MÁSODLAGOS PONTOK: EGYENLET, PÉLDA ÉS MEGOLDOTT FELADATOK - MATEMATIKA - 2026

Az egy síkban pontokat minden tartozik egy síkban. Két pont mindig sík alakú, mivel ezek a pontok egy vonalat határoznak meg, amelyen a végtelen síkok haladnak át. Ezután mindkét pont a vonalon áthaladó síkok mindegyikéhez tartozik, és ezért mindig síkban vannak.

Másrészt három pont egy síkot határoz meg, ahonnan következik, hogy három pont mindig azonos síkban lesz az általuk meghatározott síkkal.

1. ábra: Az A, B, C és D a (Ω) síkhoz hasonló síkban vannak. E, F és G nem azonos síkban vannak (to) -val, de a síkban vannak a síkban, amelyet definiálnak. Forrás: F. Zapata.

Több mint három pont lehet síkbeli vagy sem. Például az 1. ábrán az A, B, C és D pontok egy síkban vannak (Ω). De E, F és G nem egyenesek a (Ω) -hez, bár a síkban vannak, amelyek általuk definiáltak.

A három pontot kapott sík egyenlete

A sík egyenlete, amelyet három ismert A, B, C pont határoz meg, egy matematikai viszony, amely garantálja, hogy bármely P pont általános koordinátákkal (x, y, z), amely megfelel az egyenletnek, az említett síkhoz tartozik.

Az előző állítás azzal egyenértékű, hogy azt állítottuk, hogy ha P (x, y, z) koordináták teljesítik a sík egyenletét, akkor az említett pont egy síkban lesz a három A, B, C ponttal, amelyek meghatározták a síkot.

A sík egyenletének megkereséséhez kezdjük az AB és AC vektor keresésével:

AB =

AC =

Az AB X AC vektortermék az A, B, C pontok által meghatározott síkra merőleges vagy normál vektort eredményez.

Bármely P pont koordinátákkal (x, y, z) a síkhoz tartozik, ha az AP vektor merőleges az AB X AC vektorral, amely garantált, ha:

AP • (AB X AC) = 0

Ez azzal egyenértékű, hogy azt állítják, hogy az AP, AB és AC hármas szorzata nulla. A fenti egyenlet mátrix formában írható:

Példa

Legyen A pontok (0, 1, 2); B (1, 2, 3); C (7, 2, 1) és D (a, 0, 1). Milyen értékűnek kell lennie ahhoz, hogy a négy pont többszintes legyen?

Megoldás

Az a értékének meghatározásához a D pontnak az A, B és C által meghatározott sík részének kell lennie, amely akkor garantált, ha megfelel a sík egyenletének.

A meghatározó tényező fejlesztése:

Az előző egyenlet azt mondja nekünk, hogy a = -1 az egyenlőség teljesítéséhez. Más szavakkal, hogy a D (a, 0,1) pont csak az A, B és C pontokkal egy síkban van, ha a értéke -1. Ellenkező esetben nem lesz többszörös.

Megoldott gyakorlatok

- 1. Feladat

Egy sík keresztezi az X, Y, Z derékszögű tengelyeket 1, 2, és 3 pontnál. Ezen sík és a tengelyek metszéspontja határozza meg az A, B és C pontokat. Keresse meg a D pont Dz összetevőjét, amelynek derékszögű összetevői:

Feltéve, hogy D megegyezik az A, B és C pontokkal.

Megoldás

Ha a síknak a derékszögű tengelyekkel való lehallgatása ismert, a sík egyenletének szegmentális formája használható:

x / 1 + y / 2 + z / 3 = 1

Mivel a D pontnak az előző síkhoz kell tartoznia, ezért:

-Dz / 1 + (Dz + 1) / 2 + Dz / 3 = 1

Vagyis:

-Dz + Dz / 2 + ½ + Dz / 3 = 1

Dz (-1 + ½ + ⅓) = ½

Dz (-1 / 6⅙) = ½

Dz = -3

A fentiekből következik, hogy a D pont (3, -2, -3) egy síkban van az A pontokkal (1, 0, 0); B (0, 2, 0) és C (0, 0, 3).

