KÖZPONTI SZIMMETRIA: TULAJDONSÁGOK, PÉLDÁK ÉS GYAKORLATOK - MATEMATIKA - 2025

Két A és A pontnak központi szimmetriája van egy O ponthoz képest, amikor az AA szegmens áthalad rajta, és ez szintén AA középpontja. Az O pontot a szimmetria központjának nevezik.

Az ABC háromszög O-ponthoz viszonyított központi szimmetriája egy másik A'B'C 'háromszög, amelynek a következő jellemzői vannak:

-Homológ szegmensek azonos hosszúságú

-A megfelelő szögeknek ugyanaz a mérete.

1. ábra: Az ABC háromszög és szimmetrikus A'B'C '. Forrás: F. Zapata.

Az 1. ábra az ABC (piros) háromszöget és annak központi szimmetriáját A'B'C '(zöld) mutatja, az O szimmetria középpontjához viszonyítva.

Ugyanebben az ábrában egy figyelmes megfigyelő rájön, hogy ugyanazt az eredményt kapja az eredeti háromszög elforgatásával, mindaddig, amíg 180 ° -ra áll, és O középpontjában van.

Ezért egy központi szimmetria egyenértékű egy 180º-os fordulattal a szimmetria középpontja szempontjából.

A központi szimmetria tulajdonságai

A központi szimmetria a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

-A szimmetria középpontja annak a szegmensnek a középpontja, amely a szimmetriájával egy ponthoz csatlakozik.

- Egy másik szimmetrikus pontja, amely a szimmetria központjában helyezkedik el, egybeesik a szimmetria középpontjával.

-A háromszög középső szimmetriája egybevágó háromszög (egyenlő) az eredetitel.

-A kör egy központi szimmetriájú képe egy másik, azonos sugárú kör.

-A kerületnek központi szimmetriája van a saját központjához képest.

2. ábra. Tervezés központi szimmetriával. Forrás: Pixabay.

-A ellipszis középső szimmetriájú.

-A szegmens középső pontja központi szimmetriájú.

Az egyenlő oldalú háromszögnek nincs központi szimmetriája a középpontjához képest, mert annak szimmetriája, bár az előzővel egybevágó, elforgatott egyenlő oldalú háromszöget eredményez.

-A négyzetek középső szimmetriájúak középpontjukhoz képest.

-A ötszögnek nincs központi szimmetriája a közepéhez képest.

-Rendszeres sokszögek központi szimmetriájúak, ha páros számú oldaluk van.

Példák

A szimmetria kritériumoknak számos alkalmazásuk van a tudományban és a mérnöki munkában. A központi szimmetria jelen van a természetben, például a jégkristályok és a pókhálók ilyen szimmetriájúak.

Ezenkívül számos probléma könnyen megoldható, ha kihasználjuk a központi szimmetria és más típusú szimmetria fennállását. Ezért kényelmes gyorsan azonosítani, mikor fordul elő.

3. ábra. A jégkristályok központi szimmetriájúak. Forrás: Pixabay.

1. példa

Adva a koordináták P pontját (a, b), meg kell találnunk szimmetrikus P 'koordinátáit a koordináták O eredete vonatkozásában (0, 0).

Az első dolog, hogy felépítsük a P 'pontot, amelyre egy vonal húzódik, amely áthalad az O eredetén és a P ponton. Ennek a vonalnak az egyenlete y = (b / a) x.

Hívjuk (a ', b') a P 'szimmetrikus pont koordinátáit. A P 'pontnak az O-n áthaladó vonalon kell lennie, tehát igaz: b' = (b / a) a '. Ezenkívül az OP távolságának meg kell egyeznie az OP-vel, amelyet analitikus formában így írnak:

√ (a ² + b ²) = √ (a ' ² + b' ²)

Az alábbiakkal helyettesítjük a b '= értéket az előző kifejezésben és az egyenlőség mindkét oldalát négyzettel négyzetgyök kiküszöbölése érdekében: (a ² + b ²) =

A közös tényező kinyerésével és egyszerűsítésével azt kapjuk, hogy a ' ² = a ². Ennek az egyenletnek két valós megoldása van: a '= + a vagy a' = -a.

Ahhoz, hogy b '-et kapjunk, ismét b' = (b / a) a '-ot használunk. Ha az 'pozitív megoldása helyettesített, akkor' b '= b értékre jutunk. És ha a negatív oldat helyettesítésre kerül, akkor b '= -b.

A pozitív megoldás P 'esetében ugyanazt a P pontot adja, tehát elvetik. A negatív megoldás határozottan megadja a szimmetrikus pont koordinátáit:

P ': (-a, -b)

2. példa

Meg kell mutatni, hogy az AB szegmens és annak központi szimmetrikus A'B 'hossza azonos.

