AZ INTEGRÁCIÓ ÁLLANDÓSÁGA: JELENTÉS, SZÁMÍTÁS ÉS PÉLDÁK - MATEMATIKA - 2025

Az integráció állandója hozzáadott értéket jelent az antiderivatívumok vagy az integrálok kiszámításához, és azoknak a megoldásoknak a bemutatására szolgál, amelyek egy funkció primitívjét alkotják. Ez egy rejtett kétértelműséget fejez ki, ahol bármelyik funkció végtelen számú primitívvel rendelkezik.

Például, ha az f (x) = 2x + 1 függvényt vesszük, és annak antiderivatíváját kapjuk:

∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C; Ahol C az integráció állandója, és grafikusan ábrázolja a primitív végtelen lehetőségei közötti vertikális transzlációt. Helyes azt mondani, hogy (x ² + x) az f (x) egyik primitívje.

Forrás: szerző

Hasonlóképpen definiálhatjuk (x ² + x + C) f (x) primitívjeként.

Fordított tulajdonság

Megjegyzendő, hogy az (x ² + x) kifejezés származtatásakor az f (x) = 2x + 1 függvényt kapjuk, ennek oka a függvények származtatása és integrálása közötti inverz tulajdonság. Ez a tulajdonság lehetővé teszi az integrációs képletek megszerzését a megkülönböztetéstől kezdve. Amely lehetővé teszi az integrálok ellenőrzését ugyanazon származékok segítségével.

Forrás: szerző

Azonban (x ² + x) nem az egyetlen olyan függvény, amelynek deriváltja egyenlő (2x + 1) -nel.

1. d (x ² + x) / dx = 2x + 1
2. d (x ² + x + 1) / dx = 2x + 1
3. d (x ² + x + 2) / dx = 2x + 1
4. d (x ² + x + 3) / dx = 2x + 1
5. d (x ² + x + C) / dx = 2x + 1

Ahol 1, 2, 3 és 4 az f (x) = 2x + 1 bizonyos primitívjeit jelentik, míg 5 az f (x) = 2x + 1 határozatlan vagy primitív integrálját jelöli.

Forrás: szerző

A függvény primitivitása az antiderivatáció vagy az integrált folyamat révén érhető el. Ahol F az f primitívje, ha az alábbiak igazak

• y = ∫ f (x) dx = F (x) + C; C = integrációs állandó
• F '(x) = f (x)

Látható, hogy egy függvénynek egyetlen származéka van, ellentétben az integrációból származó végtelen primitívumokkal.

A határozatlan integrál

∫ f (x) dx = F (x) + C

Ugyanazon mintázatú görbék családjának felel meg, amelyek eltéréseket mutatnak az egyes pontok képeinek értékében (x, y). Minden olyan funkció, amely teljesíti ezt a mintát, egyéni primitív lesz, és az összes funkció halmazát határozatlan integrálnak nevezzük .

Az integráció állandójának értéke lesz az, amely megkülönbözteti az egyes funkciókat a gyakorlatban.

Az integráció állandója függvénybeli függőleges eltolódást jelez minden függvény primitívjét ábrázoló grafikonon. Ahol megfigyelhető a párhuzamosság közöttük, és az a tény, hogy C az elmozdulás értéke.

A szokásos gyakorlatok szerint az integrációs állandót egy kiegészítés utáni "C" betű jelöli, bár a gyakorlatban nem közömbös, hogy az állandót összeadják-e, vagy kivonják-e. Valós értéke többféle módon megtalálható, különböző kezdeti feltételek mellett.

Az integráció állandójának más jelentései

Már tárgyalták, hogy az integrációs állandót hogyan alkalmazzák az integrális számítások ágában; A meghatározatlan integrált meghatározó görbék családját képviseli. De sok más tudomány és ágazat nagyon érdekes és gyakorlati értékeket adott az integráció állandójának, amelyek megkönnyítették a több tanulmány kidolgozását.

A fizikában az integráció állandója több értéket vehet igénybe, az adatok jellegétől függően. Nagyon általános példa a V (t) függvény ismerete, amely a részecske sebességét mutatja a t idő függvényében. Ismert, hogy a V (t) primitívjának kiszámításakor az R (t) függvényt kapjuk, amely a részecske helyzetét mutatja az idő függvényében.

