MERŐLEGES VONAL: JELLEMZŐK, PÉLDÁK, GYAKORLATOK - MATEMATIKA - 2026

Egy merőleges vonal az, amely egy másik vonalhoz, görbehöz vagy felülethez képest 90 ° szöget képez. Vegye figyelembe, hogy ha két vonal merőleges és ugyanazon a síkon fekszik, amikor keresztezik, akkor négy azonos szöget alkotnak, mindegyik 90 ° -kal.

Ha az egyik szög nem 90º, akkor a vonalakat ferdenek mondják. A merőleges vonalak gyakoriak a tervezésben, az építészetben és az építkezésben, például a következő képen látható a csőhálózat.

1. ábra Csövek hálózata derékszögben és számos merőleges vonallal. Hány 90º-os szög számolható ebben a képen? Forrás: Piqsels.

A merőleges vonalak tájolása változhat, például az alábbiak szerint:

2. ábra: merőleges vonalak a síkon. Forrás: F. Zapata.

Függetlenül attól, hogy az egymásra merőleges vonalakat a szögmérő segítségével 90 ° -kal azonosítják, egymásra merőleges vonalakat ismernek fel.

Vegye figyelembe, hogy a sík párhuzamos vonalaival ellentétben, amelyek soha nem keresztezik egymást, a merőleges vonalak mindig ezt teszik egy P ponton, amelyet a másik egyik vonalának lábának neveznek. Ezért két merőleges vonal szintén metsződik.

Bármelyik vonal végtelen merőleges lehet rajta, mivel ha az AB szegmenst balra vagy jobbra mozgatjuk a CD szegmensben, akkor új merőlegeket fogunk előállítani egy másik lábmal.

Azonban azt a merőlegességet, amely közvetlenül áthalad egy szegmens középpontján, nevezzük annak a szegmens felezőinek.

Példák merőleges vonalakra

A merőleges vonalak gyakoriak a városi tájban. A következő képen (3. ábra) a sok egyszerű merőleges vonal közül csak néhányat emeltek ki, amelyek az épület egyszerű homlokzatán láthatók, és annak elemeit, például ajtókat, csöveket, lépcsőket és még sok más kiemeltek:

3. ábra. Ilyen közös épület homlokzatán számos merőleges vonal található. Forrás: Richard Kang a Flickr-en keresztül.

A jó dolog az, hogy három egymásra merőleges vonal segít nekünk a pontok és tárgyak helyének meghatározásában az űrben. Ezek az x tengely, y tengely és z tengelyként azonosított koordinátatengelyek, amelyek egyértelműen láthatóak az alábbi téglalap alakú szoba sarkában:

4. ábra. A derékszögű tengelyrendszer három, egymásra merőleges vonalból áll, amelyek mindegyikének preferenciális iránya van a térben. Bal oldali kép: Treybunn 2 a Flickr-en keresztül. Jobb kép; Needpix.

A jobb oldali panorámás kilátásban a felhőkarcoló és a talaj közötti merőleges helyzet is látható. Az első azt mondanánk, hogy a z tengely mentén van, míg a talaj sík, amely ebben az esetben az xy sík.

Ha a talaj képezi a xy síkot, akkor a felhőkarcoló merőleges bármely utcára vagy utcára, ami garantálja a stabilitását, mivel a lejtős szerkezet instabil.

És az utcákon, bárhol vannak téglalap alakú sarkok, merőleges vonalak vannak. Sok út és utca merőlegesen van elrendezve, mindaddig, amíg a terep és a földrajzi jellemzők lehetővé teszik.

A vonalak, szegmensek vagy vektorok rövidített merőlegességének kifejezésére a ⊥ szimbólumot kell használni. Például, ha az L ₁ sor merőleges az L ₂ sorra, akkor ezt írjuk:

L ₁ ⊥ L ₂

További példák a merőleges vonalakra

- A tervben a merőleges vonalak nagyon jelen vannak, mivel sok közös objektum négyzetekre és téglalapokra épül. Ezeket a négyszögeket 90 ° -os belső szögek jellemzik, mivel oldaluk kettővel párhuzamos:

5. ábra. A négyzetek és téglalapok sok forma részét képezik, például ezt az egyszerű kartondobozt áruk tárolására. Forrás: F. Zapata.

