A lineáris interpoláció olyan módszer, amely az általános Newton-interpolációt és közelítést eredményezi egy ismeretlen érték meghatározására, amely két megadott szám között van; vagyis egy közbenső értéket találunk. Közelítő függvényekre is alkalmazzák, ahol az f (a) és f (b) értékek ismertek, és meg akarjuk tudni az f (x) köztitermét.
Különböző típusú interpoláció létezik, például lineáris, kvadratikus, köbös és magasabb fokok, a legegyszerűbb a lineáris közelítés. A lineáris interpolációval fizetendő ár az, hogy az eredmény nem lesz olyan pontos, mint a magasabb fokú funkciókat használó közelítéseknél.
Meghatározás
A lineáris interpoláció olyan folyamat, amely lehetővé teszi az érték két jól definiált érték, vagyis egy táblázatban vagy egy vonaldiagramon megadott érték közötti levezetését.
Például, ha tudod, hogy 3 liter tej értéke 4 dollár, és 5 liter 7 dollár, de szeretné tudni, hogy mi a 4 liter tej értéke, akkor interpolálva határozza meg ezt a köztes értéket.
Módszer
A függvény közbenső értékének becsléséhez az f (x) függvényt r (x) egyenes segítségével közelítjük, ami azt jelenti, hogy a függvény lineárisan változik «x« -nel az «x = a» és «x = szekcióknál. b "; vagyis az (x 0, x 1) és (y 0, y 1) intervallumban lévő "x" érték esetében az "y" értékét a pontok közötti vonal adja meg, és a következő kapcsolat kifejezi:
(y - y 0) ÷ (x - x 0) = (y 1 - y 0) ÷ (x 1 - x 0)
Ahhoz, hogy az interpoláció lineáris legyen, az interpoláció polinomának egy fokozatúnak kell lennie (n = 1), hogy illeszkedjen x 0 és x 1 értékéhez .
A lineáris interpoláció a háromszögek hasonlóságain alapszik, oly módon, hogy az előző kifejezésből geometriailag levezetve megkapható az "y" értéke, amely az "x" ismeretlen értékét képviseli.
Így kell:
a = tan Ɵ = (az ellenkező láb 1 ÷ szomszédos 1. láb) = (szemben a 2. láb ÷ szomszédos 2. láb)
Más módon kifejezve:
(y - y 0) ÷ (x - x 0) = (y 1 - y 0) ÷ (x 1 - x 0)
Megoldva a kifejezések «és» kifejezéseit:
(y - y 0) * (x 1 - x 0) = (x - x 0) * (y 1 - y 0)
(y - y 0) = (y 1 - y 0) *
Így a lineáris interpoláció általános egyenletét kapjuk:
y = y 0 + (y 1 - y 0) *
Általában véve, a lineáris interpoláció kis hibát okoz a valódi függvény valós értékén, bár a hiba minimális ahhoz képest, ha intuitív módon választ egy számot, amely közel áll a keresetthez.
Ez a hiba akkor fordul elő, ha egy görbe értékét egyenes vonallal próbáljuk megközelíteni; Ezekben az esetekben az intervallum méretét csökkenteni kell a közelítés pontosabbá tétele érdekében.
A közelítéssel kapcsolatos jobb eredmények érdekében az interpoláció elvégzéséhez ajánlatos a 2., 3. vagy annál magasabb fokú funkciókat használni. Ezekben az esetekben a Taylor tétel nagyon hasznos eszköz.
Megoldott gyakorlatok
1. Feladat
Az inkubációban x óra elteltével lévõ baktériumok számát térfogatrészre a következõ táblázat tartalmazza. Szeretné tudni, hogy mekkora a baktériummennyiség 3,5 órán keresztül.
Megoldás
A referenciatábla nem határoz meg olyan értéket, amely 3,5 órás időtartamra jelzi a baktériumok mennyiségét, de vannak felső és alsó értékek, amelyek a 3 és 4 óra időtartamnak felelnek meg. Úgy:
x 0 = 3 és 0 = 91
x = 3,5 y =?
x 1 = 4 és 1 = 135
Most a matematikai egyenletet alkalmazzuk az interpolált érték meghatározására, amely a következő:
y = y 0 + (y 1 - y 0) *.
Ezután a megfelelő értékek helyébe lép:
y = 91 + (135 - 91) *
y = 91 + (44) *
y = 91 + 44 * 0,5
y = 113.
Így azt kapjuk, hogy 3,5 órás időtartamra a baktériumok száma 113, ami egy közbenső szintet képvisel a 3 és 4 óra alatt meglévő baktériumok térfogata között.
2. gyakorlat
Luisnak van jégkrémgyára, és tanulmányt készít annak megállapítására, hogy az augusztusban milyen jövedelmet kapott a kiadások alapján. A cég adminisztrátora készít egy grafikont, amely kifejezi ezt a kapcsolatot, de Luis tudni akarja:
Mekkora az augusztus jövedelme, ha 55 000 dollár költség merül fel?
Megoldás
A grafikon a jövedelem és a kiadások értékével van megadva. Luis tudni akarja, mi az augusztusi jövedelem, ha a gyárnak 55 000 dollár költsége lenne. Ez az érték nem tükröződik közvetlenül a grafikonon, de az értékek magasabbak és alacsonyabbak.
Először egy táblázatot készítünk, ahol könnyen összekapcsolhatjuk az értékeket:
Most az interpolációs képletet használjuk y értékének meghatározására
y = y 0 + (y 1 - y 0) *
Ezután a megfelelő értékek helyébe lép:
y = 56 000 + (78 000 - 56 000) *
y = 56 000 + (22 000) *
y = 56 000 + (22 000) * (0,588)
y = 56 000 + 12 936
y = 68 936 USD.
Ha augusztusban 55 000 dollár költséget könyveltek el, akkor a jövedelem 68 936 dollár volt.
Irodalom
- Arthur Goodman, LH (1996). Algebra és trigonometria analitikai geometriával. Pearson oktatás.
- Harpe, P. d. (2000). Témák a geometriai csoportelméletben. University of Chicago Press.
- Hazewinkel, M. (2001). Lineáris interpoláció ", Matematika enciklopédia.
- JM (1998). A mérnöki numerikus módszerek elemei. UASLP.
- , E. (2002). Az interpoláció kronológiája: az ősi csillagászattól a modern jel- és képfeldolgozásig. Az IEEE folyóiratai.
- numerikus, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.