AXIÁLIS SZIMMETRIA: TULAJDONSÁGOK, PÉLDÁK ÉS GYAKORLATOK - MATEMATIKA - 2026

A tengelyirányú szimmetria az, amikor egy ábra pontjai egyenes felezőgéppel, az úgynevezett szimmetriatengelyel egybeesnek egy másik ábra pontjaival. Radiális, forgó vagy hengeres szimmetriának nevezik.

Általában geometriai ábrákban alkalmazzák, de a természetben könnyen megfigyelhető, mivel vannak olyan állatok, mint pillangók, skorpiók, katicabogárok vagy emberek, akik tengelyirányú szimmetriát mutatnak.

A tengelyirányú szimmetriát a torontói városkép és a vízben való visszatükröződés ezen a fotóján mutatjuk be. (Forrás: pixabay)

Hogyan lehet axiálisan szimmetrikus?

A P pont P 'tengelyirányú szimmetriájának egy (L) vonalhoz viszonyított meghatározásához a következő geometriai műveleteket kell végrehajtani:

1. - A P ponton áthaladó vonalra merőleges (L)

2.- A két vonal elhallgatása meghatározza az O pontot.

3.- Mérjük meg a PO szegmens hosszát, majd ezt a hosszúságot másoljuk a vonalra (PO), kezdve O-tól P-től O-ig, meghatározva a P 'pontot.

4.- A P 'pont a P pont tengelyirányú szimmetriája az L tengelyhez képest, mivel az L vonal a PP' szegmens felezője, az O a szegmens középpontja.

1. ábra: Két P és P 'pont tengelyirányban szimmetrikus egy L tengelyhez képest, ha az említett tengely a PP' szegmens felezője

Az axiális szimmetria tulajdonságai

- Az axiális szimmetria izometrikus, vagyis megmarad a geometriai ábra távolságai és a hozzájuk tartozó szimmetria.

- A szög mértéke és szimmetrikus egyenlő.

- Egy pont tengelyirányú szimmetriája a szimmetria tengelyén maga a pont.

- A szimmetria tengelyével párhuzamos vonal szimmetrikus vonala szintén az említett tengelygel párhuzamos vonal.

- A szimmetriatengelyhez vezető szimmetrikus vonal szimmetrikus vonalként egy másik szekvenciavonalat tartalmaz, amely viszont keresztezi a szimmetriatengelyt az eredeti vonal azonos pontján.

- A vonal szimmetrikus képe egy másik vonal, amely szöget képez az eredeti vonaléval megegyező szimmetriatengellyel.

- A szimmetria tengelyére merőleges vonal szimmetrikus képe egy másik vonal, amely átfedi az elsőt.

- Egy vonal és annak tengelyirányú szimmetrikus vonalát egy szög alkotja, amelynek felezője a szimmetria tengelye.

2. ábra. Az axiális szimmetria megőrzi a távolságot és a szöget.

Példák az axiális szimmetriára

A természet az axiális szimmetria bőséges példáit mutatja be. Például láthatja az arcok, rovarok, mint például a pillangók szimmetriáját, a nyugodt vízfelületek és a tükrök tükröződését vagy a növények leveleit.

3. ábra. Ez a pillangó tökéletes tengelyszimmetriát mutat. (Forrás: pixabay)

4. ábra. A lány arca axiális szimmetria. (Forrás: pixabay)

Axiális szimmetria gyakorlatok

1. Feladat

Van olyan A, B és C csúcs háromszöge, amelynek derékszögű koordinátái A = (2, 5), B = (1, 1) és C = (3,3). Keresse meg az Y tengely körül szimmetrikus háromszög derékszögű koordinátáit (ordináta tengelye).

Megoldás: Ha a P pont koordinátáival (x, y) rendelkezik, akkor a ordináta tengelyére (Y tengely) szimmetrikus P '= (- x, y). Más szavakkal, az abszcissza értéke megváltoztatja a jelet, míg a ordinátum értéke változatlan marad.

Ebben az esetben az A ', B' és C 'csúcsokkal ellátott szimmetrikus háromszög koordinátái vannak:

A '= (- 2,5,); B '= (- 1, 1) és C' = (- 3, 3), amint az a 6. ábrán látható.

