KOMPLEX SZÁMOK: TULAJDONSÁGOK, PÉLDÁK, MŰVELETEK - MATEMATIKA - 2025

A komplex számok a numerikus halmaz, amely lefedi a valós számokat és a polinomok összes gyökerét, ideértve a negatív számok páros gyökereit is. Ezek a gyökerek nem léteznek a valós számok halmazában, de komplex számokban létezik a megoldás.

Az összetett szám egy valós részből és egy "képzeletbeli" részből áll. A valós részt például a, és a képzeletbeli ib, a és b valós számokkal és "i" mint képzeletbeli egységet nevezzük. Ilyen módon a komplex szám formája:

1. ábra - Komplex szám binomiális ábrázolása a valós és a képzeletbeli részben. Forrás: Pixabay.

Példák a komplex számokra: 2 - 3i, -πi, 1 + (1/2) i. De mielőtt velük működnénk, nézzük meg, honnan származik az i képzeletbeli egység, figyelembe véve ezt a másodlagos egyenletet:

X ² - 10x + 34 = 0

Amelyben a = 1, b = -10 és c = 34.

Amikor a megoldási képletet alkalmazzuk a megoldás meghatározására, a következőket találjuk:

Hogyan lehet meghatározni a √-36 értékét? Nincs olyan valós szám, amelyben a négyzet negatív mennyiséget eredményez. Ezután arra a következtetésre jutunk, hogy ezen egyenletnek nincs valós megoldása.

Ezt azonban meg lehet írni:

√-36 = √-6 ² = √6 ² (-1) = 6√-1

Ha definiálunk egy bizonyos x értéket úgy, hogy:

x ² = -1

Így:

x = ± √-1

És a fenti egyenletnek megoldása lenne. Ezért a képzeletbeli egységet a következőképpen definiálták:

i = √-1

És aztán:

√-36 = 6i

Az antikvitás számos matematikusa hasonló problémák megoldásán dolgozott, nevezetesen a reneszánsz időkben szereplő Girolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Fontana (1501-1557) és Raffaele Bombelli (1526-1572).

Évekkel később René Descartes (1596-1650) a mennyiségeket „képzeletbeli” -nek nevezte, mint például a példa √-36. Ezért az √-1 képzeletbeli egység.

Komplex számok tulajdonságai

-A komplex számok halmaza C-vel van jelölve, és magában foglalja az R valós számot és a képzeletbeli Im számot. A számkészleteket Venn-diagram ábrázolja, ahogy az a következő ábrán látható:

2. ábra. A számkészletek Venn diagramja. Forrás: F. Zapata.

-Minden komplex szám egy valós részből és egy képzeletbeli részből áll.

-Ha egy komplex szám képzeletbeli része 0, ez egy tiszta valós szám.

-Ha egy komplex szám valós része 0, akkor a szám tisztán képzeletbeli.

-Két komplex szám egyenlő, ha a valós és a képzeletbeli részük megegyezik.

-Komplex számokkal az összeadás, kivonás, szorzás, szorzás és szorzás ismert műveleteit hajtjuk végre, egy másik komplex számot eredményezve.

Komplex számok ábrázolása

A komplex számokat különféle módon lehet ábrázolni. Itt vannak a főbbek:

- Binomiális forma

Az elején megadott forma, ahol z a komplex szám, a a valós rész, b a képzeletbeli rész és i a képzeletbeli egység:

Vagy:

Az összetett szám ábrázolásának egyik módja az ábrán bemutatott komplex síkon keresztül. A képzeletbeli Im tengely függőleges, míg a valódi tengely vízszintes, és Re-vel jelölve.

Ebben a síkban a z komplex számot az (x, y) vagy (a, b) koordináták pontjaként reprezentálják, ahogyan ezt a valósík pontjaival végzik.

A kiindulási pont és a z pont közötti távolság a komplex szám modulusa, r-rel jelölve, míg φ az a szög, amelyet r az igaz tengelyhez viszonyítva.

3. ábra: Egy komplex szám ábrázolása a komplex síkban. Forrás: Wikimedia Commons.

Ez a reprezentáció szorosan kapcsolódik a valósíkban levő vektorokhoz. R értéke megfelel a komplex szám modulusának.

