EREDMÉNYES VEKTOR: SZÁMÍTÁS, PÉLDÁK, GYAKORLATOK - FIZIKAI - 2026

Az így kapott vektort olyan vektorokkal végzett művelettel kapjuk, amelynek eredménye szintén vektor. Általában ez a művelet két vagy több vektor összege, amelynek segítségével olyan vektort kapunk, amelynek hatása ekvivalens.

Ily módon olyan vektorokat kapunk, mint a kapott sebesség, gyorsulás vagy erő. Például, ha több F ₁, F ₂, F ₃,… erő hat a testre. ezen erők vektorösszege egyenlő a nettó erővel (az eredmény), amelyet matematikailag a következőképpen fejeznek ki:

F ₁ + F ₂ + F ₃ +… = F _R vagy F _N

1. ábra: A hó súlya eloszlik a tetőn, és hatása helyettesíthető egyetlen, a megfelelő helyen alkalmazott erővel. Forrás: Pixabay.

A kapott vektort, függetlenül attól, hogy erők vagy bármilyen más vektor-nagyságúak - a vektordeadíció szabályainak alkalmazásával állapítottuk meg. Mivel a vektoroknak iránya és értelme, valamint numerikus értéke van, nem elegendő a modulok hozzáadása, hogy az eredményül kapott vektor legyen.

Ez csak akkor igaz, ha az érintett vektorok azonos irányban vannak (lásd a példákat). Ellenkező esetben vektorösszeg-módszereket kell használni, amelyek az esettől függően lehetnek geometriai vagy analitikusak.

Példák

A kapott vektor megtalálásának geometriai módszerei a keresztirányú módszer és a párhuzamos módszer.

Ami az analitikai módszereket illeti, ott van egy olyan komponens módszer, amellyel bármilyen vektorrendszerből származó vektor megtalálható, amennyiben megvannak annak derékszögű komponensei.

Geometriai módszerek két vektor hozzáadására

Tegyük fel, hogy az u és v vektorok (félkövér betűkkel jelöljük őket, hogy megkülönböztessük őket a skalároktól). A 2a. Ábrán a síkon helyezkednek el. A 2 b) ábrán azt úgy alakítottuk át a v vektorba, hogy eredete egybeesik az u végével. A kapott vektor az első (u) eredetétől az utolsó (v) végéig megy:

2. ábra. A kapott vektor a vektorok grafikus összegéből. Forrás: saját készítésű.

A kapott ábra ebben az esetben egy háromszög (a háromszög háromoldalas sokszög). Ha két vektorunk van ugyanabban az irányban, akkor az eljárás ugyanaz: helyezzük el az egyik vektorot a másik után, és rajzoljunk egyet, amely az első eredetétől vagy farokától az utolsó csúcsáig vagy végéig megy.

Vegye figyelembe, hogy ennek az eljárásnak a sorrendje nem számít, mivel a vektorok összege kommutációs.

Azt is meg kell jegyeznünk, hogy ebben az esetben a kapott vektor modulja (hossza vagy mérete) a hozzáadott vektorok moduljainak összege, ellentétben az előző esettel, ahol az eredményül kapott vektor modulja kisebb, mint a résztvevő modulok.

Parallelogram módszer

Ez a módszer nagyon megfelelő, ha két olyan vektort kell hozzáadni, amelyek kiindulási pontjai egybeesnek, mondjuk, az xy koordinátarendszer eredetével. Tegyük fel, hogy ez az eset áll fenn az u és v vektorok esetében (3a ábra):

3. ábra: Két vektor összege a párhuzamos diagram módszerével, a kapott vektor türkizkék színben. Forrás: saját készítésű.

A 3b. Ábrán egy párhuzamos képet készítettünk az u és v párhuzamos pontozott vonalak segítségével. A kapott vektor eredete O-ban és vége abban a pontban, ahol a szaggatott vonalak metszik egymást. Ez az eljárás teljesen egyenértékű az előző szakaszban leírtakkal.

Feladatok

-1. Feladat

A következő vektorok alapján keresse meg a kapott vektort a keresztirányú módszerrel.

