- Milyen méretek vannak?
- Háromdimenziós tér
- A negyedik dimenzió és az idő
- A hiperkocka koordinátái
- Hiperkocka kibontása
- Irodalom
A hiperkocka egy n méretű kocka. A négydimenziós hiperkocka sajátos esetét tesseraktumnak nevezzük. A hiperkocka vagy n-kocka egyenes szegmensekből áll, egyenlő hosszúságúak, amelyek csúcsukra merőlegesen állnak.
Az emberek háromdimenziós teret érzékelnek: szélességet, magasságot és mélységet, de számunkra nem lehetséges a 3-nál nagyobb dimenziós hibakocka megjelenítésére.
1. ábra: A 0-kocka egy pont, ha ez a pont egy irányba halad egy távolságból egy 1-kockát alkot, ha az 1-kocka az a távolságot merőleges irányban merőleges, akkor van egy 2-kocka (x oldalról a) oldalra, ha a 2 kocka az a távolságot merőleges irányban haladja meg, akkor van egy 3 kocka. Forrás: F. Zapata.
Legfeljebb háromdimenziós térben vetíthetjük azt, hogy ábrázoljuk, hasonló módon, ahogyan egy kockát egy síkra vetítünk, hogy ábrázoljuk.
A 0. dimenzióban az egyetlen ábra a pont, tehát a 0-kocka egy pont. Az 1 kocka egy egyenes szegmens, amelyet úgy alakítunk ki, hogy egy pontot egy irányba mozgatunk egy a távolságra.
A maga részéről egy 2 kocka négyzet. Az 1 kocka (az a hosszúságú szegmens) y irányba való eltolásával készül, amely merőleges az x irányra, az a távolságra.
A 3-kocka a közös kocka. A négyzetből úgy építik fel, hogy az a és az x távolság felé merőleges harmadik irányba (z) mozog, amely merőleges az x és y irányokkal.
2. ábra: A 4 kocka (tesseract) egy 3 kocka kiterjesztése az ortogonális irányban a három hagyományos térbeli irányra. Forrás: F. Zapata.
A 4 kocka az a tesseraktum, amelyet egy 3 kocka épít fel, amely mozgatja azt merőlegesen, a távolságból, egy negyedik dimenzió (vagy negyedik irány) felé, amelyet nem tudunk érzékelni.
A tesszereknek minden derékszöge van, 16 csúcsa van, és az összes széle (összesen 18) azonos hosszúságú a.
Ha egy n méretű n-kocka vagy hiperkocka éleinek hossza 1, akkor ez egy egység hiperkocka, amelyben a leghosszabb átló az √n.
3. ábra: Az n-kocka egy (n-1) -kockaből származik, amely a következő dimenzióban merőlegesen meghosszabbodik. Forrás: wikimedia commons.
Milyen méretek vannak?
A méretek a szabadság foka vagy az esetleges irányok, ahová az objektum mozoghat.
A 0 dimenzióban nincs lehetőség lefordításra, és az egyetlen lehetséges geometriai objektum a pont.
Az euklideszi téren egy dimenziót egy orientált vonal vagy tengely képvisel, amely meghatározza azt a méretet, az úgynevezett X tengely. A két A és B pont közötti távolság az euklideszi távolság:
d = √.
Két dimenzióban a teret két, egymásra merőleges irányú vonal képviseli, amelyeket X tengelynek és Y tengelynek nevezünk.
A kétdimenziós tér bármely pontjának helyét a derékszögű koordináták párja adja meg (x, y), és a két A és B pont közötti távolság:
d = √
Mert ez egy olyan hely, ahol Euklidész geometriája teljesül.
Háromdimenziós tér
A háromdimenziós tér az a tér, amelyben mozogunk. Három iránya van: szélesség, magasság és mélység.
Egy üres helyiségben a merőleges sarkok megadják ezt a három irányt, és mindegyikhez asszociálhatunk egy tengelyt: X, Y, Z.
