A HASONLÓ KIFEJEZÉSEK CSÖKKENTÉSE (MEGOLDOTT GYAKORLATOKKAL) - MATEMATIKA - 2026

Az ilyen kifejezések redukciója az algebrai kifejezések egyszerűsítésére szolgál. Algebrai kifejezésben hasonló kifejezések azok, amelyeknek ugyanaz a változójuk van; vagyis ugyanazok az ismeretlenek egy betűvel vannak ábrázolva, és ezek azonos exponensek.

Egyes esetekben a polinomok kiterjedtek, és megoldás eléréséhez meg kell próbálni csökkenteni az expressziót; Ez akkor lehetséges, ha vannak hasonló kifejezések, amelyeket kombinálhatunk olyan műveletek és algebrai tulajdonságok alkalmazásával, mint például összeadás, kivonás, szorzás és osztás.

Magyarázat

Mint a kifejezések ugyanabból a változóból állnak, azonos exponensekkel, és egyes esetekben ezeket csak numerikus együtthatóik alapján különbözik meg.

Hasonló kifejezéseket azoknak is tekintünk, amelyek nem tartalmaznak változókat; vagyis azok a kifejezések, amelyeknek csak állandói vannak. Tehát például a következők hasonló kifejezések:

- 6x ² - 3x ². Mindkét kifejezésnek ugyanaz az x ² változója van.

- 4a ² b ³ + 2a ² b ³. Mindkét kifejezésnek ugyanazok a változói vannak a ² b ³.

- 7 - 6. A kifejezések állandóak.

Azokat a kifejezéseket, amelyek ugyanazokkal a változókkal rendelkeznek, de különböző kitevőkkel, különféle kifejezéseknek nevezzük, például:

- 9a ² b + 5ab. A változóknak különböző exponensek vannak.

- 5x + y. A változók különbözőek.

- b - 8. Az egyik kifejezésnek változója van, a másiknak állandó.

A polinomot alkotó hasonló kifejezések azonosításával ezek egyre redukálhatók, összekapcsolva mindazokat, amelyek azonos változókkal rendelkeznek, azonos exponensekkel. Ilyen módon a kifejezés egyszerűsödik az azt alkotó kifejezések számának csökkentésével, és megkönnyíti a megoldás kiszámítását.

Hogyan lehet csökkenteni a hasonló kifejezéseket?

A hasonló kifejezések csökkentését az addíció asszociatív tulajdonságának és a termék disztribúciós tulajdonságának alkalmazásával hajtják végre. A következő eljárás alkalmazásával csökkenthető a kifejezés:

- Először is, ahogyan a kifejezéseket csoportosítottuk.

- A hasonló kifejezések együtthatóit (a változókat kísérő számokat) összeadjuk vagy kivonjuk, és az esettől függően alkalmazzuk az asszociatív, kommutációs vagy elosztó tulajdonságokat.

- Ezután megírják a kapott új feltételeket, és elé helyezik a mûvelet eredményeként kapott jelet.

Példa

Csökkentse a következő kifejezés feltételeit: 10x + 3y + 4x + 5y.

Megoldás

Először, a kifejezéseket arra rendelik, hogy csoportosítsák azokat, amelyek hasonlóak, a kommutációs tulajdonság alkalmazásával:

10x + 3y + 4x + 5y = 10x + 4x + 3y + 5y.

Ezután a disztribúciós tulajdonságot alkalmazzuk, és a változókat kísérő együtthatókat hozzáadjuk a kifejezések redukciójának eléréséhez:

10x + 4x + 3y + 5y

= (10 + 4) x + (3 + 5) y

= 14x + 8y.

A hasonló kifejezések csökkentése érdekében fontos figyelembe venni a változót kísérő együtthatók jeleit. Három lehetséges eset van:

Hasonló kifejezések csökkentése egyenlő jelekkel

Ebben az esetben az együtthatók hozzáadódnak, és a kifejezés jele az eredmény elé kerül. Ezért, ha pozitívak, az eredményül kapott kifejezések pozitívak lesznek; abban az esetben, ha a kifejezések negatívak, az eredménynek a (-) jele van a változó kíséretében. Például:

a) 22ab ² + 12ab ² = 34 ab ².

b) -18x ³ - 9x ³ - R6 = -27x ³ - 6.

A hasonló kifejezések csökkentése c

Ebben az esetben az együtthatókat kivonják, és a legnagyobb együttható jele az eredmény elé kerül. Például:

a) 15x ² y - 4x ² y + 6x ² y - 11x ² y

= (15x ² y + 6x ² y) + (- 4x ² y - 11x ² y)

= 21x ² y + (-15x ² y)

= 21x ² y - 15x ² y

= 6x ² és.

b) -5a ³ b + 3 a ³ b - 4a ³ b + a ³ b

= (3 a ³ b + a ³ b) + (-5a ³ b - 4a ³ b)

= 4a ³ b - 9a ³ b

= -5 és ³ b.

Így a hasonló jelek csökkentése érdekében, amelyek eltérő jelekkel rendelkeznek, egyetlen additív kifejezést kell létrehozni azokkal, amelyek pozitív jele van (+), hozzáadjuk az együtthatókat, és az eredményt a változók kísérik.

