KONVEX SOKSZÖG: MEGHATÁROZÁS, ELEMEK, TULAJDONSÁGOK, PÉLDÁK - MATEMATIKA - 2026

A konvex sokszög egy geometriai alak, amely egy síkban található, azzal jellemezve, hogy belsejében minden átlója van, és szöge kevesebb, mint 180 °. Tulajdonságai között szerepel a következők:

1) N egymást követő szegmensből áll, ahol az utolsó szegmens csatlakozik az elsőhez. 2) A szegmensek egyike sem keresztezi oly módon, hogy a síkot körülhatárolja a belső és a külső régióban. 3) A belső régióban minden egyes szög szigorúan kisebb, mint egy síkbeli szög.

1. ábra: Az 1., 2. és 6. sokszög konvex. (Ricardo Pérez készítette).

Annak egyszerű meghatározására, hogy a sokszög konvex vagy sem - vegye figyelembe az egyik oldalán áthaladó vonalat, amely meghatározza a két félsíkot. Ha az egyik oldalon áthaladó vonalban a sokszög másik oldala ugyanabban a félsíkban van, akkor konvex sokszög.

A sokszög elemei

Minden sokszög a következő elemekből áll:

- oldalak

- Csúcsok

Az oldalak az egymást követő szegmensek, amelyek a sokszöget alkotják. Egy sokszögben az azt alkotó szegmensek egyikének sem lehet nyitott vége, ebben az esetben sokszögű vonal lenne, de sokszög nem.

A csúcsok két egymást követő szegmens csatlakozási pontjai. Egy sokszögben a csúcsok száma mindig megegyezik az oldalak számával.

Ha egy sokszög két oldala vagy szegmense keresztezi egymást, akkor van egy keresztezett sokszög. Az átkelési pontot nem tekintjük csúcsnak. A keresztszög nem konvex sokszög. A csillag sokszögek keresztirányú sokszögek, tehát nem konvexek.

Ha a sokszög mindkét oldala azonos hosszúságú, akkor van egy szabályos sokszögünk. Minden szabályos sokszög konvex.

Konvex és nem konvex sokszögek

Az 1. ábrán több sokszög látható, ezek közül néhány konvex, mások nem. Elemezzük őket:

Az 1-es szám egy háromoldalú sokszög (háromszög), és az összes belső szög kevesebb, mint 180º, tehát konvex sokszög. Minden háromszög konvex sokszög.

A 2-es szám egy négyoldalas sokszög (négyszög), ahol egyik oldal sem keresztezi egymást, és a belső szögek mindegyike kisebb, mint 180º. Ezután egy konvex négyszög, négy oldalával (konvex négyszög).

Másrészről, a 3-as szám egy sokszög négy oldallal, de egyik belső szöge nagyobb, mint 180º, tehát nem felel meg a konvexitási feltételnek. Vagyis egy nem konvex négyoldalas sokszög, amelyet konkáv négyszögnek neveznek.

A 4-es szám egy sokszög, amelynek négy szegmense (oldala) van, amelyek közül kettő metszi egymást. A négy belső szög kevesebb, mint 180º, de mivel két oldal keresztezi, nem konvex keresztezett sokszög (keresztezett négyszög).

Egy másik eset az 5. szám. Ez egy ötoldalas sokszög, de mivel egyik belső szöge nagyobb, mint 180º, akkor konkáv sokszög van.

Végül, a 6. számú számnak, amelynek szintén öt oldala van, belső szögei kisebb, mint 180º, tehát öt oldalú domború sokszög (konvex ötszög).

A konvex sokszög tulajdonságai

1- Egy nem keresztezett sokszög vagy egyszerű sokszög osztja a síkot, amely két részre osztja. A belső régió és a külső régió, a sokszög a határ a két régió között.

De ha a sokszög további konvex, akkor van egy belső régió, amely egyszerűen össze van kötve, ami azt jelenti, hogy a belső régió bármelyik két pontját elvetve mindig hozzákapcsolhat egy olyan szegmens, amely teljes egészében a belső régióhoz tartozik.

2. ábra. Egy konvex sokszög egyszerűen csatlakozik, míg a konkáv sokszög nem. (Ricardo Pérez készítette).

2- A konvex sokszög minden belső szöge kisebb, mint egy sík szöge (180 °).

3- A konvex sokszög összes belső pontja mindig az egyik félsík egyikéhez tartozik, amelyet a két egymást követő csúcson áthaladó vonal határoz meg.

4- Egy konvex sokszögben az összes átló teljesen a belső sokszög régióban van.

5- A domború sokszög belső pontjai teljes mértékben az egyes belső szögek által meghatározott konvex szögszakaszhoz tartoznak.

6- Minden sokszög, amelynek összes csúcsa kerületén van, konvex sokszög, amelyet ciklikus sokszögnek neveznek.

7- Minden ciklikus sokszög konvex, de nem minden konvex sokszög ciklikus.

8- Bármely nem keresztezett sokszög (egyszerű sokszög), amelynek mindkét oldala azonos hosszúságú, konvex és szabályos sokszögként ismert.

Átlók és szögek konvex sokszögekben

9 - Egy konvex sokszög n oldalú átlójának N teljes számát a következő képlet adja meg:

N = ½ n (n - 3)

Bizonyítás: Egy konvex sokszögben, amelynek minden csúcsának n oldala van, n - 3 átlós vonal van rajzolva, mivel maga a csúcs és a két szomszédos csík ki vannak zárva. Mivel n csúcs létezik, összesen n (n - 2) átlót rajzolunk, de mindegyiket átlósan rajzoltuk kétszer, tehát az átlók száma (ismétlés nélkül) n (n-2) / 2.

10. Egy konvex sokszög n szögű belső szögeinek S összegét a következő kapcsolat adja:

S = (n - 2) 180 °

Példák

1. példa

A ciklikus hatszög sokszög, amelynek hat oldala és hat csúcsa van, de az összes csúcs azonos kerületű. Minden ciklikus sokszög konvex.

Ciklikus hatszög.

2. példa

Határozza meg a normál egon belső szögeinek értékét.

Megoldás: Az egon egy 9 oldalú sokszög, de ha szabályos is, az összes oldala és szöge egyenlő.

A 9 oldalú sokszög összes belső szöge összege:

S = (9 - 2) 180º = 7 * 180º = 1260º

De van 9 belső szög, amelyek egyenlő az α mérettel, tehát a következő egyenlőségnek teljesülnie kell:

S = 9 α = 1260º

Ebből következik, hogy a szabályos egon belső szögének α mértéke a következő:

α = 1260º / 9 = 140º