Az integrációs állandó a kezdeti helyzet értékét képviseli, vagyis t = 0 időpontban.

Ugyanígy, ha ismert a részecske időbeli gyorsulását képviselő A (t) függvény. Az A (t) primitívje V (t) függvényt eredményez, ahol az integrációs állandó a V ₀ kezdeti sebesség értéke.

A közgazdaságtanban azáltal, hogy az integrációval megkapja a költségfüggvény primitívjét. Az integráció állandója jelenti a rögzített költségeket. És oly sok más alkalmazás, amelyek érdemesek a differenciál és integrált számítások szempontjából.

Hogyan számítják ki az integrációs állandót?

Az integrációs állandó kiszámításához mindig meg kell ismerni a kezdeti feltételeket. Melyek a meghatározásáért, hogy melyik lehetséges primitív közül melyik a megfelelő.

Számos alkalmazásban független változóként kezelik (t) időpontban, ahol a C konstans értékei meghatározzák az adott eset kezdeti feltételeit.

Ha a kezdeti példát vesszük: ∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C

Érvényes kezdeti feltétel lehet, ha a grafikon egy meghatározott koordinátán halad át. Például, tudjuk, hogy az primitív (x ² + x + C) áthalad az (1, 2) ponton

F (x) = x ² + x + C; ez az általános megoldás

F (1) = 2

Az általános megoldást ebben az egyenlőségben helyettesítjük

F (1) = (1) ² + (1) + C = 2

Innen könnyen következik, hogy C = 0

Ilyen módon a megfelelő primitív ebben az esetben F (x) = x ² + x

Többféle numerikus gyakorlat létezik, amelyek az integráció állandóival működnek. Valójában a differenciál és integrált számítás nem áll le a jelenlegi vizsgálatok során. Különböző tudományos szinteken megtalálhatók; a kezdeti számítástól kezdve, többek között a fizikán, kémián, biológián, közgazdaságtanon keresztül.

Ez a differenciálegyenletek tanulmányozásakor is nagyra becsülhető, ahol az integrációs állandó eltérő értékeket és megoldásokat vehet fel, ennek oka az ebben a kérdésben végrehajtott többszörös derivációk és integrációk.

Példák

1. példa

1. Egy 30 méter magas ágyú függőlegesen felfelé lövöldöz egy lövedéket. A lövedék kezdeti sebessége ismert, hogy 25 m / s. Döntsd el:

• Az a funkció, amely meghatározza a lövedék helyzetét az idő függvényében.
• A repülés ideje vagy azon pillanat, amikor a részecske eléri a talajt.

Ismeretes, hogy egyenes vonalú mozgással egyenletesen változtatva a gyorsulás állandó érték. Ez vonatkozik a lövedék indulására, ahol a gyorsulás gravitáció lesz

g = - 10 m / s ²

Az is ismert, hogy a gyorsulás a helyzet második származéka, amely kettős integrációt jelez a gyakorlat felbontásában, így két integrációs állandót kap.

A (t) = -10

V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C ₁

A gyakorlat kezdeti feltételei azt jelzik, hogy a kezdeti sebesség V ₀ = 25 m / s. Ez a sebesség t = 0 idő pillanatában. Ilyen módon meggyőződik arról, hogy:

V (0) = 25 = -10 (0) + a C ₁ és C ₁ = 25

A sebességfüggvény meghatározásával

V (t) = -10 t + 25; A hasonlóság megfigyelhető az MRUV képlettel (V _f = V ₀ + axt)

Homológ módon folytatjuk a sebességfüggvény integrálását, hogy megkapjuk a kifejezést, amely meghatározza a helyzetet:

R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10 t + 25) dt = -5 t ² + 25 t + C ₂

R (t) = -5t ² + 25t + C ₂ (összesen primitív)

Az R (0) = 30 m kiindulási helyzet ismert. Ezután kiszámítják a lövedék sajátos primitivitását.

