MIK AZ FERDE HÁROMSZÖGEK? (GYAKORLATOKKAL) - MATEMATIKA - 2026

Az ferde háromszögek azok a háromszögek, amelyek nem téglalapok. Más szavakkal: a háromszögek olyanok, hogy egyik szögük sem derékszögű (a mérés 90º).

Mivel nincsenek derékszögeik, a Pythagora-tétel nem alkalmazható ezekre a háromszögekre.

Ezért az adatok ferde háromszögben történő megismeréséhez más képleteket kell használni.

Az ferde háromszög megoldásához szükséges képletek a szinuszok és koszinuszok úgynevezett törvényei, amelyeket később ismertetünk.

Ezen törvények mellett mindig alkalmazható az a tény, hogy egy háromszög belső szögeinek összege 180º.

Ferde háromszögek

Mint az elején elhangzott, egy ferde háromszög olyan háromszög, amelynek egyik szöge sem mér 90 ° -ot.

A ferde háromszög oldalainak hosszúságának, valamint a szögeinek a mértékét a "ferde háromszögek megoldása" -nak nevezzük.

A háromszögekkel végzett munka során fontos tény, hogy egy háromszög három belső szöge összege egyenlő 180º-val. Ez általános eredmény, ezért ferde háromszögek esetén is alkalmazható.

A szinusz és a koszinusz törvényei

Adott háromszög ABC, amelynek "a", "b" és "c" hosszúságú oldala van:

- A szinusz törvény szerint a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C), ahol A, B és C az "a", "b" és "c" ellentétes szögei. "Illetőleg.

- A koszinuszok törvénye kimondja: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). Ezzel egyenértékűen a következő képletek használhatók:

b² = a² + c² - 2ac * cos (B) vagy a² = b² + c² - 2bc * cos (A).

Ezen képletek segítségével kiszámolható egy ferde háromszög adatai.

Feladatok

Az alábbiakban néhány olyan gyakorlatot találunk, ahol meg kell találni az adott háromszögek hiányzó adatait, a megadott adatok alapján.

Első gyakorlat

Ha olyan ABC háromszöget kapunk, amelyben A = 45º, B = 60º és a = 12cm, akkor számítsuk ki a háromszög többi adatát.

Megoldás

Ezzel a háromszög belső szögeinek összege 180º-val egyenlő

C = 180º-45º-60º = 75º.

A három szög már ismert. A két hiányzó oldal kiszámításához a szinusz törvényét alkalmazzák.

A felmerülő egyenletek 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).

Az első egyenlőségtől kezdve meg tudjuk oldani a "b" értéket és ezt megszerezzük

b = 12 * sin (60º) / sin (45º) = 6√6 ≈ 14,696cm.

Azt is meg lehet oldani, hogy "c", és megszerezni ezt

c = 12 * sin (75º) / sin (45º) = 6 (1 + √3) ≈ 16,392cm.

Második gyakorlat

Ha az ABC háromszöget úgy kapjuk, hogy A = 60º, C = 75º és b = 10cm, kiszámítsuk a háromszög többi adatát.

Megoldás

Az előző gyakorlathoz hasonlóan B = 180º-60º-75º = 45º. Ezen túlmenően, a szinusz törvényének alkalmazásával, a / sin (60º) = 10 / sin (45º) = c / sin (75º), amelyből megkapjuk, hogy a = 10 * sin (60º) / sin (45º) = 5√6 ≈ 12,247 cm és c = 10 * sin (75º) / sin (45º) = 5 (1 + √3) ≈ 13,660 cm.

Harmadik gyakorlat

Ha az ABC háromszöget úgy kapjuk, hogy a = 10cm, b = 15cm és C = 80º, kiszámítsuk a háromszög többi adatát.

Megoldás

Ebben a gyakorlatban csak egy szög ismert, ezért nem indítható el, mint az előző két gyakorlatban. A szinusz törvényét sem lehet alkalmazni, mert egyetlen egyenletet sem sikerült megoldani.

Ezért folytatjuk a koszinuszok törvényének alkalmazását. Akkor az

c² = 10² + 15² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300 * 0,173 ≈ 272,905 cm, úgy, hogy c ≈ 16,51 cm. Most, a három oldal ismeretében, a szinusz törvényét alkalmazzuk, és ezt megkapjuk

10 / sin (A) = 15 / sin (B) = 16,51 cm / sin (80º).

Ennélfogva a B megoldása esetén sin (B) = 15 * sin (80º) / 16,51 ≈ 0,894, ami azt jelenti, hogy B ≈ 63,38º.

Most megkaphatjuk, hogy A = 180º - 80º - 63,38º ≈ 36,62º.

Negyedik gyakorlat

Egy ferde háromszög oldala a = 5cm, b = 3cm és c = 7cm. Keresse meg a háromszög szögeit.

Megoldás

A szinusz törvényét szintén nem lehet közvetlenül alkalmazni, mivel egyetlen egyenlet sem szolgálná a szögek értékének meghatározását.

A koszinusz törvény alkalmazásával azt kapjuk, hogy c² = a² + b² - 2ab cos (C), ahonnan a megoldáskor a cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2, ezért C = 120º.

Most, ha alkalmazható a szinusz törvénye, és így 5 / sin (A) = 3 / sin (B) = 7 / sin (120º), ahonnan megoldhatjuk a B értéket és megszerezhetjük azt a sin (B) = 3 * sin (120º) / 7 = 0,371, úgy, hogy B = 21,79º.

Végül az utolsó szöget úgy kell kiszámítani, hogy A = 180º-120º-21,79º = 38,21º.

Irodalom

1. Landaverde, F. d. (1997). Geometria (Reprint ed.). Előrehalad.
2. Leake, D. (2006). Háromszögek (ábrázolva). Heinemann-Raintree.
3. Pérez, CD (2006). Precalculation. Pearson oktatás.
4. Ruiz Á. És Barrantes, H. (2006). Geometries. CR technológia.
5. Sullivan, M. (1997). Precalculation. Pearson oktatás.
6. Sullivan, M. (1997). Trigonometria és analitikus geometria. Pearson oktatás.