Az A pont (Ax, Ay) és a B pont koordinátáitól kezdve: (Bx, By), az AB szegmens hosszát a következő adja meg:

d (AB) = √ ((Bx - ax) ² + (By - Ay) ²)

Analógia útján az A'B 'szimmetrikus szakaszának hossza a következő:

d (A'B ') = √ ((Bx' - Ax ') ² + (' - Ay ') ²)

Az A 'szimmetrikus pont koordinátái Ax' = -Ax és Ay '= -Ay. Hasonlóképpen a B 'jelentése Bx' = -Bx és '= -By. Ha ezeket a koordinátákat helyettesítjük a d (A'B ') távolság egyenletében, akkor:

d (A'B ') = √ ((-Bx + Ax) ² + (-By + Ay) ²), amely egyenértékű:

√ ((Bx - ax) ² + (By - Ay) ²) = d (AB)

Így megmutatjuk, hogy mindkét szegmens azonos hosszúságú.

Megoldott gyakorlatok

- 1. Feladat

Analitikai módon igazoljuk, hogy az R sugara kör és az O középpont szimmetrikus O ugyanaz az eredeti kör.

Megoldás

Az R sugarú és O középpontú (0,0) kör egyenlete a következő:

x ² + y ² = R ² (a C kerület egyenlete)

Ha a koordináták (x, y) kerületének minden P pontján megtaláljuk a koordináták szimmetrikus P 'pontját (x', y '), akkor a szimmetrikus kerület egyenlete a következő:

x ' ² + y' ² = R ² (a C szimmetrikus kör egyenlete)

Most az 1. példa eredményére utalunk, amelyben arra a következtetésre jutunk, hogy a P 'szimmetrikus P' pont koordinátái (a, b) koordinátái (-a, -b).

De ebben a feladatban a P pont koordinátáival (x, y) rendelkezik, tehát szimmetrikus P 'koordinátáinak x' = -xe y '= -y lesz. Cserélve ezt a szimmetrikus kör egyenletére:

(-x) ² + (-Y) ² = R ²

Amely egyenértékű: x ² + y ² = R ², megállapítva, hogy a központi szimmetrikus egy kör, tekintettel a központja a kör maga.

- 2. gyakorlat

Mutassa meg geometriai formában, hogy a központi szimmetria megőrzi a szöget.

Megoldás

4. ábra. A 2. feladat szimmetrikus pontjainak felépítése. Forrás: F. Zapata.

Három A, B és C pont van a síkon. Az A ', B' és C 'szimmetriáját az O szimmetria középpontjához képest kell felépíteni, ahogy a 4. ábra mutatja.

Most meg kell mutatnunk, hogy az ∡ABC = β szög megegyezik a ∡A'B'C '= β' szög mértékével.

Mivel C és C 'szimmetrikusak, akkor OC = OC'. Hasonlóképpen: OB = OB 'és OA = OA'. Másrészt, a ∡BOC = ∡B'OC 'szög, mert a csúcs ellenzi őket.

Ezért a BOC és a B'OC 'háromszögek kongrugensek, mivel egyenlő szögek vannak két azonos oldal között.

Mivel a BOC kongruens a B'OC-val, akkor a γ és γ szögek egyenlők. De ezek a szögek a γ = γ 'teljesítésén kívül a BC és B'C' egyenesek belső váltakozói is, ami azt jelenti, hogy a BC egyenes párhuzamos a B'C '-nel.

A BOA hasonlóan a B'OA-hoz hasonlóan, amelyből következik, hogy α = α '. De α és α 'váltakozó belső szögek a BA és a B'A' vonal között, amelyekből arra következtethetünk, hogy a BA vonal párhuzamos a B'A'-val.

Mivel az ∡ABC = β szögnek az oldalai párhuzamosak az ∡A'B'C '= β' szöggel, és mindkettő akut, ezért arra a következtetésre jutunk, hogy:

∡ABC = ∡A'B'C '= β = β'

Ilyen módon bizonyítva, hogy a központi szimmetria megőrzi a szögek mértékét.

Irodalom

1. Baldor, JA, 1973. Sík és űrgeometria. Közép-amerikai kulturális.
2. Matematikai törvények és képletek. Szögmérő rendszerek. Helyreállítva: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Sík geometria. Helyreállítva: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Központi szimmetria. Helyreállítva: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Szállítószalag. Helyreállítva: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Konjugált belső és külső szögek. Helyreállítva: lifeder.com