- Figyelemre méltó termékek és példák
- Binomiális négyzet
- Konjugált binomiális anyagok terméke
- Két közös névvel rendelkező binomiális anyag terméke
- Négyzetes polinom
- Binomial kockával
- Trinomiális kocka
- Figyelemre méltó termékek megoldott feladatai
- 1. Feladat
- Megoldás
- 2. gyakorlat
- Megoldás
- Irodalom
A figyelemre méltó termékek az algebrai műveletek, ahol a polinomok szorzata kifejezésre kerül, amelyeket nem hagyományosan kell megoldani, de bizonyos szabályok segítségével ugyanazok az eredmények találhatók.
A polinomok megszorozódnak igennel, ezért lehetséges, hogy nagy számú kifejezéssel és változóval rendelkeznek. A folyamat rövidebbé tétele érdekében a figyelemre méltó termékszabályokat alkalmazzák, amelyek megengedik a szorzást anélkül, hogy kifejezésre jutnának.
Figyelemre méltó termékek és példák
Mindegyik figyelemre méltó termék egy olyan formula, amely egy faktorizálás eredményeként jön létre, több polinomból áll, mint például binomiális vagy trinomális, úgynevezett tényezők.
A tényezők képezik az erő alapját, és vannak exponensek. Ha a tényezőket megszorozzuk, ki kell egészíteni a kitevőket.
Számos figyelemre méltó termékképlet létezik, amelyek közül többet használnak, mint mások, a polinomoktól függően, és ezek a következők:
Binomiális négyzet
Ez egy binomiális szorzás önmagában, hatalomban kifejezve, ahol a kifejezéseket összeadják vagy kivonják:
nak nek. Négyzetes binomiális összeg: egyenlő az első kifejezés négyzetével, plusz a kifejezések szorzatának kétszeresével, valamint a második kifejezés négyzetével. A következőképpen fejeződik ki:
(a + b) 2 = (a + b) * (a + b).
A következő ábrán láthatja, hogy a termék hogyan fejlődik a fent említett szabály szerint. Az eredményt a tökéletes négyzet trinomiumává hívják.
1. példa
(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²
(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25
(x + 5) ² = x² + 10x + 25.
2. példa
(4a + 2b) = (4a) 2 + 2 (4a * 2b) + (2b) 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 2 (8ab) + 4b 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 16 ab + 4b 2.
b. Négyzetes kivonás binomiális értéke: az összeg binomiális értékének ugyanaz a szabálya érvényes, csak ebben az esetben a második kifejezés negatív. A képlete a következő:
(a - b) 2 = 2
(a - b) 2 = a 2 + 2a * (-b) + (-b) 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2.
1. példa
(2x - 6) 2 = (2x) 2 - 2 (2x * 6) + 6 2
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 2 (12x) + 36
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 24x + 36.
Konjugált binomiális anyagok terméke
Két binomiál akkor konjugálódik, amikor a második tagok eltérő jelekkel rendelkeznek, vagyis az első pozitív, a második negatív, vagy fordítva. Megoldható az egyes monómok négyzetének elbontásával és kivonásával. A képlete a következő:
(a + b) * (a - b)
A következő ábrán két konjugált binomium termékét fejlesztettük ki, ahol megfigyeltük, hogy az eredmény négyzetkülönbség.
1. példa
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b 2)
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 - 9b 2.
Két közös névvel rendelkező binomiális anyag terméke
Ez az egyik legbonyolultabb és ritkábban használt figyelemre méltó termék, mivel két bináris anyag szorzata, amelyeknek közös kifejezése van. A szabály a következőket írja elő:
- A közös kifejezés négyzete.
- Plusz a nem gyakori kifejezések összege, majd megszorozzuk őket a közös kifejezéssel.
- Plusz a nem gyakori kifejezések szorzásának összege.
A képlet ábrázolja: (x + a) * (x + b), és a képen látható módon fejlõdik. Az eredmény egy nem tökéletes négyzet alakú trinomium.
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + 15x + 54.
Lehetséges, hogy a második kifejezés (a másik kifejezés) negatív, és képlete a következő: (x + a) * (x - b).
2. példa
(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4 - 2) * 7x + (4 * -2)
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + (2) * 7x - 8
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + 14x - 8.
Az is előfordulhat, hogy mindkét különféle kifejezés negatív. A képlete: (x - a) * (x - b).
