, akkor nagyon könnyű vonalzóval megtalálni az átmérőt. Csak azt kell ellenőriznie, hogy az vonalzó széle egyszerre érinti-e a kerület két pontját és annak középpontját.

A féknyereg, a szegéllyel vagy féknyereg nagyon alkalmas az érmék, karika, gyűrűk, anyák, csövek és egyéb elemek külső és belső átmérőinek mérésére.

2. ábra. Az érme átmérőjének mérésére szolgáló digitális vernier. Forrás: Pixabay.

Ha az objektum vagy rajza helyett olyan adatokkal rendelkezünk, mint például az R sugár, akkor szorozva 2-vel, akkor átmérőnk van. És ha a kerület hossza vagy kerülete ismert, akkor az átmérő is tisztítható:

Az átmérő meghatározásának másik módja a kör területének, a gömbfelületnek, a henger keresztmetszetének, a henger ívelt területének vagy a gömb vagy henger térfogatának ismerete. Minden attól függ, milyen geometriai ábra ez. Például az átmérő a következő területeken és térfogatokban szerepel:

-A kör területe: π. (D / 2) ²

-A gömbfelület területe: 4π. (D / 2) ²

-A gömb tömege: (4/3) π. (D / 2) ³

-A jobb kör alakú henger: π. (D / 2) ².H (H a henger magassága)

Állandó szélességű számok

A kör állandó szélességű lapos alak, mivel bárhová nézzük, a szélesség a D átmérő. Vannak azonban talán kevésbé ismert alakok, amelyek szélessége szintén állandó.

Először nézzük meg, hogy mit értünk egy ábra szélességében: ez a két párhuzamos vonal - a támogató vonal - közötti távolság, amelyek viszont merőlegesek az adott irányra, és amelyek beágyazják az ábrát, ahogy a bal oldali képen látható:

3. ábra: Bármely lapos ábra (balra) és a Reuleaux háromszög szélessége, állandó szélességű ábra (jobbra). Forrás: F. Zapata.

Jobb mellett a Reuleaux háromszög, amely állandó szélességű alak, és amely megfelel a bal oldali ábrán megadott feltételnek. Ha az ábra szélessége D, annak kerületét Barbier-tétel adja:

L = π.D

A kaliforniai San Francisco városának csatornája Reuleaux háromszög alakú, amelyet a német mérnök, Franz Reuleaux (1829 - 1905) neveztek el. Ilyen módon a fedelek nem eshetnek át a lyukon, és kevesebb anyagot kell felhasználni a gyártásukhoz, mivel a területük kisebb, mint a kör területe:

A = (1- √3).πD ² = 0.705.D ²

Míg egy kört:

A = π (D / 2) ² = (π / 4) D ² = 0,785, D ²

De ez a háromszög nem az egyetlen állandó szélességű alak. Az úgynevezett Reuleaux sokszögeket építhet más sokszögekkel is, amelyek páratlan számú oldala van.

Egy kerület átmérője

A következő ábrán a kör elemei az alábbiak szerint vannak meghatározva:

Chord: vonalszakasz, amely a kerület két pontját összeköti. Az ábrán a C és D pontokat összekötő akkord található, de végtelen akkordokat lehet rajzolni, amelyek a kerület bármely pontjára csatlakoznak.

Átmérő: az akkord áthalad a középen, és a kerület két pontját összeköti az O központtal. Ez egy kerület leghosszabb akkordja, ezért nevezik „fő akkordnak”.

Sugár: egy vonalszakasz, amely a kerület bármely pontjával kapcsolódik a középponthoz. Értéke, mint az átmérő, állandó.

Kerület: az összes pont halmaza, amely egyenlő távolságra van O-tól.

Ív: úgy határozza meg, mint egy két sugárral határolt kerületi szegmens (az ábrán nem rajzolódik ki).

4. ábra: A kerületnek a közepén áthaladó része, beleértve az átmérőt is. Forrás: Wikimedia Commons.

- 1. példa

A bemutatott téglalap 10 hüvelyk magas, és hengerelve egy jobb, kör alakú hengert képez, amelynek átmérője 5 hüvelyk. Válaszolj a következő kérdésekre:

5. ábra: A hengerelt téglalap egy jobb kör alakú hengerré válik. Forrás: Jiménez, R. Matematika II. Geometria és trigonometria. 2.. Kiadás. Pearson.

a) Mi a cső kontúrja?

b) Keresse meg a téglalap területét

c) Keresse meg a henger keresztmetszetét.

Megoldás

A cső körvonala L = π.D = 5π in = 15,71 in.

B. Megoldás

A téglalap területe x alap magasság, az L alapot már kiszámítottuk, és a magasság 10 hüvelyk az állítás szerint, ezért:

A = 15,71 in x 10 in = 157,1 in ².

C. Megoldás

Végül a kért területet így kell kiszámítani:

A = π (D / 2) ² = (π / 4) D ² = (π / 4) x (5 in.) ² = 19,63 in. ².

- 2. példa

Számítsa ki az 5a. Ábrán látható árnyékolt területet. A négyzetnek az L oldala van.

6. ábra. Keresse meg az árnyékolt területet a bal oldali ábrán. Jiménez, R. Matematika II. Geometria és trigonometria. 2.. Kiadás. Pearson.

Megoldás

Az 5b. Ábrán két azonos méretű félkört rajzoltak rózsaszínű és kék színben, az eredeti ábra fölé helyezve. Között egy teljes kört képeznek. Ha megtalálta a négyzet területét és kivonja a kör területét, akkor az 5b. Ábrán látható árnyékolt területet hozhatja létre. És alaposan megnézve kiderül, hogy az 5a-os árnyékolt terület fele.

-Space terület: L ²

-A félkör

átmérője: L- A kör területe: π. (L / 2) ² = (π / 4) L ²

-A területek különbsége = az árnyékolt terület fele =

L ² - (π / 4) L ² = L ² = 0,2146 L ²

- Árnyékolt terület = 2 x 0,2146 L ² = 0,4292L2

Hány átmérője van egy kerületnek?

Végtelen átmérőket rajzolhat egy körre, és ezek közül bármelyik mérhető.

Irodalom

1. Antonio. Reuleaux háromszögek és más állandó szélességű görbék. Helyreállítva: divulgators.com.
2. Baldor, A. 2002. Sík- és űrgeometria és trigonometria. Patria Kulturális Csoport.
3. Jiménez, R. Matematika II. Geometria és trigonometria. 2.. Kiadás. Pearson.
4. Wikipedia. Reuleaux háromszög. Helyreállítva: es.wikipedia.org.
5. Wolfram MathWorld. Átmérő. Helyreállítva: mathworld.wolfram.com.