- 2. gyakorlat

Határozzuk meg, hogy az A pontok (0, 5, 3); B (0, 6, 4); C (2, 4, 2) és D (2, 3, 1) egysíkúak.

Megoldás

A mátrixot képezzük, amelynek sorai a DA, BA és CA koordinátái. Ezután kiszámítják a determinánst és ellenőrzik, hogy nulla-e vagy sem.

Az összes számítás elvégzése után azt a következtetést lehet levonni, hogy azok többszöri alakúak.

- 3. gyakorlat

Két vonal van az űrben. Az egyik a (R) vonal, amelynek paraméteres egyenlete:

És a másik a vonal (S), amelynek egyenlete:

Mutassuk meg, hogy (R) és (S) egyenes síkok, azaz ugyanabban a síkban fekszenek.

Megoldás

Kezdjük úgy, hogy önkényesen veszünk két pontot a vonalon (R) és kettőt a vonalon (S):

(R) vonal: λ = 0; A (1, 1, 1) és λ = 1; B (3, 0, 1)

Legyen x = 0 a vonalon (S) => y = ½; C (0, ½, -1). És másrészt, ha y = 0 => x = 1-t állítunk elő; D (1, 0, -1).

Vagyis vettük azokat az A és B pontokat, amelyek az R vonalhoz tartoznak, és a C és D pontokat, amelyek az S vonalhoz tartoznak. Ha ezek a pontok párhuzamosak, akkor a két sor is lesz.

Most az A pontot választjuk pivotként, majd megtaláljuk az AB, AC és AD vektor koordinátáit . Ily módon kapsz:

B - A: (3-1, 0 -1, 1 - 1) => AB = (2, -1, 0)

C - A: (0-1, 1/2 -1, -1 - 1) => AC = (-1, -1/2, -2)

D - A: (1-1, 0 -1, -1 - 1) => AD = (0, -1, -2)

A következő lépés az olyan determináns összeállítása és kiszámítása, amelynek első sora az AB vektor együtthatói, a második sor az AC vektor, a harmadik sor pedig az AD vektor összetevői:

Mivel a determináns nullának bizonyul, akkor arra a következtetésre juthatunk, hogy a négy pont egyenes síkban van. Ezenkívül kijelenthető, hogy az (R) és (S) vonalak szintén egyenesek.

- 4. gyakorlat

Az (R) és (S) egyenesek egyenesek, amint azt a 3. gyakorlat is mutatja. Keresse meg a sík egyenletét, amely azokat tartalmazza.

Megoldás

Az A, B, C pontok teljesen meghatározzák ezt a síkot, de azt akarjuk kikényszeríteni, hogy a koordináták (x, y, z) bármely X pontja hozzá tartozik.

Ahhoz, hogy X az A, B, C által meghatározott síkhoz tartozik, és amelyben az (R) és (S) vonalak vannak, szükséges, hogy az első sorában az AX komponensei alkották a második sorban az AB, a harmadikban pedig az AC:

Ezt az eredményt követően az alábbiak szerint csoportosítjuk:

2 (x-1) + 4 (y-1) -2 (z-1) = 0

És azonnal látja, hogy így lehet átírni:

x - 1 + 2y - 2 - z + 1 = 0

Ezért x + 2y - z = 2 a sík egyenlete, amely tartalmazza az (R) és (S) egyeneseket.

Irodalom

1. Fleming, W. 1989. Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
2. Kolman, B. 2006. Lineáris algebra. Pearson oktatás.
3. Leal, JM 2005. Lapos analitikai geometria. Mérida - Venezuela: Szerkesztői Venezolana CA
4. Navarro, Rocio. Vektor. Helyreállítva: Books.google.co.ve.
5. Pérez, CD 2006. Előzetes számítás. Pearson oktatás.
6. Prenowitz, W. 2012. A geometria alapvető fogalmai. Rowman és Littlefield.
7. Sullivan, M. 1997. Precalculus. Pearson oktatás.