R (0) = 30 m = -5 (0) ² + 25 (0) + C ₂. Ahol C ₂ = 30

2. példa

1. Keresse meg azt a primitív f (x) -ot, amely kielégíti a kezdeti feltételeket:

• f '' (x) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7

Az f '' (x) = 4 második származék információjával megindul az antiderivatív folyamat

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫4 dx = 4x + C ₁

Ezután az f '(2) = 2 feltétel ismeretében folytatjuk:

4 (2) + C ₁ = 2

C ₁ = -6 és f '(x) = 4x - 8

Ugyanezen módon folytatjuk az integráció második állandóját

f (x) = ∫f „(x) dx

∫ (4x - 8) dx = 2x ² - 8x + C ₂

Az f (0) = 7 kezdeti feltétel ismert és folytatjuk:

2 (0) ² - 8 (0) + C ₂ = 7

C ₂ = 7 és f (x) = 2x ² - 8x + 7

• f '' (x) = x ²; f '(0) = 6; f (0) = 3

Az előző problémához hasonlóan az első származékokat és az eredeti függvényt a kezdeti körülmények között definiáljuk.

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫ (X ²) dx = (x ³ /3) + C ₁

Az f '(0) = 6 feltétellel folytatjuk:

(0 ^3/3) + C ₁ = 6; Ahol C ₁ = 6 és F „(x) = (x ³ /3) + 6

Aztán az integráció második állandója

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ dx = (x ⁴ /12) + 6x + C ₂

Az f (0) = 3 kezdeti feltétel ismert és folytatjuk:

+ 6 (0) + C ₂ = 3; Ahol C ₂ = 3

Így megkapjuk a primitív sajátosságot

f (x) = (x ⁴ /12) + 6x + 3

3. példa

1. Határozza meg a primitív függvényeket a származékokkal és egy ponttal a grafikonon:

• dy / dx = 2x - 2, amely áthalad a ponton (3, 2)

Fontos megjegyezni, hogy a derivatívák a görbe érintőjének egy adott ponton való meredekségére vonatkoznak. Ha nem helyes azt feltételezni, hogy a derivált gráfja megérinti a megadott pontot, mivel ez a primitív függvény gráfjához tartozik.

Ilyen módon a differenciálegyenletet az alábbiak szerint fejezzük ki:

∫dy = ∫ (2x - 2) dx

A kezdeti feltétel alkalmazása:

2 = (3) ² - 2 (3) + C

C = -1

Ezt kapjuk: f (x) = x ² - 2x - 1

• dy / dx = 3x ² - 1, amely áthalad a ponton (0, 2)

A differenciálegyenletet a következőképpen fejezzük ki:

A kezdeti feltétel alkalmazása:

2 = (0) ² - 2 (0) + C

C = 2

A következőt kapjuk: f (x) = x ³ - x + 2

Javasolt gyakorlatok

1. Feladat

1. Keresse meg azt a primitív f (x) -ot, amely kielégíti a kezdeti feltételeket:

• f '' (x) = x; f '(3) = 1; f (2) = 5
• f '' (x) = x + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
• f '' (x) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
• f '' (x) = -x; f '(5) = 1; f (1) = -8

2. gyakorlat

1. Egy 16 láb / s sebességgel növekvő léggömb 64 ​​láb magasságból a talajszint felett ledob egy zsákot homokot.

• Adja meg a repülési időt
• Milyen lesz a V _f vektor, amikor eléri a talajt?

3. gyakorlat

1. Az ábra az x tengely pozitív irányában mozgó autó gyorsulási idő görbéjét mutatja. Az autó állandó 54 km / h sebességgel haladt, amikor a vezető 10 másodpercen belül leállította a fékeket. Határozzuk meg:

• Az autó kezdeti gyorsulása
• Az autó sebessége t = 5s
• Az autó elmozdulása fékezés közben

Forrás: szerző

4. gyakorlat

1. Határozza meg a primitív függvényeket a származékokkal és egy ponttal a grafikonon:

• dy / dx = x, amely áthalad a ponton (-1, 4)
• dy / dx = -x ² + 1, amely áthalad a ponton (0, 0)
• dy / dx = -x + 1, amely áthalad a ponton (-2, 2)

Irodalom

1. Integrált kalkulus. A határozatlan integrálási és integrációs módszerek. Wilson, Velásquez Bastidas. Magdalena University 2014
2. Stewart, J. (2001). Egy változó kiszámítása. Korai transzcendentálisok. Mexikó: Thomson Learning.
3. Jiménez, R. (2011). Matematika VI. Integrált kalkulus. Mexikó: Pearson Education.
4. Fizika I. Mc Graw-hegy