Ez a szóköz szintén euklidészi, és a két A és B pont közötti távolságot a következőképpen kell kiszámítani:
d = √
Az emberi lények csak három térbeli (vagy euklideszi) dimenziót érzékelhetnek.
Szigorúan matematikai szempontból lehetséges egy n-dimenziós euklideszi tér meghatározása.
Ebben a térben egy pont koordinátái: (x1, x2, x3,….., xn), és a két pont közötti távolság:
d = √.
A negyedik dimenzió és az idő
Valójában, a relativitáselméletben az időt egy további dimenzióként kezelik, és egy koordinátát társítanak hozzá.
De tisztázni kell, hogy ez az időhöz kapcsolódó koordináták egy képzeletbeli szám. Ezért a két pont vagy esemény elválasztása a tér-időben nem euklideszi, hanem inkább a Lorentz-metrikát követi.
A négydimenziós hiperkocka (a tesserakt) nem él tér-időben, egy négydimenziós euklideszi hipertérhez tartozik.
4. ábra: Négydimenziós hibakocka 3D vetítése egyszerű elforgatással egy sík körül, amely elosztja az képet elölről balra, hátulról jobbra és felülről lefelé. Forrás: Wikimedia Commons.
A hiperkocka koordinátái
Az n-kocka csúcsainak koordinátái az origónál középen a következő kifejezés összes lehetséges permutációjának elvégzésével nyerhetők ki:
(a / 2) (± 1, ± 1, ± 1,…., ± 1)
Ahol a szél hossza.
-A n szélű n-kocka térfogata: (a / 2) n (2 n) = a n.
-A leghosszabb átló az egymással szemben lévő csúcsok közötti távolság.
-A következők egymással ellentétes csúcsok vannak egy négyzetben: (-1, -1) és (+1, +1).
-És egy kocka: (-1, -1, -1) és (+1, +1, +1).
-N -kocka leghosszabb átlója a következő:
d = √ = √ = 2√n
Ebben az esetben feltételezték, hogy az oldal a = 2. Egy n-kockának bármelyik oldalához ez lesz:
d = a√n.
-A tesseract mind a 16 csúcsa négy élhez csatlakozik. A következő ábra azt mutatja, hogy a csúcsok hogyan kapcsolódnak egy tesztbe.
5. ábra. A négydimenziós hibakocka 16 csúcsa és azok összekapcsolásának módja látható. Forrás: Wikimedia Commons.
Hiperkocka kibontása
Egy szabályos geometriai ábra, például egy poliéder, több kisebb méretű alakba kibontható.
2 kocka (négyzet) esetén négy részre osztható, vagyis négy 1 kocka.
Hasonlóképpen egy 3 kocka hat 2 kockának is kibontható.
6. ábra. Egy n-kocka több (n-1) -kockára is kibontható. Forrás: Wikimedia Commons.
Egy 4 kocka (tesseract) nyolc 3 kocka méretűre kibontható.
A következő animáció bemutatja egy teszt tárgya kibontakozását.
7. ábra. A 4-dimenziós hibakocka nyolc háromdimenziós kockának kibontható. Forrás: Wikimedia Commons.
8. ábra. Egy négydimenziós hibakocka háromdimenziós vetítése, amely kettős forgást hajt végre két ortogonális sík körül. Forrás: Wikimedia Commons.
Irodalom
- Tudományos kultúra. Hiperkocka, a negyedik dimenzió megjelenítésére. Helyreállítva a következő webhelyről: culturac Scientifica.com
- Epsilons. Négydimenziós hiperkocka vagy tesserakt. Helyreállítva: epsilones.com
- Perez R, Aguilera A. Eljárás egy textrakt előállításához egy hiperkocka (4D) kifejlesztésével. Helyreállítva: researchgate.net
- Wikikönyvek. Matematika, Polyhedra, Hypercube. Helyreállítva: es.wikibooks.org
- Wikipedia. Hypercube. Helyreállítva: en.wikipedia.com
- Wikipedia. Tesseract. Helyreállítva: en.wikipedia.com