RACIONÁLIS SZÁMOK: TULAJDONSÁGOK, PÉLDÁK ÉS MŰVELETEK - MATEMATIKA - 2026

A racionális számok mind számok két egész szám felosztása útján nyerhetők ki. Példák a racionális számokra: 3/4, 8/5, -16/3, és azok, amelyek az alábbi ábrán szerepelnek. Racionális számban a hányados szerepel, amelyet később meg lehet tenni, ha szükséges.

Az ábra bármilyen tárgyat ábrázol, kerek a nagyobb kényelem érdekében. Ha azt akarjuk osztani 2 egyenlő részre, mint a jobb oldalon, akkor két felünk van balra, és mindegyik 1/2-t ér.

1. ábra: A racionális számokkal az egészet több részre osztják. Forrás: Freesvg.

Ha négy egyenlő részre osztjuk, akkor 4 darabot kapunk, és mindegyik 1/4-t ér, mint a középső képen. És ha azt 6 egyenlő részre kell osztani, akkor minden egyes rész 1/6 értékű lenne, amit a bal oldali képen látunk.

Természetesen fel tudjuk osztani két egyenlőtlen részre is, például megtarthatnánk 3/4-es részeket, és 1/4-et menthetnénk. Más osztás is lehetséges, például 4/6 rész és 2/6 rész. A lényeg az, hogy az összes rész összege 1.

Ilyen módon nyilvánvaló, hogy racionális számokkal eloszthatjuk, megszámolhatjuk és eloszthatjuk az elemeket, például ételt, pénzt, földet és mindenféle tárgyat frakciókban. Így kibővül a számokkal elvégezhető műveletek száma.

A racionális számok decimális formában is kifejezhetők, amint az a következő példákból látható:

1/2 = 0,5

1/3 = 0,3333…

3/4 = 0,75

1/7 = 0,142857142857142857 ………

Később példákkal mutatjuk be, hogyan lehet az egyik űrlapból a másikba lépni.

A racionális szám tulajdonságai

A racionális számok, amelyek halmazát Q betűvel jelöljük, a következő tulajdonságokkal rendelkeznek:

A Q tartalmaz N természetes számot és Z egész számot.

Figyelembe véve, hogy bármely a szám kifejezhető hányadosként az önmaga és az 1 között, könnyű belátni, hogy a racionális számok között vannak természetes számok és egészek is.

Így a 3 természetes szám törteként írható, és -5 is:

3 = 3/1

-5 = -5/1 = 5 / -1 = - (5/1)

Ilyen módon a Q egy numerikus halmaz, amely nagyobb számú számot tartalmaz, ami nagyon szükséges, mivel a "kerek" szám nem elegendő a lehetséges műveletek leírására.

-A racionális számok összeadhatók, kivonhatók, szorozhatók és oszthatók, a művelet eredménye racionális szám: 1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2 - 1/5 = 3/10; (1/2) x (1/5) = 1/10; (1/2) ÷ (1/5) = 5/2.

-A racionális számok minden párja között mindig megtalálható egy másik racionális szám. Valójában két racionális szám között végtelen racionális szám van.

Például az 1/4 és az 1/2 értékek között a 3/10, 7/20, 2/5 (és még sok más) ésszerű értékek vannak, amelyek igazolhatók tizedesjegyekkel való kifejezéssel.

- Bármely racionális szám kifejezhető: i) egész számként vagy ii) korlátozott (szigorú) vagy időszakos tizedesértékkel: 4/2 = 2; 1/4 = 0,25; 1/6 = 0,166666666

- Ugyanazt a számot végtelen ekvivalens frakciók képviselik, és mindegyik a Q-hez tartozik. Nézzük ezt a csoportot:

Mindegyikük a tizedes 0.428571…

-Az azonos számot képviselő egyenértékű frakciók közül a redukálhatatlan frakció, a legegyszerűbb, ennek a számnak a kanonikus képviselője. A fenti példa kanonikus képviselője 3/7.

2. ábra - A racionális számok Q halmaza. Forrás: Wikimedia Commons. Uvm Eduardo Artur / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0).

Példák racionális számokra

-A megfelelő frakciók, amelyekben a számláló kisebb, mint a nevező:

- Nem megfelelő frakciók, amelyek számlálója nagyobb, mint a nevező:

-Természetes számok és egész számok:

-Egyenértékű frakciók:

Egy racionális szám decimális ábrázolása

Ha a számlálót elosztjuk a nevezővel, akkor megtaláljuk a racionális szám decimális formáját. Például:

2/5 = 0,4

3/8 = 0,375

1/9 = 0,111111…

6/11 = 0,545454…

Az első két példában a tizedesjegyek száma korlátozott. Ez azt jelenti, hogy amikor a felosztás megtörténik, végül megkapjuk a 0 maradékot.

Másrészről, a következő kettőben a tizedesjegyek száma végtelen, ezért helyezjük el az ellipszist. Az utóbbi esetben van egy minta a tizedesjegyekben. Az 1/9 frakció esetében az 1-t határozatlan ideig ismételjük meg, míg a 6/11-ben ez 54-et jelent.