4. ábra. A vektorok a sokszög módszerrel történő eredményük megtalálásához. 1. feladat. Forrás: saját kidolgozás.

Megoldás

A keresztirányú módszer az első a megtekintett módszerek közül. Ne feledje, hogy a vektorok összege kommutációs (a kiegészítések sorrendje nem változtatja meg az összeget), így bármilyen vektorral kezdhetõ, például u (5a ábra) vagy r (5b ábra):

5. ábra. A vektorok összege a sokszög módszerrel. Forrás: saját készítésű.

A kapott ábra sokszög, és a kapott vektort (kék színben) R-nek nevezzük. Ha egy másik vektorral kezdjük, akkor a kialakult alak eltérhet, mint a példában látható, de a kapott vektor ugyanaz.

2. gyakorlat

A következő ábrán tudjuk, hogy az u és v vektor moduljai u = 3 tetszőleges egység és v = 1,8 tetszőleges egység. Az a szög, amelyet az u pozitív x tengelygel készít, 45 °, v viszont az y tengelyhez viszonyítva 60 °, az ábra szerint. Keresse meg a kapott vektort, nagyságot és irányt.

Megoldás

Az előző szakaszban a kapott vektort a parallelogram módszer alkalmazásával találtuk meg (türkizkékkel az ábrán).

A kapott vektor analitikai elemzésének egyszerű módja az adddendvektorok kifejezése derékszögű komponenseikben, ami könnyű feladat, ha a modulus és a szög ismert, mint például a vektorok ebben a példában:

u _x = u. cos 45º = 3 x cos 45º = 2,12; u _y = u. sin 45º = 3x sin 45º = 2,12

v _x = v. sin 60º = 1,8 x sin 60º = 1,56; v _y = -v. cos 60º = -1,8 x cos 60º = - 0,9

Az u és v vektorok a síkhoz tartoznak, tehát mindegyiknek két komponense van. Az u vektor az első negyedben van, és alkotóelemei pozitívak, míg a v vektor a negyedik negyedben van; x komponense pozitív, de a függőleges tengelyen lévő vetülete a negatív y tengelyen esik.

A kapott vektor derékszögű komponenseinek kiszámítása

A kapott vektort úgy találjuk, hogy algebrai módon hozzáadjuk a megfelelő x és y komponenseket, hogy kapjuk derékszögű komponenseiket:

R _x = 2,12 + 1,56 = 3,68

R _y = 2,12 + (-0,9) = 1,22

A derékszögű komponensek meghatározása után a vektor teljesen ismert. A kapott vektor kifejezésre adható a zárójelben szereplő jelöléssel:

R = <3,68; 1.22> tetszőleges egységek

A zárójelekkel jelöljük a vektort a síkban (vagy az űrben) lévő ponttól. A kapott vektor analitikus kifejezésének másik módja az i és j egységvektor síkban történő felhasználása (i, j és k az űrben):

R = 3,68 i + 1,22 j tetszőleges egység

Mivel a kapott vektor mindkét alkotóeleme pozitív, az R vektor tartozik az első kvadránshoz, amelyet már korábban grafikusan láttak.

A kapott vektor nagysága és iránya

Ismerve a derékszögű komponensei, a nagysága R számítjuk át a Pitagorasz-tétel, mivel a kapott vektort R, együtt komponensek R _x és R _{, és} alkot egy derékszögű háromszög:

Nagyítás vagy modul: R = (3,68 ² + 1,22 ²) ^½ = 3,88

Q irány, figyelembe véve a pozitív x tengelyt referenciaként: q = arktán (R _y / R _x) = arctg (1,22 / 3,68) = 18,3 º

Irodalom

1. Vektorok és szabályok hozzáadása. Vissza a következőhöz: newt.phys.unsw.edu.au
2. Figueroa, D. Sorozat: Fizika a tudomány és a technika számára. 1. kötet. Kinematika, 31-68.
3. Fizikai. 8. modul: Vektorok. Helyreállítva: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Mechanika a mérnökök számára. Statikus 6. kiadás. Continental Publishing Company. 15-53.
5. Vektor kiegészítés kalkulátor. Vissza a következőhöz: www.1728.org