VÉLETLENSZERŰ KÍSÉRLET: KONCEPCIÓ, MINTATERÜLET, PÉLDÁK - DUDAS - 2025

Egy véletlenszerű kísérletről beszélünk, amikor az egyes vizsgálatok eredménye kiszámíthatatlan, még akkor is, ha megállapítható egy bizonyos eredmény előfordulásának valószínűsége.

Egyértelművé kell tenni azonban, hogy a véletlenszerű rendszer ugyanazt az eredményét nem lehet reprodukálni, azonos paraméterekkel és kezdeti feltételekkel a kísérlet minden egyes kísérletében.

1. ábra: A kocka gördítése véletlenszerű kísérlet. Forrás: Pixabay.

A véletlenszerű kísérlet jó példája a szerszámgördítés. Még ha gondoskodnánk is arról, hogy a szerszámot ugyanúgy gördítjük, minden kísérlet kiszámíthatatlan eredményt hoz. Valójában csak azt lehet mondani, hogy az eredmény a következők egyikének felel meg: 1, 2, 3, 4, 5 vagy 6.

Az érme dobása egy másik példa egy véletlenszerű kísérletre, amelynek csak két lehetséges eredménye van: fej vagy farok. Noha az érmét ugyanabból a magasságból és azonos módon dobják, a véletlen tényező mindig jelen lesz, ami minden új kísérletnél bizonytalanságot eredményez.

A véletlenszerű kísérlet ellentéte egy determinisztikus kísérlettel. Például ismert, hogy minden alkalommal, amikor a vizet tenger szintjén forralják, a forrás hőmérséklete 100ºC. De soha nem történik meg, hogy ugyanazon feltételek mellett az eredmény olykor 90 ºC, más 12 0 ºC, néha 100 ºC.

Minta hely

A véletlenszerű kísérlet összes lehetséges eredményének halmazát mintaszternek nevezzük. A szerszámgörgetés véletlenszerű kísérletében a mintaterület:

D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Másrészt az érme dobásakor a mintaterület:

M = {fej, farok}.

Esemény vagy esemény

Véletlenszerű kísérletben egy esemény egy bizonyos eredmény előfordulása vagy hiánya. Például érme megfordítása esetén egy esemény vagy esemény az, hogy fejjel felfelé fordul.

Egy véletlenszerű kísérlet egy másik eseménye a következő lehet: hogy háromnál kevesebb vagy egyenlő számot dobnak egy sajtológépen.

Ha az esemény bekövetkezik, akkor a lehetséges eredmények halmaza a következő:

E = {1, 2, 3}

Ez viszont a mintaterület vagy halmaz egy részhalmaza:

M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Példák

Az alábbiakban néhány példát mutatunk be a fentiekre:

1. példa

Tegyük fel, hogy két érmét dobnak egymás után. Azt kérdezi:

a) Jelölje meg, hogy véletlenszerű kísérlet, vagy éppen ellenkezőleg - determinisztikus kísérlet.

b) Mekkora a kísérlet S mintaterülete?

c) Mutassa be az A esemény sorozatát, azzal a ténnyel összhangban, hogy a kísérlet fej és farok eredménye.

d) Számítsa ki az A esemény bekövetkezésének valószínűségét.

e) Végül keresse meg a B esemény bekövetkezésének valószínűségét: az eredményben nem jelennek meg fejek.

Megoldás

A táska 10 fehér és 10 fekete gömböt tartalmaz. Három gömböt egymás után húznak véletlenszerűen és befelé nézés nélkül a táskából.

a) Határozza meg a véletlenszerű kísérlet mintaterületét.

b) Határozzuk meg az A eseménynek megfelelő eredményhalmazt, amely a kísérlet után két fekete gömböt tartalmaz.

c) A B esemény során legalább két fekete gömböt kell beszerezni, meg kell határozni az esemény B sorozatát.

d) Mennyire valószínű, hogy az A esemény bekövetkezik?

e) Keresse meg a B esemény bekövetkezésének valószínűségét.

f) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a véletlenszerű kísérlet eredményeként legalább egy fekete márványa van. Ezt az eseményt C-nek hívják.

2. ábra. Fekete-fehér gömbök véletlenszerű kísérletekhez. Forrás: Needpix.

Megoldás

A mintaterület felépítéséhez hasznos a 3. ábrán bemutatotthoz hasonló fa diagram készítése:

3. ábra. Például a fa diagramja. 2. Fanny Zapata készítette.

Három gömb kivonásának lehetséges eredményei a egy táskából ugyanolyan számú fekete-fehér golyóval, pontosan ez a véletlenszerű kísérlet mintája.

Ω = {(b, b, b), (b, b, n), (b, n, b), (b, n, n), (n, b, b), (n, b, n), (n, n, b), (n, n, n)}

B. Megoldás

Az A eseménynek megfelelő lehetséges eredmények halmaza, amely két fekete gömbből áll:

A = {(b, n, n), (n, b, n), (n, n, b)}

C. Megoldás

A B esemény meghatározása a következő: "legalább két fekete golyó van, miután véletlenszerűen rajzoltak közülük három". A B esemény lehetséges eredményei:

B = {(b, n, n), (n, b, n), (n, n, b), (n, n, n)}

D. Megoldás

Az A esemény valószínűsége az adott esemény lehetséges kimeneteinek száma és a lehetséges kimenetek teljes száma, azaz a mintában szereplő elemek száma közötti hányados.

P (A) = n (A) / n (Ω) = 3/8 = 0,375 = 37,5%

Tehát 37,5% -os valószínűséggel bír két fekete gömb, miután véletlenszerűen három golyót húzott a táskából. De vegye figyelembe, hogy semmilyen módon nem tudjuk megjósolni a kísérlet pontos eredményét.

E. Megoldás

A B esemény bekövetkezésének valószínűsége, amely legalább egy fekete márvány megszerzéséből áll:

P (B) = n (B) / n (Ω) = 4/8 = 0,5 = 50%

Ez azt jelenti, hogy a B esemény bekövetkezésének esélye megegyezik annak valószínűségével, hogy nem történik meg.

F. Megoldás

Legalább egy fekete márvány megszerzésének valószínűsége, miután hármat rajzoltak, 1-vel egyenlő, mínusz annak a valószínűsége, hogy "a három fehér márvány" lesz.

P (C) = 1 - P (bbb) = 1 - ⅛ = ⅞ = 0,875 = 87,5%

Most ellenőrizhetjük ezt az eredményt, megjegyezve, hogy a C esemény lehetőségeinek száma megegyezik a C esemény lehetséges eredményeinek elemszámával:

C = {(b, b, n), (b, n, b), (b, n, n), (n, b, b), (n, b, n), (n, n, b), (n, n, n)}

n (C) = 7

P (C) = n (C) / n (Ω) = ⅞ = 87,5%

Irodalom

1. CanalPhi. Véletlen kísérlet. Helyreállítva: youtube.com.
2. MateMovil. Véletlen kísérlet. Helyreállítva: youtube.com
3. Pishro Nick H. Bevezetés a valószínűségbe. Helyreállítva a következőből: probabilitycourse.com
4. Ross. Valószínűség és statisztikák a mérnökök számára. Mc-Graw Hill.
5. Wikipedia. Kísérlet (valószínűségi elmélet). Helyreállítva: en.wikipedia.com
6. Wikipedia. Determinisztikus esemény. Helyrehozva: es. wikipedia.com
7. Wikipedia. Véletlen kísérlet. Helyreállítva: es.wikipedia.com