Amikor ez megtörténik, a tizedesjegyet periodikusnak mondják, és ezt carettel jelölik:

A decimális értéket átalakítsa frakcióra

Ha ez korlátozott tizedes, a vesszőt egyszerűen eltávolítja, és a nevező egységgé válik, amelyet annyi nulla követ, amennyi tizedesjegyű szám van. Például, ha a tizedes 1,26-t egy törtrészre szeretnénk alakítani, írjuk ezt a következőképpen:

1,26 = 126/100

Ezután a kapott frakciót a maximumra egyszerűsítik:

126/100 = 63/50

Ha a tizedesérték korlátlan, akkor először azonosítja az időszakot. Ezután ezeket a lépéseket követi a kapott frakció megtalálásához:

-A számláló a szám (vessző vagy caret nélküli) és a caret nélküli rész közötti kivonás.

-A nevező olyan egész szám, amelyben annyi 9 van, mint amennyi szám van a circumflex alatt, és annyi 0, amennyire olyan számok vannak a tizedes részben, amelyek nincsenek a circumflex alatt.

Kövesse ezt az eljárást a 0.428428428… tizedes szám törtekké való átalakításához.

- Először az időszakot azonosítják, amely megismétlődik: 428.

- Ezután elvégezzük a szám vessző vagy kiejtés nélküli kivonását: 0428 azon részből, amelyben nincs körkereszt, tehát 0. Ez tehát 428 - 0 = 428.

-A nevezőt úgy építettük fel, hogy tudjuk, hogy a circumflex alatt 3 ábra van, és mind a Circleflex alatt vannak. Ezért a nevező 999.

-Végül a frakció képződik és lehetőség szerint egyszerűsödik:

0,428 = 428/999

Több egyszerűsítés nem lehetséges.

Műveletek racionális számokkal

- Összeadni és kivonni

Frakciók azonos nevezővel

Ha a frakciók azonos nevezővel rendelkeznek, nagyon könnyű összeadni és / vagy kivonni őket, mivel a számlálókat egyszerűen algebrai módon adják hozzá, és ugyanazok maradnak, mint a kiegészítések, mint az eredmény nevezője. Végül, ha lehetséges, egyszerűsítik.

Példa

Végezzen a következő algebrai összeadást és egyszerűsítse az eredményt:

A kapott frakció már nem redukálható.

Frakciók különböző megnevezőkkel

Ebben az esetben a kiegészítéseket ugyanazon nevezővel egyenértékű frakciók váltják fel, majd a már leírt eljárást követjük.

Példa

A következõ racionális számokat algebrai módon adjuk hozzá, az eredményt egyszerûsítve:

A lépések a következők:

- Határozza meg az 5, 8 és 3 nevezők legkevésbé gyakori többszörösét (lcm):

lcm (5,8,3) = 120

Ez lesz a kapott frakció nevezője egyszerűsítés nélkül.

-Minden frakcióra: ossza meg az LCM-t a nevezővel, és szorozza meg a számlálóval. Ennek a műveletnek az eredményét a megfelelő jelöléssel a frakció számlálójába helyezzük. Ily módon az eredetirel egyenértékű frakciót kapunk, de az LCM-t nevezzük.

Például az első törtnél a számláló így van felépítve: (120/5) x 4 = 96, és így kapjuk:

A többi frakcióhoz ugyanúgy járjon el:

Végül az ekvivalens frakciókat kicserélik anélkül, hogy elfelejtették volna a jelüket, és a számlálók algebrai összegét elvégezzük:

(4/5) + (14/8) - (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) - (440/120) + (240/120) =

= (96 + 210-440 + 24) / 120 = -110 / 120 = -11/12

- Szorzás és osztás

A szorzás és az osztás az alábbiakban bemutatott szabályok szerint történik:

3. ábra: A racionális számok szorzásának és elosztásának szabályai. Forrás: F. Zapata.

Mindenesetre fontos megjegyezni, hogy a szorzás kommutív, azaz a tényezők sorrendje nem változtatja meg a terméket. Ez nem történik megosztás esetén, ezért ügyelni kell az osztalék és az osztó közötti sorrend tiszteletben tartására.

1. példa

Végezze el a következő műveleteket és egyszerűsítse az eredményt:

a) (5/3) x (8/15)

b) (-4/5) ÷ (2/9)

Válasz neki

(5/3) x (8/15) = (5 x 8) / (3 x 15) = 15/120 = 1/8

B. Válasz

(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 x 9) / (5 x 2) = -36 / 10 = -18/5

2. példa

Luisa 45 dollár volt. Ebből egy tizedét könyvet vásárolt, és pólón maradt részének 2/5-ét. Mennyi pénzt hagyott el Luisa? Az eredményt redukálhatatlan frakcióként fejezzük ki.

Megoldás

A könyv ára (1/10) x 45 USD = 0,1 x 45 USD = 4,5 USD

Ezért Luisa a következőket hagyta:

45 - 4,5 $ = 40,5 $

Ezzel a pénzzel Luisa elment a ruhaüzletbe és megvette az inget, amelynek ára:

(2/5) x 40,5 USD = 16,2 USD

Most Luisa a portfóliójában:

40,5 - 16,2 $ = 24,3 $

Részének kifejezéséhez a következőképpen írják:

24,3 = 243/10

Ez visszavonhatatlan.

Irodalom

1. Baldor, A. 1986. Aritmetika. Kiadások és disztribúciók kódexe.
2. Carena, M. 2019. Matematika kézikönyve. Litoral Nemzeti Egyetem.
3. Figuera, J. 2000. Matematika 8. Ediciones Co-Bo.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. A racionális számok. Helyreállítva: Cimanet.uoc.edu.
6. Racionális számok. Helyreállítva: webdelprofesor.ula.ve.