- Poláris alak

A poláris forma az, hogy a komplex számot r és φ érték megadásával fejezzük ki. Ha az ábrát nézzük, akkor r értéke megfelel a derékszögű háromszög hipotenuszának. A lábak értéke a és b, vagy x és y.

A binomiális vagy a binomiális forma közül a következőkkel tudunk áttérni a poláris formára:

Az The szög az az szegmens, amelyet a vízszintes tengely vagy a képzeletbeli tengely alkot. Az összetett szám érvként ismert. Ilyen módon:

Az argumentumnak végtelen értékei vannak, figyelembe véve, hogy minden olyan fordulatnál, amely 2π radián értékű, r újra ugyanazt a helyet foglalja el. Ilyen általános módon az Arg (z) -nel jelölt z érve a következőképpen fejeződik ki:

Ahol k egy egész szám, és arra használják, hogy megjelöljék a megfordított fordulók számát: 2, 3, 4…. A jel jelzi a forgás irányát, ha az óramutató járásával megegyező vagy az óramutató járásával ellentétes.

4. ábra. Egy komplex szám poláris ábrázolása a komplex síkban. Forrás: Wikimedia Commons.

És ha a poláris alakból a binomiális alakba akarunk lépni, akkor a trigonometrikus arányokat használjuk. Az előző ábra alapján láthatjuk, hogy:

x = r cos φ

y = r sin φ

Ilyen módon z = r (cos φ + i sin φ)

A következő rövidítés:

z = r cis φ

Példák komplex számokra

A következő komplex számok binomiálisan vannak megadva:

a) 3 + i

b) 4

d) -6i

És ezek rendezett pár formájában:

a) (-5, -3)

b) (0, 9)

c) (7,0)

Végül ezt a csoportot poláris vagy trigonometrikus formában adjuk meg:

a) √2 cisz 45º

b) √3 cisz 30º

c) 2 cisz 315º

Mire valók?

A komplex számok hasznossága meghaladja az elején bemutatott kvadratikus egyenlet megoldását, mivel ezek alapvető fontosságúak a műszaki és a fizika területén, különösen:

- Az elektromágneses hullámok vizsgálata

-Váltakozó áram és feszültség elemzése

- Mindenféle jel modellezése

- A relativitáselmélet, ahol az időt képzeletbeli nagyságrendnek tekintik.

Komplex számműveletek

Komplex számokkal elvégezhetjük az összes műveletet, amelyet valódi műveletekkel végezünk. Néhányat könnyebb megtenni, ha a számok binomiális formában vannak, például összeadás és kivonás. Ezzel szemben a szorzás és az osztás egyszerűbb, ha a poláris formával hajtják végre.

Nézzünk meg néhány példát:

- 1. példa

Adjuk hozzá z ₁ = 2 + 5i és z ₂ = -3 -8i

Megoldás

A valódi részeket a képzeletbeli részektől külön-külön adjuk hozzá:

z ₁ + z ₂ = (2 + 5i) + (-3 -8i) = -1 -3i

- 2. példa

Szorozzuk meg z ₁ = 4 cis 45º és z ₂ = 5 cis 120º értéket

Megoldás

Megmutatható, hogy két komplex szám szorzatát poláris vagy trigonometrikus formában adja meg:

z ₁. z ₂ = r ₁.r ₂ cis (φ ₁ + φ ₂)

Ennek megfelelően:

z ₁. Z ₂ = (4 × 5) cisz (45 + 120) = 20 cisz 165º

Alkalmazás

A komplex számok egyszerű alkalmazása az, hogy megtalálják a polinomi egyenlet minden gyökerét, mint amilyen a cikk elején látható.

Az x ² - 10x + 34 = 0 egyenlet esetén a feloldó képletet alkalmazva kapjuk:

Ezért a megoldások:

x ₁ = 5 + 3i

x ₂ = 5 - 3i

Irodalom

1. Earl, R. Komplex számok. Helyreállítva: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Matematika 1.. Változatos. CO-BO kiadások.
3. Hoffmann, J. 2005. Matematikai témák kiválasztása. Monfort Publikációk.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Wikipedia. Komplex számok. Helyreállítva: en.wikipedia.org