POISSON-ELOSZLÁS: KÉPLETEK, EGYENLETEK, MODELL, TULAJDONSÁGOK - DUDAS - 2025

A Poisson-eloszlás egy diszkrét valószínűség-eloszlás, amellyel megismerhető annak a valószínűsége, hogy egy nagy mintában és egy bizonyos időközönként egy olyan esemény bekövetkezik, amelynek valószínűsége kicsi.

Gyakran a Poisson-eloszlást lehet használni a binomiális eloszlás helyett, feltéve, hogy a következő feltételek teljesülnek: nagy minta és kis valószínűség.

1. ábra: A Poisson-eloszlás grafikonja a különböző paraméterekhez. Forrás: Wikimedia Commons.

Siméon-Denis Poisson (1781-1840) létrehozta ezt a nevet viselő disztribúciót, amely nagyon hasznos kiszámíthatatlan eseményekről. Poisson 1837-ben tette közzé eredményeit, a téves büntetőítéletek bekövetkezésének valószínűségét vizsgáló munkában.

Később más kutatók adaptálták az eloszlást más területeken, például a csillagok számát, amelyek egy bizonyos térterületen megtalálhatók, vagy annak a valószínűségét, hogy egy katona meghal egy ló rúgása miatt.

Képlet és egyenletek

A Poisson-eloszlás matematikai formája a következő:

- μ (más néven λ-vel jelölve) az eloszlás átlaga vagy paramétere

- Euler-szám: e = 2,71828

- Az y = k elérésének valószínűsége P

- k a 0, 1,2,3 sikerek száma…

- n a tesztek vagy események száma (a minta mérete)

A diszkrét véletlen változók, amint a neve is sugallja, a véletlentől függenek, és csak különálló értékeket vesznek fel: 0, 1, 2, 3, 4…, k.

Az eloszlás átlagát a következő adja meg:

Az σ szórás, amely az adatok terjedését méri, egy másik fontos paraméter. A Poisson-eloszlás esetében ez:

σ = μ

Poisson megállapította, hogy ha n → ∞ és p → 0, akkor a μ átlag - amelyet szintén a várható értéknek hívnak - állandóra változik:

-A figyelembe vett események vagy események függetlenek egymástól és véletlenszerűen fordulnak elő.

-Az bizonyos esemény egy adott időtartam alatt bekövetkező P valószínűsége nagyon kicsi: P → 0.

- Az időintervallumban egynél több esemény bekövetkezésének valószínűsége 0.

-Az átlagérték hozzávetőleges egy állandóhoz, amely a következőkből származik: μ = np (n a minta mérete)

Mivel a σ diszperzió μ-vel egyenlő, mivel nagyobb értékeket vesz fel, a variabilitás is nagyobb lesz.

-A rendezvényeket egyenletesen kell elosztani a használt időintervallumban.

-A y esemény lehetséges értékei: 0,1,2,3,4….

-A Poisson eloszlást követõ i változók összege szintén egy másik Poisson változó. Átlagos értéke ezen változók átlagértékeinek összege.

A binomiális eloszlás különbségei

A Poisson-eloszlás a binomiális eloszlástól a következő fontos szempontból különbözik:

-A binomiális eloszlást mind az n mintaméret, mind a P valószínűség befolyásolja, de a Poisson-eloszlást csak az μ átlag befolyásolja.

-Binomális eloszlásban az y véletlen változó lehetséges értékei 0,1,2,…, N, míg a Poisson-eloszlásban ezekre az értékekre nincs felső határ.

Példák

Poisson eredetileg a híres disztribúcióját jogi ügyekben alkalmazta, de ipari szinten az egyik legkorábbi felhasználása a sörfőzés volt. Ebben az eljárásban élesztőtenyészeteket használnak erjesztésre.

Az élesztő élő sejtekből áll, amelyek populációja idővel változó. A sör gyártásánál hozzá kell adni a szükséges mennyiséget, ezért meg kell ismerni a térfogagységenként lévõ cellák mennyiségét.

A II. Világháború alatt a Poisson-eloszlást arra használták, hogy megtudja, vajon a németek valóban Calais-ból londonba céloztak-e, vagy csak véletlenszerűen lőttek. Ez a szövetségesek számára fontos volt annak meghatározásához, hogy a nácik számára milyen jó technológia volt elérhető.

Praktikus alkalmazások

A Poisson-eloszlás alkalmazásai mindig az időbeli vagy a térbeli számokra vonatkoznak. És mivel a bekövetkezés valószínűsége kicsi, úgy is ismert, mint "a ritka események törvénye".

Az alábbi kategóriákba sorolható események listája:

- A részecskék újbóli regisztrálása egy radioaktív bomlás során, amely hasonlóan az élesztősejtek növekedéséhez exponenciális funkció.

- Egy adott webhely látogatásainak száma.

- Az emberek érkezése egy fizetési sorra vagy a résztvevőkhöz (sor elmélet).

-Autók száma, amelyek egy adott ponton haladnak át egy úton egy adott időtartamon belül.

2. ábra: Egy ponton áthaladó autók száma nagyjából a Poisson-eloszlást követi. Forrás: Pixabay.

-Mutációk, amelyek egy bizonyos DNS-láncban szenvedtek, miután sugárterhelést kapott.

- Egy év alatt 1 m-nél nagyobb átmérőjű meteoritok száma esett vissza.