6. ábra. Ha egy pont koordinátáival (x, y) rendelkezik, akkor az Y tengelyhez viszonyítva szimmetrikus (koordinátatengely) koordináták vannak (-x, y).

2. gyakorlat

Az ABC háromszögre és az 1. gyakorlatból származó szimmetrikus A'B'C '-re hivatkozva ellenőrizze, hogy az eredeti háromszög és szimmetrikája megfelelő hosszúságúak-e.

Megoldás: Az oldal távolságának vagy hosszának meghatározásához az euklideszi távolság képletet használjuk:

d (A, B) = √ ((Bx - ax) ^ 2 + (By - Ay) ^ 2) = √ ((1-2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((- 1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4,123

A megfelelő szimmetrikus A'B 'oldal hosszát az alábbiak szerint kell kiszámítani:

d (A ', B') = √ ((Bx'-Ax ') ^ 2 + (By-Ay') ^ 2) = √ ((- 1 + 2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4,123

Ilyen módon ellenőrzik, hogy az axiális szimmetria megőrzi-e a két pont közötti távolságot. Az eljárást meg lehet ismételni a háromszög másik két oldalára és annak szimmetrikusára, hogy meghatározzuk az invariancia hosszát. Például -AC- = -A'C'- = √5 = 2236.

3. gyakorlat

Az ABC háromszög és az 1. gyakorlatból származó szimmetrikus A'B'C 'vonatkozásában ellenőrizze, hogy az eredeti háromszög és szimmetrikus szögei megegyeznek-e egymással.

Megoldás: meghatározza azokat az intézkedéseket a szögek BAC és B'A'C „akkor először kiszámítja a skalár szorzata vektorok AB és AC majd skalár szorzata A'B” a A'C ".

Emlékezve arra:

A = (2,5), B = (1,1) és C = (3,3)

A '= (- 2,5,); B '= (- 1, 1) és C' = (- 3, 3).

Rendelkezik:

AB = <1-2, 1-5> és AC = <3-2, 3-5>

hasonlóképpen

A'B ' = <-1 + 2, 1-5> és AC = <-3 + 2, 3-5>

Ezután a következő skaláris termékek találhatók:

AB⋅AC = <-1, -4> ⋅ <1, -2> = -1⋅1 + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

Hasonlóképpen

A'B'⋅A'C ' = <1, -4> ⋅ <-1, -2> = 1⋅ (-1) + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

A BAC szög mértéke:

∡BAC = ArcCos (AB⋅AC / (- AB- ⋅- AC-)) =

ArcCos (7 / (4123-2,236)) = 40,6 °

Hasonlóképpen, a B'A'C 'szög mérete:

∡B'A'C '= arccos (A'B'⋅A'C' / (- A'B'- ⋅- A'C'-)) =

ArcCos (7 / (4123-2,236)) = 40,6 °

Megállapítva, hogy az axiális szimmetria megőrzi a szögek mértékét.

4. gyakorlat

Legyen P pont koordináták (a, b). Keresse meg P 'tengelyirányú szimmetria koordinátáit az y = x vonalhoz viszonyítva.

Megoldás: Hívjuk (a ', b') a P 'szimmetrikus pont koordinátáit az y = x vonalhoz viszonyítva. A PP 'szegmens M középpontjának koordinátái ((a + a') / 2, (b + b ') / 2) vannak, és szintén az y = x vonalon van, tehát a következő egyenlőség érvényes:

a + a '= b + b'

Másrészt, a PP 'szegmens lejtője -1, mert merőleges az y = x egyenesre az 1 lejtővel, tehát a következő egyenlőség érvényes:

b - b '= a' -a

A két korábbi a 'és b' egyenlőség megoldásakor a következtetés az, hogy:

a '= ebből b' = a.

Vagyis adva egy P (a, b) pontot, annak tengelyirányú szimmetriája az y = x vonalhoz viszonyítva P '(b, a).

Irodalom

1. M. Arce, Blázquez S és mások. A sík transzformációi. Helyreállítva a következő címen: eduutmxli.files.wordpress.com
2. Számítás cc. Axiális szimmetria. Helyreállítva: calculo.cc
3. Superprof. Axiális szimmetria. Helyreállítva: superprof.es
4. wikipedia. Axiális szimmetria. Helyreállítva: es.wikipedia.com
5. wikipedia. Kör szimmetria. Helyreállítva: en.wikipedia.com