Ugyanezen módon egy kivonó kifejezés alakul ki, és azokkal a kifejezésekkel, amelyek negatív előjelet mutatnak (-), hozzáadjuk az együtthatókat, és az eredményt a változók kísérik.

Végül a két képzött kifejezés összegét kivonjuk, és az eredményre nagyobb érték jele kerül.

A hasonló kifejezések csökkentése a műveletekben

A hasonló kifejezések redukciója az algebra művelete, amely összeadható, kivonható, szorzó és algebrai osztással is alkalmazható.

Összegekben

Ha több azonosító kifejezéssel rendelkező polinom van, ezek csökkentése érdekében az egyes polinomok kifejezéseit úgy kell megjelölni, hogy megtartják a jeleiket, majd egymás után írják, és a hasonló kifejezések csökkennek. Például a következő polinomokkal rendelkezünk:

3x - 4xy + 7x ² és + 5xy ².

- 6x ² y - 2xy + 9 xy ² - 8x.

Kivonással

Az egyik polinom egy másikból való kivonásához a minuendot írjuk, majd megváltoztatjuk a kivonást annak jeleivel, majd a hasonló kifejezések redukciója megtörténik. Például:

5a ³ - 3ab ² + 3b ² c

6ab ² + 2a ³ - 8b ² c

Így a polinómokat 3a ³ - 9ab ² + 11b ² c értékre összegzik.

Szorzásban

A polinomok termékében a szorzót alkotó kifejezéseket meg kell szorozni minden szorzót alkotó kifejezéssel, figyelembe véve, hogy a szorzás jelei változatlanok, ha pozitívak.

Csak akkor módosulnak, ha negatív kifejezéssel megszorozzák; vagyis ha az azonos jel két kifejezése megszorozódik, akkor az eredmény pozitív (+), és ha eltérõ jelek vannak, akkor az eredmény negatív lesz (-).

Például:

a) (a + b) _* (a + b)

= a ² + ab + ab + b ²

= a ² + 2ab + b ².

b) (a + b) _* (a - b)

= a ² - ab + ab - b ²

= a ² - b ².

c) (a - b) _* (a - b)

= a ² - ab - ab + b ²

= a ² - 2ab + b ².

Osztásokban

Ha két polinomot osztással szeretne redukálni, meg kell találnia egy harmadik polinomot, amely a másodikkal (osztóval) megszorozva az első polinomot (osztalékot) eredményezi.

Ehhez az osztalék és az osztó feltételeit balról jobbra kell rendezni, hogy mindkét változó azonos sorrendben legyen.

Ezután a felosztást elvégezzük, az osztalék bal oldalán lévő első ciklustól kezdve az osztó bal oldalán lévő első ciklusig, mindig figyelembe véve az egyes kifejezések jeleit.

Például, csökkentheti a polinom: 10x ⁴ - 48x ³ y + 51x ² és ² + 4xy ³ - 15Y ^{4 által} elosztjuk azt a polinom: -5x ² + 4xy + 3y ².

A kapott polinom -2x ² + 8xy - 5Y ².

Megoldott gyakorlatok

Első gyakorlat

Csökkentse az adott algebrai kifejezés feltételeit:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6AB - 9 + 4a ² - 13-ab.

Megoldás

Az összeadás kommutációs tulajdonságát alkalmazzuk, az azonos változókkal rendelkező kifejezések csoportosításával:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6AB + 9 + 4a ² - 13-

= (15a ² + 6a ² + 4a ²) + (- 8ab - 6ab) + (9-13).

Ezután a szorzás elosztó tulajdonságát alkalmazzuk:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6AB + 9 + 4a ² - 13-

= (15 + 6 + 4) a ² + (- 8 - 6) ab + (9 - 13).

Végül egyszerűsítésre kerülnek az egyes kifejezések koefficienseinek összeadásával és kivonásával:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6AB + 9 + 4a ² - 13-

= 25a ² - 14ab - 4.

Második gyakorlat

Egyszerűsítse a következő polinomok termékét:

(8x ³ + 7xy ²) _* (8x ³ - 7 xy ²).

Megoldás

Az első polinom mindegyik kifejezése megszorozódik a másodikval, figyelembe véve, hogy a kifejezések jelei különböznek; ezért szorzásának eredménye negatív lesz, valamint az exponensek törvényeit kell alkalmazni.

(8x ³ + 7xy ²) _* (8x ³ - 7xy ²)

= 64 x ⁶ - 56 x ³ _* xy ² + 56 x ³ _* xy ² - 49 x ² y ⁴

= 64 x ⁶ - 49 x ² y ⁴.

Irodalom

1. Angel, AR (2007). Elemi algebra. Pearson Oktatás,.
2. Baldor, A. (1941). Algebra. Havanna: Kultúra.
3. Jerome E. Kaufmann, KL (2011). Elemi és közép algebra: Kombinált megközelítés. Florida: Cengage tanulás.
4. Smith, SA (2000). Algebra. Pearson oktatás.
5. Vigil, C. (2015). Algebra és alkalmazásai.