3. példa
(3b - 6) * (3b - 5) = (3b * 3b) + (-6 - 5) * (3b) + (-6 * -5)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 + (-11) * (3b) + (30)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 - 33b + 30.
Négyzetes polinom
Ebben az esetben kettőnél több kifejezés létezik, és annak kifejlesztéséhez mindegyik négyzetre kerül és összeadódik, és kétszer megszorozzuk az egyik kifejezést a másikkal; képlete: (a + b + c) 2, és a művelet eredménye négyzet alakú trinomium.
1. példa
(3x + 2y + 4z) 2 = (3x) 2 + (2y) 2 + (4z) 2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)
(3x + 2y + 4Z) 2 = 9x 2 + 4Y 2 + 16Z 2 + 12xy + 24xz + 16yz.
Binomial kockával
Rendkívül összetett termék. Fejlesztése érdekében a binomiált szorozni kell négyzetével, az alábbiak szerint:
nak nek. Az összeg binokális kockája esetén:
- Az első tag kocka, plusz az első tag négyzetének hármasa a második.
- Plusz az első ciklus hármasa, a második négyzet szorzata.
- Plusz a második ciklus kocka.
(a + b) 3 = (a + b) * (a + b) 2
(a + b) 3 = (a + b) * (a 2 + 2ab + b 2)
(a + b) 3 = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + ba 2 + 2ab 2 + b 3
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3.
1. példa
(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (3) 2 + (3) 3
(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (9) + 27
(a + 3) 3 = a 3 + 9 a 2 + 27a + 27.
b. A kivonás binomiális kockájához:
- Az első tag kocka, mínusz az első kifejezés négyzetének háromszorosa a második.
- Plusz az első ciklus hármasa, a második négyzet szorzata.
- Mínusz a második ciklus kocka.
(a - b) 3 = (a - b) * (a - b) 2
(a - b) 3 = (a - b) * (a 2 - 2ab + b 2)
(a - b) 3 = a 3 - 2a 2 b + ab 2 - ba 2 + 2ab 2 - b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3.
2. példa
(b - 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (-5) 2 + (-5) 3
(b - 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (25) -125
(b - 5) 3 = b 3 - 15b 2 + 75b - 125.
Trinomiális kocka
Ezt úgy fejlesztik ki, hogy megszorozzuk a négyzetével. Ez egy nagyon kiterjedt figyelemre méltó termék, mert 3 kifejezés kockára van téve, plusz minden kifejezés háromszorosára téve, szorozva az egyes kifejezésekkel, plusz a három kifejezés szorzatának hatszorosa. Jobb szempontból:
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a + b + c) 2
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc)
(a + b + c) 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + 3a 2 c + 3ac 2 + 3b 2 c + 3bc 2 + 6abc.
1. példa
Figyelemre méltó termékek megoldott feladatai
1. Feladat
Bontsa ki a következő binomiális kockát: (4x - 6) 3.
Megoldás
Emlékeztetve arra, hogy a binomiális kocka megegyezik az első kifejezés kockával, mínusz az első tag négyzetének háromszorosával, a második és a második; plusz az első tag hármasa, a második négyzet szorzata, mínusz a második tag kocka.
(4x - 6) 3 = (4x) 3 - 3 (4x) 2 (6) + 3 (4x) * (6) 2 - (6) 2
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 3 (16x 2) (6) + 3 (4x) * (36) - 36
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 288x 2 + 432x - 36.
2. gyakorlat
Fejlessze ki a következő binomiált: (x + 3) (x + 8).
Megoldás
Van egy binomiális, ahol van egy közös kifejezés, amely x, a második kifejezés pedig pozitív. Fejlesztéséhez csak a közös kifejezést négyzetbe kell állítania, plusz a nem általános kifejezések összegét (3 és 8), majd szorozva azokat a közös kifejezéssel, plusz a nem általános kifejezések szorzásának összegét.
(x + 3) (x + 8) = x 2 + (3 + 8) x + (3 * 8)
(x + 3) (x + 8) = x 2 + 11x + 24.
Irodalom
- Angel, AR (2007). Elemi algebra. Pearson Oktatás,.
- Arthur Goodman, LH (1996). Algebra és trigonometria analitikai geometriával. Pearson oktatás.
- Das, S. (második). Maths Plus 8. Egyesült Királyság: Ratna Sagar.
- Jerome E. Kaufmann, KL (2011). Elemi és közép algebra: Kombinált megközelítés. Florida: Cengage tanulás.
- Pérez, CD (2010). Pearson oktatás.