VARIGNON-TÉTEL: PÉLDÁK ÉS MEGOLDOTT FELADATOK - MATEMATIKA - 2025

A Varignon tétel azt állítja, hogy ha bármely négyszög folyamatosan kapcsolódik az oldalak középpontjaihoz, akkor párhuzamos diagram jön létre. Ezt a tételt Pierre Varignon fogalmazta meg, és 1731-ben közzétette a matematika elemei könyvben.

A könyv megjelenése évvel halála után történt. Mivel ezt a tételt Varignon vezette be, a párhuzamos ábrát ő nevében nevezték el. A tétel euklideszi geometrián alapul, és a négyszögek geometriai összefüggéseit mutatja be.

Mi a Varignon-tétel?

Varignon kijelentette, hogy egy olyan alak, amelyet egy négyszög középpontjai határoznak meg, mindig párhuzamos képet fog eredményezni, és ha a sík és konvex, a párhuzamos ábra területe mindig a négyzet oldalának fele lesz. Például:

Az ábrán egy négyszög látható, amelynek X területe van, ahol az oldalak középpontjait E, F, G és H ábrázolja, és amikor összekapcsolnak, egy párhuzamos képet alkotnak. A négyszög területe a képződött háromszögek területének összege, ennek fele megegyezik a párhuzamos ábra területével.

Mivel a párhuzamos ábra területe a négyszög területének fele, annak a kerületét meg lehet határozni.

Így a kerület megegyezik a négyszög átlóinak hosszainak összegével; Ennek oka az, hogy a négyszög mediánjai a párhuzamos diagram átlói lesznek.

Másrészt, ha a négyszög átlóinak hossza pontosan megegyezik, akkor a párhuzamos ábra rombusz lesz. Például:

Az ábrából látható, hogy a négyszög oldalainak középpontjainak összekapcsolásával rombust kapnak. Másrészről, ha a négyszög átlói merőlegesek, akkor a párhuzamos diagram téglalap lesz.

A párhuzamos ábra szintén négyzet lesz, ha a négyszög átlói azonos hosszúságúak és merőlegesek is.

A tétel nemcsak sík négyszögekben valósul meg, hanem térbeli geometriában vagy nagy méretekben is megvalósul; vagyis azokban a négyszögekben, amelyek nem konvexek. Erre példa lehet egy oktaéder, ahol a középpontok az egyes arcok középpontjai és párhuzamos csövet alkotnak.

Ily módon a különféle ábrák középpontjainak összekapcsolásával párhuzamos programokat lehet elérni. Egyszerű módszer annak ellenőrzésére, hogy ez valóban igaz-e, hogy az ellenkező oldalak párhuzamosak legyenek, ha kinyújtják őket.

Példák

Első példa

Az ellenkező oldalak kiterjesztése annak igazolására, hogy egy párhuzamos ábra:

Második példa

A rombusz középpontjainak összekapcsolásával egy téglalapot kapunk:

A tételt a négyszög oldalának közepén elhelyezkedő pontok uniójában használják, és más típusú pontokhoz is felhasználható, mint például háromszög, ötszög vagy akár végtelen számú szakasz (n.), annak érdekében, hogy minden négyszög oldalait szétválaszthassuk szegmensekre.

Megoldott gyakorlatok

1. Feladat

Az ábrán a Z terület négyszögű ABCD-je van, ahol ennek oldalainak középpontjai PQSR. Ellenőrizze, hogy kialakult-e Varignon párhuzamos ábra.

Megoldás

Megállapítható, hogy a PQSR pontokhoz való csatlakozáskor Varignon párhuzamos diagram alakul ki, éppen azért, mert egy négyszög középpontjait az utasítás tartalmazza.

Ennek igazolására először a PQSR középpontjait összekapcsoljuk, tehát látható, hogy újabb négyszög alakul ki. Annak demonstrálására, hogy ez egy parallelogram, csak egy egyenes vonalot kell húznia a C ponttól az A pontig, így látható, hogy a CA párhuzamos a PQ-val és az RS-vel.

Ugyanígy, amikor a PQRS oldalakat kinyújtjuk, láthatjuk, hogy a PQ és az RS párhuzamos, amint az a következő képen látható:

2. gyakorlat

Van egy olyan téglalap, amelynek oldalainak hossza egyenlő. Ezen oldalak középpontjainak összekapcsolásával rombusz ABCD képződik, amelyet két AC = 7cm és BD = 10cm átló oszt meg, amelyek egybeesnek a téglalap oldalának mérésével. Határozza meg a rombusz és a téglalap területét.

Megoldás

Emlékeztetve arra, hogy a kapott párhuzamos ábra területe a négyszög fele, ezeknek a területe meghatározható, tudva, hogy az átlók mérete megegyezik a téglalap oldalával. Tehát:

AB = D

CD = d

Egy _téglalap = (AB _* CD) = (10cm _* 7cm) = 70cm ²

A _rombusz = egy _téglalap / 2

A _rombusz = 70 cm ² /2 = 35 cm ²

3. gyakorlat

Az ábrán van egy négyszög, amely az EFGH pontok egységével rendelkezik, megadva a szegmensek hosszát. Határozzuk meg, hogy az EFGH uniója párhuzamos-e.

AB = 2,4 CG = 3,06

EB = 1,75 GD = 2,24

BF = 2,88 DH = 2,02

HR = 3,94 HA = 2,77

Megoldás

Mivel a szegmensek hossza megadva, ellenőrizhető, hogy a szegmensek között arányos-e; vagyis tudja, hogy párhuzamosak-e, és a négyszög szegmenseit az alábbiak szerint kapcsolják össze:

- AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

- AH / HD = 2,77 / 2,02 = 1,37

- CF / FB = 3,94 / 2,88 = 1,37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Ezután megvizsgáljuk az arányosságot, mivel:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

Hasonlóképpen, amikor egy vonalat húzunk a B ponttól a D pontig, láthatjuk, hogy EH párhuzamos a BD-vel, csakúgy, mint a BD párhuzamos az FG-vel. Másrészt az EF párhuzamos a GH-val.

Így meghatározható, hogy az EFGH paralelogram, mivel az ellenkező oldalak párhuzamosak.

Irodalom

1. Andres T. (2010). Matematikai olimpia tresure. Springer. New York.
2. Barbosa, JL (2006). Sík euklideszi geometria. SBM. Rio de Janeiro.
3. Howar, E. (1969). Geometria tanulmányozása. Mexikó: spanyol - amerikai.
4. Ramo, GP (1998). Ismeretlen megoldások a Fermat-Torricelli problémákra. ISBN - önálló munka.
5. Vera, F. (1943). A geometria elemei. Bogota
6. Villiers, M. (1996). Néhány kaland az euklideszi geometriaban. Dél-Afrika.