- Szövet négyzetméterenkénti hatása.

- A vérsejtek mennyisége 1 köbcentiméterben.

-Hívások percenként telefonközpontra.

- Csokoládé chips 1 kg süteménytésztában.

-A bizonyos parazita által fertőzött fák száma 1 hektár erdőben.

Vegye figyelembe, hogy ezek a véletlenszerű változók jelzik, hogy hányszor történik egy esemény egy meghatározott időtartamon keresztül (percenként hívások a telefonközpontra), vagy egy adott térrészen (szövethibák négyzetméterenként).

Ezek az események, amint azt már megállapították, függetlenek az utolsó esemény óta eltelt időtől.

A binomiális eloszlás közelítése a Poisson-eloszláshoz

A Poisson-eloszlás jó közelítés a binomiális eloszláshoz, mindaddig, amíg:

-A minta mérete nagy: n ≥ 100

-A p valószínűsége kicsi: p ≤ 0,1

- μ a következő sorrendben van: np ≤ 10

Ilyen esetekben a Poisson-eloszlás kiváló eszköz, mivel ezekben az esetekben nehéz lehet a binomiális eloszlást alkalmazni.

Megoldott gyakorlatok

1. Feladat

Egy szeizmológiai tanulmány megállapította, hogy az elmúlt 100 évben 93 nagy földrengés történt a világon, legalább 6,0-ra a Richter-skála szerint - logaritmikusan -. Tegyük fel, hogy ebben az esetben a Poisson-eloszlás megfelelő modell. Megtalálja:

a) A nagy földrengések átlagos előfordulása évente.

b) Ha P (y) a véletlenszerűen kiválasztott évben bekövetkező földrengések valószínűsége, keresse meg a következő valószínűségeket:

Ez jóval kevesebb, mint P (2).

Az eredményeket az alábbiakban soroljuk fel:

P (0) = 0,395, P (1) = 0,367, P (2) = 0,171, P (3) = 0,0529, P (4) = 0,0123, P (5) = 0,00229, P (6) = 0,000355, P (7) = 0,0000471.

Például mondhatjuk, hogy 39,5% -os valószínűséggel áll fenn, hogy egy adott évben nem következik be jelentős földrengés. Vagy hogy abban az évben 3 nagy földrengés 5,29% -a fordul elő.

C) megoldás

c) A frekvenciákat elemezzük, szorozva n = 100 évvel:

39,5; 36,7; 17,1; 5,29; 1,23; 0,229; 0,0355 és 0,00471.

Például:

- A 39,5 gyakorisága azt jelzi, hogy 100 évből 39,5-ben 0 nagy földrengés következik be, mondhatjuk, hogy ez nagyjából megközelíti a 47 éves tényleges eredményt bármilyen nagy földrengés nélkül.

Hasonlítsuk össze egy másik Poisson-eredményt a tényleges eredményekkel:

- A kapott 36,7 érték azt jelenti, hogy 37 év alatt 1 nagy földrengés következik be. A valós eredmény az, hogy 31 év alatt 1 nagy földrengés történt, ami jó egyezést mutat a modellel.

- 17,1 év várható 2 nagy földrengéssel, és ismert, hogy 13 év alatt, ami közeli érték, valóban 2 nagy földrengés történt.

Ezért a Poisson-modell ebben az esetben elfogadható.

2. gyakorlat

Az egyik vállalat becslése szerint az olyan alkatrészek száma, amelyek a 100 üzemóra elérése előtt meghibásodnak, a Poisson-eloszlást követi. Ha ebben az időben átlagosan 8 hiba történt, keresse meg a következő valószínűségeket:

a) Egy alkatrész meghibásodik 25 órán belül.

b) Kettőnél kevesebb alkatrész meghibásodása 50 órán belül.

c) Legalább három alkatrész meghibásodik 125 óra alatt.

Megoldás)

a) Ismert, hogy a kudarcok átlaga 100 óra alatt 8, tehát 25 órán belül a kudarcok egynegyede várható, azaz 2 hiba. Ez lesz a μ paraméter.

Az 1 komponens meghibásodásának valószínűsége szükséges, a véletlen változó "komponensek, amelyek 25 óra elteltével meghibásodnak", és értéke y = 1. A valószínűségfüggvény helyettesítésével:

A kérdés azonban az a valószínűség, hogy kevesebb, mint két elem hibás 50 órán belül, nem pedig az, hogy pontosan 2 alkatrész hibás 50 órán belül, ezért hozzá kell adnunk a valószínűségeket, hogy:

- Senki sem bukik le

- Csak hiba 1

Az eloszlás μ paramétere ebben az esetben:

μ = 8 + 2 = 10 hiba 125 órán belül.

P (3 vagy több komponens meghibásodik) = 1- P (0) - P (1) - P (2) =

Irodalom

1. MathWorks. Poisson eloszlás. Helyreállítva: es.mathworks.com
2. Mendenhall, W. 1981. Statisztika menedzsment és közgazdaságtan számára. 3.. kiadás. Grupo Editorial Iberoamérica.
3. Stat Trek. Tanítsd magadnak a statisztikákat. Poisson eloszlás. Helyreállítva: stattrek.com,
4. Triola, M. 2012. Elemi statisztika. 11-én. Ed. Pearson Education.
5. Wikipedia. Poisson eloszlás. Helyreállítva: en.wikipedia.org