- Példák a polinom fokára
- 1. táblázat: Példák a polinomokra és azok fokára
- A polinomokkal végzett munka menete
- Rendezze, redukálja és töltse ki a polinomot
- A polinom fokának fontossága az összeadás és kivonás során
- Megoldott gyakorlatok
- - A feladat megoldva 1
- Megoldás
- - A feladat megoldva 2
- Megoldás
- Irodalom
A változóban a polinom fokát a legnagyobb exponenssel rendelkező kifejezés adja, és ha a polinomnak két vagy több változója van, akkor a fokot az egyes kifejezések kitevőinek összege határozza meg, a nagyobb összeg a fok a polinom.
Lássuk, hogyan lehet praktikus módon meghatározni a polinom fokát.
1. ábra: Einstein híres E energia-egyenlete a változó tömeg m abszolút fokának 1. abszolút mértéke, m-vel jelölve, mivel a c fénysebességet állandónak tekintik. Forrás: Piqsels.
Tegyük fel, hogy a P (x) polinom = -5x + 8x 3 + 7 - 4x 2. Ez a polinom egy változó, ebben az esetben az x változó. Ez a polinom több kifejezésből áll, amelyek a következők:
És most mi az exponens? A válasz 3. Ezért a P (x) a 3. fokú polinom.
Ha a kérdéses polinomnak egynél több változója van, akkor a fok lehet:
-Abszolút
-A változóhoz viszonyítva
Az abszolút mértéket az elején leírtak szerint találjuk: összeadjuk az egyes kifejezések kitevőit és kiválasztjuk a legnagyobbat.
Ehelyett a polinom mértéke az egyik változóhoz vagy betûhöz viszonyítva az az exponens legnagyobb értéke, amely az említett betûvel rendelkezik. A lényeg világosabbá válik a következő szakaszokban szereplő példákkal és megoldott gyakorlatokkal.
Példák a polinom fokára
A polinómokat fok szerint lehet osztályozni, és lehet első fokozat, második fokozat, harmadik fokozat és így tovább. Az 1. ábra példájában az energia a tömeg első fokozatú monómája.
Fontos megjegyezni, hogy a polinom kifejezéseinek száma megegyezik a fok plusz 1. Így:
- Az első fokú polinomoknak két kifejezése van: a 1 x + a o
-A második fokú polinomnak 3 kifejezése van: a 2 x 2 + a 1 x + a o
-A harmadik fokú polinomnak 4 kifejezése van: a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a vagy
Stb. A figyelmes olvasó észreveszi, hogy a korábbi példákban szereplő polinomok csökkenő formában vannak írva, vagyis a kifejezést a legnagyobb mértékben helyezik az első helyre.
Az alábbi táblázat különféle polinómokat mutat, mind az egy, mind a több változót, valamint azok abszolút fokát:
1. táblázat: Példák a polinomokra és azok fokára
| Polinom | Fokozat |
|---|---|
| 3x 4 + 5x 3 -2x + 3 | 4 |
| 7x 3 -2x 2 + 3x-6 | 3 |
| 6 | 0 |
| X-1 | egy |
| X 5 -bx 4 + ABX 3 + ab 3 x 2 | 6 |
| 3x 3 és 5 + 5x 2 és 4 - 7xy 2 + 6 | 8 |
Az utolsó két polinomnak egynél több változója van. Ezek közül a legmagasabb abszolút fokú kifejezést félkövér betűvel kiemeljük, hogy az olvasó gyorsan ellenőrizze a fokot. Fontos megjegyezni, hogy ha a változónak nincs írott exponense, akkor azt kell érteni, hogy az említett exponens egyenlő 1-gyel.
Például a kiemelt ab 3 x 2 kifejezésben három változó létezik, nevezetesen: a, b és x. Ebben a kifejezésben az a értéke 1-re növekszik, azaz:
a = a 1
Ezért ab 3 x 2 = a 1 b 3 x 2
Mivel b kitevője 3 és x értéke 2, azonnal következik, hogy ennek a kifejezésnek a mértéke:
1 + 3 + 2 = 6
Y a polinom abszolút foka, mivel egyetlen más kifejezésnek sem lehet magasabb fokú.
A polinomokkal végzett munka menete
Polinomokkal történő munkavégzésnél fontos figyelni annak fokára, mivel azelőtt, mielőtt bármilyen műveletet elvégeznénk, kényelmes a következő lépések végrehajtása, amelyek során a fok nagyon fontos információkat nyújt:
- Rendelje meg a preferenciapolinomot csökkenő irányban. Így a legmagasabb fokú kifejezés bal oldalon van, a legalacsonyabb fokú kifejezés pedig a jobb oldalon.
