TORRICELLI-TÉTEL: MIBŐL ÁLL, KÉPLETEK ÉS GYAKORLATOK - FIZIKAI - 2025

A Torricelli tétel vagy a Torricelli elv azt állítja, hogy a tartály vagy tartály falában a nyílásból kilépő folyadék sebessége megegyezik azzal, amely tárgyat szerez, és a felülettel megegyező magasságból szabadon esik. folyadék nélkül a lyukba.

A tételt a következő ábra szemlélteti:

Torricelli-tétel illusztrációja. Forrás: saját készítésű.

A Torricelli-tétel miatt ezután kijelenthetjük, hogy a folyadék kijutási sebességét egy nyíláson keresztül, amely a folyadék szabad felülete alatti h magasságban, a következő képlet adja meg:

Ahol g a gravitáció gyorsulása, h pedig a lyuk és a folyadék szabad felülete közötti magasság.

Evangelista Torricelli volt fizikus és matematikus, aki az olaszországi Faenza városában született 1608-ban. A Torricelli számára jóváhagyták a higany-barométer feltalálását. (Hg mm-ben).

A tétel bizonyítása

Torricelli tételében és a sebességet megadó képletben feltételezi, hogy a viszkozitási veszteségek elhanyagolhatóak, ugyanúgy, mint a szabad esésnél, feltételezzük, hogy a leeső tárgy körülvevő levegő okozta súrlódás elhanyagolható.

A fenti feltételezés a legtöbb esetben ésszerű, és magában foglalja a mechanikus energia megőrzését is.

A tétel bizonyításához először meg fogjuk találni a sebesség képletét egy objektum számára, amely nulla kezdeti sebességgel szabadul fel ugyanabból a magasságból, mint a tartályban lévő folyadék felülete.

Az energiamegtakarítás elvét kell alkalmazni a leeső tárgy sebességének meghatározására, amikor az a h lyukkal megegyező magasságban leereszkedik a lyukról a szabad felületre.

Mivel nincsenek súrlódási veszteségek, érvényes a mechanikus energia megőrzésének elve. Tegyük fel, hogy a leeső tárgy tömege m, és a h magasságot a folyadék kilépési szintjétől mérjük.

Eső tárgy

Amikor az objektumot a folyadék szabad felületével megegyező magasságból engedik szabadon, az energiája csak gravitációs potenciállal rendelkezik, mivel sebessége nulla, és ezért kinetikus energiája nulla. Az Ep potenciális energiát a következő adja meg:

Ep = mgh

Ha áthalad a lyuk előtt, magassága nulla, akkor a potenciális energia nulla, tehát csak az Ec kinetikus energiáját adja meg:

Ec = ½ mv ²

Mivel az energia megtakarítva Ep = Ec a kapott eredményekből:

½ mv ² = mgh

A v sebességre megoldva a Torricelli képletet kapjuk:

Folyadék jön ki a lyukból

Ezután megvizsgáljuk a folyadék kilépési sebességét a lyukon keresztül annak bizonyítása érdekében, hogy ez egybeesik azzal, amelyet éppen kiszámítottak egy szabadon eső tárgyra.

Ehhez Bernoulli elvére építünk, amely nem más, mint a folyadékok energiamegtakarítása.

Bernoulli elve így van megfogalmazva:

A képlet a következőképpen értelmezhető:

• Az első kifejezés a folyadék térfogatban kifejezett kinetikus energiáját képviseli
• A második a keresztmetszet egységenkénti nyomás által elvégzett munkát ábrázolja
• A harmadik a gravitációs potenciális energiát képviseli a folyadék térfogatának egységénként.

Mivel arra az előfeltevésre indulunk, hogy ez ideális folyadék, nem turbulens körülmények között, viszonylag alacsony sebességgel, akkor helyénvaló megerősíteni, hogy a folyadék térfogatra eső mechanikai energiája állandó minden régiójában vagy keresztmetszetében.

Ebben a képletben az V a folyadék sebessége, ρ a folyadék sűrűsége, P nyomás és z függőleges helyzet.

Az alábbi ábra Torricelli formuláját mutatja Bernoulli elvétől kezdve.

Bernoulli formuláját alkalmazzuk a folyadék szabad felületén, amelyet (1) -el jelölünk, és a kilépési lyukon, amelyet (2) -el jelölünk. A nulla fejmagasságot a kimeneti nyílással egyenesen választottuk.

Feltételezve, hogy az (1) keresztmetszete sokkal nagyobb, mint a (2) -ben, akkor feltételezhetjük, hogy az (1) folyadék leereszkedése gyakorlatilag elhanyagolható.

Ezért a V ₁ = 0 értéket beállítottuk, és a folyadéknak az (1) -ben kitett nyomás atmoszferikus nyomás, és a nyílásból mért magasság h.

A (2) kimeneti szakasz esetében feltételezzük, hogy a kimeneti sebesség v, az a nyomás, amelyre a folyadék ki van téve a kimeneten, szintén légköri nyomás, és a kimeneti magasság nulla.

Az (1) és (2) szakasznak megfelelő értékeket Bernoulli képletében helyettesítjük, és egyenlővé tesszük. Az egyenlőség fennáll, mert feltételezzük, hogy a folyadék ideális és nincs viszkózus súrlódási veszteség. Az összes kifejezés egyszerűsítése után megkapjuk a kilépési lyuk sebességét.

A fenti négyzet azt mutatja, hogy a kapott eredmény megegyezik egy szabadon eső tárgyéval,

Megoldott gyakorlatok

1. Feladat

I) A víztartály kicsi kimeneti csöve 3 m-rel a víz felszíne alatt van. Számítsa ki a víz kilépési sebességét.

Megoldás:

A következő ábra azt mutatja be, hogy ebben az esetben hogyan alkalmazzák a Torricelli-képletet.

2. gyakorlat

II) Feltételezve, hogy az előző gyakorlatból a tartály kimeneti csöve átmérője 1 cm, számítsa ki a víz kimeneti áramlását.

Megoldás:

Az áramlási sebesség az egységenként kilépő folyadék térfogata, amelyet egyszerűen úgy kiszámítanak, hogy a kilépőnyílás területét megszorozzák a kilépési sebességgel.

Az alábbi ábra a számítás részleteit mutatja.

3. gyakorlat

III) Határozza meg, hogy mekkora a víz szabad felülete egy tartályban, ha tudod

hogy a tartály alján lévő lyukban a víz 10 m / s sebességgel jön ki.

Megoldás:

A Torricelli képlet még akkor is alkalmazható, ha a lyuk a tartály alján található.

Az alábbi ábra a számítás részleteit mutatja.

Irodalom

1. Wikipedia. Torricelli tétele.
2. Hewitt, P. Fogalmi fizikai tudomány. Ötödik kiadás.119.
3. Fiatal, Hugh. 2016. Sears-Zemansky Egyetemi Fizika a modern fizikával. 14. kiadás, Pearson. 384.