- A racionális szám tulajdonságai
- Példák racionális számokra
- Egy racionális szám decimális ábrázolása
- A decimális értéket átalakítsa frakcióra
- Műveletek racionális számokkal
- - Összeadni és kivonni
- Frakciók azonos nevezővel
- Példa
- Frakciók különböző megnevezőkkel
- Példa
- - Szorzás és osztás
- 1. példa
- Válasz neki
- B. Válasz
- 2. példa
- Megoldás
- Irodalom
A racionális számok mind számok két egész szám felosztása útján nyerhetők ki. Példák a racionális számokra: 3/4, 8/5, -16/3, és azok, amelyek az alábbi ábrán szerepelnek. Racionális számban a hányados szerepel, amelyet később meg lehet tenni, ha szükséges.
Az ábra bármilyen tárgyat ábrázol, kerek a nagyobb kényelem érdekében. Ha azt akarjuk osztani 2 egyenlő részre, mint a jobb oldalon, akkor két felünk van balra, és mindegyik 1/2-t ér.

1. ábra: A racionális számokkal az egészet több részre osztják. Forrás: Freesvg.
Ha négy egyenlő részre osztjuk, akkor 4 darabot kapunk, és mindegyik 1/4-t ér, mint a középső képen. És ha azt 6 egyenlő részre kell osztani, akkor minden egyes rész 1/6 értékű lenne, amit a bal oldali képen látunk.
Természetesen fel tudjuk osztani két egyenlőtlen részre is, például megtarthatnánk 3/4-es részeket, és 1/4-et menthetnénk. Más osztás is lehetséges, például 4/6 rész és 2/6 rész. A lényeg az, hogy az összes rész összege 1.
Ilyen módon nyilvánvaló, hogy racionális számokkal eloszthatjuk, megszámolhatjuk és eloszthatjuk az elemeket, például ételt, pénzt, földet és mindenféle tárgyat frakciókban. Így kibővül a számokkal elvégezhető műveletek száma.
A racionális számok decimális formában is kifejezhetők, amint az a következő példákból látható:
1/2 = 0,5
1/3 = 0,3333…
3/4 = 0,75
1/7 = 0,142857142857142857 ………
Később példákkal mutatjuk be, hogyan lehet az egyik űrlapból a másikba lépni.
A racionális szám tulajdonságai
A racionális számok, amelyek halmazát Q betűvel jelöljük, a következő tulajdonságokkal rendelkeznek:
A Q tartalmaz N természetes számot és Z egész számot.
Figyelembe véve, hogy bármely a szám kifejezhető hányadosként az önmaga és az 1 között, könnyű belátni, hogy a racionális számok között vannak természetes számok és egészek is.
Így a 3 természetes szám törteként írható, és -5 is:
3 = 3/1
-5 = -5/1 = 5 / -1 = - (5/1)
Ilyen módon a Q egy numerikus halmaz, amely nagyobb számú számot tartalmaz, ami nagyon szükséges, mivel a "kerek" szám nem elegendő a lehetséges műveletek leírására.
-A racionális számok összeadhatók, kivonhatók, szorozhatók és oszthatók, a művelet eredménye racionális szám: 1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2 - 1/5 = 3/10; (1/2) x (1/5) = 1/10; (1/2) ÷ (1/5) = 5/2.
-A racionális számok minden párja között mindig megtalálható egy másik racionális szám. Valójában két racionális szám között végtelen racionális szám van.
Például az 1/4 és az 1/2 értékek között a 3/10, 7/20, 2/5 (és még sok más) ésszerű értékek vannak, amelyek igazolhatók tizedesjegyekkel való kifejezéssel.
- Bármely racionális szám kifejezhető: i) egész számként vagy ii) korlátozott (szigorú) vagy időszakos tizedesértékkel: 4/2 = 2; 1/4 = 0,25; 1/6 = 0,166666666
- Ugyanazt a számot végtelen ekvivalens frakciók képviselik, és mindegyik a Q-hez tartozik. Nézzük ezt a csoportot:

Mindegyikük a tizedes 0.428571…
-Az azonos számot képviselő egyenértékű frakciók közül a redukálhatatlan frakció, a legegyszerűbb, ennek a számnak a kanonikus képviselője. A fenti példa kanonikus képviselője 3/7.

2. ábra - A racionális számok Q halmaza. Forrás: Wikimedia Commons. Uvm Eduardo Artur / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0).
Példák racionális számokra
-A megfelelő frakciók, amelyekben a számláló kisebb, mint a nevező:

- Nem megfelelő frakciók, amelyek számlálója nagyobb, mint a nevező:

-Természetes számok és egész számok:

-Egyenértékű frakciók:


Egy racionális szám decimális ábrázolása
Ha a számlálót elosztjuk a nevezővel, akkor megtaláljuk a racionális szám decimális formáját. Például:
2/5 = 0,4
3/8 = 0,375
1/9 = 0,111111…
6/11 = 0,545454…
Az első két példában a tizedesjegyek száma korlátozott. Ez azt jelenti, hogy amikor a felosztás megtörténik, végül megkapjuk a 0 maradékot.
Másrészről, a következő kettőben a tizedesjegyek száma végtelen, ezért helyezjük el az ellipszist. Az utóbbi esetben van egy minta a tizedesjegyekben. Az 1/9 frakció esetében az 1-t határozatlan ideig ismételjük meg, míg a 6/11-ben ez 54-et jelent.
Amikor ez megtörténik, a tizedesjegyet periodikusnak mondják, és ezt carettel jelölik:


A decimális értéket átalakítsa frakcióra
Ha ez korlátozott tizedes, a vesszőt egyszerűen eltávolítja, és a nevező egységgé válik, amelyet annyi nulla követ, amennyi tizedesjegyű szám van. Például, ha a tizedes 1,26-t egy törtrészre szeretnénk alakítani, írjuk ezt a következőképpen:
1,26 = 126/100
Ezután a kapott frakciót a maximumra egyszerűsítik:
126/100 = 63/50
Ha a tizedesérték korlátlan, akkor először azonosítja az időszakot. Ezután ezeket a lépéseket követi a kapott frakció megtalálásához:
-A számláló a szám (vessző vagy caret nélküli) és a caret nélküli rész közötti kivonás.
-A nevező olyan egész szám, amelyben annyi 9 van, mint amennyi szám van a circumflex alatt, és annyi 0, amennyire olyan számok vannak a tizedes részben, amelyek nincsenek a circumflex alatt.
Kövesse ezt az eljárást a 0.428428428… tizedes szám törtekké való átalakításához.
- Először az időszakot azonosítják, amely megismétlődik: 428.

- Ezután elvégezzük a szám vessző vagy kiejtés nélküli kivonását: 0428 azon részből, amelyben nincs körkereszt, tehát 0. Ez tehát 428 - 0 = 428.
-A nevezőt úgy építettük fel, hogy tudjuk, hogy a circumflex alatt 3 ábra van, és mind a Circleflex alatt vannak. Ezért a nevező 999.
-Végül a frakció képződik és lehetőség szerint egyszerűsödik:
0,428 = 428/999
Több egyszerűsítés nem lehetséges.
Műveletek racionális számokkal
- Összeadni és kivonni
Frakciók azonos nevezővel
Ha a frakciók azonos nevezővel rendelkeznek, nagyon könnyű összeadni és / vagy kivonni őket, mivel a számlálókat egyszerűen algebrai módon adják hozzá, és ugyanazok maradnak, mint a kiegészítések, mint az eredmény nevezője. Végül, ha lehetséges, egyszerűsítik.
Példa
Végezzen a következő algebrai összeadást és egyszerűsítse az eredményt:

A kapott frakció már nem redukálható.
Frakciók különböző megnevezőkkel
Ebben az esetben a kiegészítéseket ugyanazon nevezővel egyenértékű frakciók váltják fel, majd a már leírt eljárást követjük.
Példa
A következõ racionális számokat algebrai módon adjuk hozzá, az eredményt egyszerûsítve:

A lépések a következők:
- Határozza meg az 5, 8 és 3 nevezők legkevésbé gyakori többszörösét (lcm):
lcm (5,8,3) = 120
Ez lesz a kapott frakció nevezője egyszerűsítés nélkül.
-Minden frakcióra: ossza meg az LCM-t a nevezővel, és szorozza meg a számlálóval. Ennek a műveletnek az eredményét a megfelelő jelöléssel a frakció számlálójába helyezzük. Ily módon az eredetirel egyenértékű frakciót kapunk, de az LCM-t nevezzük.
Például az első törtnél a számláló így van felépítve: (120/5) x 4 = 96, és így kapjuk:

A többi frakcióhoz ugyanúgy járjon el:



Végül az ekvivalens frakciókat kicserélik anélkül, hogy elfelejtették volna a jelüket, és a számlálók algebrai összegét elvégezzük:
(4/5) + (14/8) - (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) - (440/120) + (240/120) =
= (96 + 210-440 + 24) / 120 = -110 / 120 = -11/12
- Szorzás és osztás
A szorzás és az osztás az alábbiakban bemutatott szabályok szerint történik:

3. ábra: A racionális számok szorzásának és elosztásának szabályai. Forrás: F. Zapata.
Mindenesetre fontos megjegyezni, hogy a szorzás kommutív, azaz a tényezők sorrendje nem változtatja meg a terméket. Ez nem történik megosztás esetén, ezért ügyelni kell az osztalék és az osztó közötti sorrend tiszteletben tartására.
1. példa
Végezze el a következő műveleteket és egyszerűsítse az eredményt:
a) (5/3) x (8/15)
b) (-4/5) ÷ (2/9)
Válasz neki
(5/3) x (8/15) = (5 x 8) / (3 x 15) = 15/120 = 1/8
B. Válasz
(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 x 9) / (5 x 2) = -36 / 10 = -18/5
2. példa
Luisa 45 dollár volt. Ebből egy tizedét könyvet vásárolt, és pólón maradt részének 2/5-ét. Mennyi pénzt hagyott el Luisa? Az eredményt redukálhatatlan frakcióként fejezzük ki.
Megoldás
A könyv ára (1/10) x 45 USD = 0,1 x 45 USD = 4,5 USD
Ezért Luisa a következőket hagyta:
45 - 4,5 $ = 40,5 $
Ezzel a pénzzel Luisa elment a ruhaüzletbe és megvette az inget, amelynek ára:
(2/5) x 40,5 USD = 16,2 USD
Most Luisa a portfóliójában:
40,5 - 16,2 $ = 24,3 $
Részének kifejezéséhez a következőképpen írják:
24,3 = 243/10
Ez visszavonhatatlan.
Irodalom
- Baldor, A. 1986. Aritmetika. Kiadások és disztribúciók kódexe.
- Carena, M. 2019. Matematika kézikönyve. Litoral Nemzeti Egyetem.
- Figuera, J. 2000. Matematika 8. Ediciones Co-Bo.
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
- A racionális számok. Helyreállítva: Cimanet.uoc.edu.
- Racionális számok. Helyreállítva: webdelprofesor.ula.ve.