- Csökkentse a hasonló kifejezéseket: egy olyan eljárás, amelynek során az kifejezésben található azonos változó és fokozat összes kifejezését algebrai módon összeadjuk.
-Ha szükséges, a polinomok kitöltésre kerülnek, beillesztve azokat a kifejezéseket, amelyek együtthatója 0, abban az esetben, ha hiányoznak egy kifejezések.
Rendezze, redukálja és töltse ki a polinomot
Tekintettel a P (x) = 6x 2 - 5x 4 - 2x + 3x + 7 + 2x 5 - 3x 3 + x 7 -12 polinomra, azt kérjük, hogy csökkenő sorrendben rendelje el, csökkentse a hasonló kifejezéseket, ha vannak, és töltse ki a hiányzó kifejezéseket. ha pontos.
Az első dolog, amit meg kell keresni, a legnagyobb exponenciájú kifejezés, amely a polinom foka, amely kiderül, hogy:
x 7
Ezért P (x) a 7. fokozatú. Ezután a polinomot elrendezzük, a bal oldali kifejezéssel kezdve:
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 - 2x + 3x + 7-12
Most a hasonló kifejezéseket csökkentették, amelyek a következők: - 2x és 3x egyrészt. És a másik pedig a 7 és -12. Ezek csökkentése érdekében az együtthatókat algebrai módon adják hozzá, és a változót változatlanul hagyják (ha a változó nem jelenik meg az együttható mellett, ne feledje, hogy x 0 = 1):
-2x + 3x = x
7 -12 = -5
Cserélje le ezeket az eredményeket P (x) értékre:
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 + x -5
És végül a polinomot megvizsgáljuk, hogy hiányzik-e valamilyen exponenst, és valóban hiányzik-e egy olyan kifejezés, amelynek exponenciája 6, ezért a következő nullákkal egészítik ki:
P (x) = x 7 + 0x 6 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 + x - 5
Most megfigyelhető, hogy a polinomnak 8 kifejezés maradt, mivel ahogy korábban már említettük, a kifejezések száma egyenlő + 1 fokkal.
A polinom fokának fontossága az összeadás és kivonás során
A polinomokkal összeadási és kivonási műveleteket hajthat végre, amelyekben csak hasonló kifejezéseket adnak össze vagy vonnak le, amelyek azonos változóval és azonos fokúak. Ha nincsenek hasonló kifejezések, akkor az összeadást vagy kivonást egyszerűen meg kell jelölni.
Miután elvégeztük az összeadást vagy a kivonást, az utóbbi az ellenkező érték összege, a kapott polinom mértéke mindig egyenlő vagy kevesebb, mint a legmagasabb fokot hozzáadó polinom mértéke.
Megoldott gyakorlatok
- A feladat megoldva 1
Keresse meg a következő összeget és határozza meg annak abszolút fokát:
a 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + a 3 + 14ax 2 - x 3
Megoldás
Ez egy kétváltozós polinom, tehát kényelmes a hasonló kifejezéseket redukálni:
a 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + a 3 + 14ax 2 - x 3 =
= a 3 + 3a 3 + a 3 - 8ax 2 - 6ax 2 + 14ax 2 + 5a 2 x - 5a 2 x + x 3 - x 3 - x 3 - x 3 =
= 5a 3 - 2x 3
Mindkét kifejezés mindegyik változóban 3. fokozatú. Ezért a polinom abszolút mértéke 3.
- A feladat megoldva 2
Mutassa be a következő sík geometriai ábra területét polinom formájában (2. ábra balra). Mekkora a kapott polinom mértéke?
2. ábra. Bal oldalon a 2. feladat ábrája és a jobb oldalon ugyanaz az ábra három területre oszlik, amelyek kifejezése ismert. Forrás: F. Zapata.
Megoldás
Mivel ez egy terület, a kapott polinomnak 2. fokúnak kell lennie az x változóban. A terület megfelelő kifejezésének meghatározásához az ábrát ismert területekre bontjuk:
A téglalap és a háromszög területe: alap x magasság és alap x magasság / 2
A 1 = x. 3x = 3x 2; A 2 = 5. x = 5x; A 3 = 5. (2x / 2) = 5x
Megjegyzés: a háromszög alapja 3x - x = 2x, magassága 5.
Most hozzáadjuk a kapott három kifejezést, és ezzel megkapjuk az ábra területét x függvényében:
3x 2 + 5x + 5x = 3x 2 + 10x
Irodalom
- Baldor, A. 1974. Elemi algebra. Cultural Venezolana SA
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
- Wikikönyvek. Polinomok. Helyrehozva: es. wikibooks.org.
- Wikipedia. Fok (polinom). Helyreállítva: es.wikipedia.org.
- Zill, D. 1984. Algebra és trigonometria. Mac Graw Hill.