- Azokat a területeket, ahol a különféle sportokat gyakorolják, számos négyzet és téglalap határolja. Ezek viszont merőleges vonalakat tartalmaznak.

- A derékszögű háromszöget alkotó szegmensek közül kettő merőleges egymással. Ezeket lábaknak, míg a fennmaradó vonalat hipotenusznak hívják.

- Az elektromos mező vektor vonalai merőlegesek a vezeték felületére elektrosztatikus egyensúlyban.

- Töltött vezető esetén az potenciálvezetékek és -felületek mindig merőlegesek az elektromos mező felületére.

- A különféle folyadékok, például az 1. ábrán látható gázok szállításához használt csővezetékekben vagy vezetékrendszerekben a könyök általában derékszögben van. Ezért merőleges vonalakat képeznek, például egy kazánház esetében:

6. ábra: Csövek egy kazánházban. Forrás: Wikimedia Commons. Roger McLassus / CC BY-SA (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/)

Feladatok

- 1. Feladat

Rajzolj két merőleges vonalat vonalzó és iránytű segítségével.

Megoldás

A következő lépések végrehajtása nagyon egyszerű:

-Az első sort húzzuk, AB (fekete) néven.

-A fenti (vagy ha úgy tetszik) alatt, AB jelölje meg a P pontot, amelyen a merőleges áthalad. Ha P pontosan az AB középpontja felett vagy alatt van, akkor az merőleges az AB szegmens felezője.

-A iránytű P-jén húzzon egy kört, amely két ponton vágja az AB-t, az úgynevezett A 'és B' (piros).

-Az iránytűt A'P-nál kinyitják, az A '-ra van összpontosítva, és körvonalat rajzolnak, amely áthalad a P-n (zöld).

- Ismételje meg az előző lépést, de most nyissa ki a B'P (zöld) szegmens hosszát. Mindkét kerület íve keresztezi a Q pontot a P alatt, és természetesen az utóbbit.

-A P és Q pontok össze vannak kötve az vonalzóval, és az merőleges vonal (kék) kész.

-Végül az összes kiegészítő konstrukciót gondosan törölni kell, csak a merőlegeseket hagyva.

6. ábra: merőleges vonalak nyomon követése vonalzóval és iránytűvel. Forrás: Wikimedia Commons.

- 2. gyakorlat

Két L ₁ és L ₂ vonal merőleges, ha m ₁ és m ₂ lejtőjük megfelel ennek a kapcsolatnak:

m ₁ = -1 / m ₂

Mivel az y = 5x - 2 egyenesre keressünk rá egy merőleges vonalat, amely áthalad a (-1, 3) ponton.

Megoldás

-Első az m _⊥ merőleges vonal lejtése, amint azt az állítás mutatja. Az eredeti vonal lejtése m = 5, az "x" -hez tartozó együttható. Így:

m _⊥ = -1/5

-Akkor elkészítjük az y _⊥ merőleges vonal egyenletét , az előzőleg talált érték helyett:

y _⊥ = -1 / 5x + b

-Következő esetben a b értékét az állítás által megadott pont segítségével határozzuk meg (-1,3), mivel az merőleges vonalnak át kell mennie rajta:

y = 3

x = -1

Behelyettesítve:

3 = -1/5 (-1) + b

Oldja meg a b értékét:

b = 3- (1/5) = 14/5

-Végül a végső egyenletet építjük fel:

és _⊥ = -1 / 5x + 14/5

Irodalom

1. Baldor, A. 2004. Sík és űrgeometria. Kulturális kiadványok.
2. Clemens, S. 2001. Geometria alkalmazásokkal és problémamegoldás. Addison Wesley.
3. A matematika szórakoztató, merőleges vonalak. Helyreállítva: mathisfun.com.
4. Monterey Intézet. Merőleges vonalak. Helyreállítva: montereyinstitute.org.
5. Wikipedia. Merőleges vonalak. Helyreállítva: es.wikipedia.org.