- Fordított tulajdonság
- A határozatlan integrál
- Az integráció állandójának más jelentései
- Hogyan számítják ki az integrációs állandót?
- Példák
- 1. példa
- 2. példa
- 3. példa
- Javasolt gyakorlatok
- 1. Feladat
- 2. gyakorlat
- 3. gyakorlat
- 4. gyakorlat
- Irodalom
Az integráció állandója hozzáadott értéket jelent az antiderivatívumok vagy az integrálok kiszámításához, és azoknak a megoldásoknak a bemutatására szolgál, amelyek egy funkció primitívjét alkotják. Ez egy rejtett kétértelműséget fejez ki, ahol bármelyik funkció végtelen számú primitívvel rendelkezik.
Például, ha az f (x) = 2x + 1 függvényt vesszük, és annak antiderivatíváját kapjuk:
∫ (2x + 1) dx = x 2 + x + C; Ahol C az integráció állandója, és grafikusan ábrázolja a primitív végtelen lehetőségei közötti vertikális transzlációt. Helyes azt mondani, hogy (x 2 + x) az f (x) egyik primitívje.

Forrás: szerző
Hasonlóképpen definiálhatjuk (x 2 + x + C) f (x) primitívjeként.
Fordított tulajdonság
Megjegyzendő, hogy az (x 2 + x) kifejezés származtatásakor az f (x) = 2x + 1 függvényt kapjuk, ennek oka a függvények származtatása és integrálása közötti inverz tulajdonság. Ez a tulajdonság lehetővé teszi az integrációs képletek megszerzését a megkülönböztetéstől kezdve. Amely lehetővé teszi az integrálok ellenőrzését ugyanazon származékok segítségével.

Forrás: szerző
Azonban (x 2 + x) nem az egyetlen olyan függvény, amelynek deriváltja egyenlő (2x + 1) -nel.
- d (x 2 + x) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + 1) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + 2) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + 3) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + C) / dx = 2x + 1
Ahol 1, 2, 3 és 4 az f (x) = 2x + 1 bizonyos primitívjeit jelentik, míg 5 az f (x) = 2x + 1 határozatlan vagy primitív integrálját jelöli.

Forrás: szerző
A függvény primitivitása az antiderivatáció vagy az integrált folyamat révén érhető el. Ahol F az f primitívje, ha az alábbiak igazak
- y = ∫ f (x) dx = F (x) + C; C = integrációs állandó
- F '(x) = f (x)
Látható, hogy egy függvénynek egyetlen származéka van, ellentétben az integrációból származó végtelen primitívumokkal.
A határozatlan integrál
∫ f (x) dx = F (x) + C
Ugyanazon mintázatú görbék családjának felel meg, amelyek eltéréseket mutatnak az egyes pontok képeinek értékében (x, y). Minden olyan funkció, amely teljesíti ezt a mintát, egyéni primitív lesz, és az összes funkció halmazát határozatlan integrálnak nevezzük .
Az integráció állandójának értéke lesz az, amely megkülönbözteti az egyes funkciókat a gyakorlatban.
Az integráció állandója függvénybeli függőleges eltolódást jelez minden függvény primitívjét ábrázoló grafikonon. Ahol megfigyelhető a párhuzamosság közöttük, és az a tény, hogy C az elmozdulás értéke.
A szokásos gyakorlatok szerint az integrációs állandót egy kiegészítés utáni "C" betű jelöli, bár a gyakorlatban nem közömbös, hogy az állandót összeadják-e, vagy kivonják-e. Valós értéke többféle módon megtalálható, különböző kezdeti feltételek mellett.
Az integráció állandójának más jelentései
Már tárgyalták, hogy az integrációs állandót hogyan alkalmazzák az integrális számítások ágában; A meghatározatlan integrált meghatározó görbék családját képviseli. De sok más tudomány és ágazat nagyon érdekes és gyakorlati értékeket adott az integráció állandójának, amelyek megkönnyítették a több tanulmány kidolgozását.
A fizikában az integráció állandója több értéket vehet igénybe, az adatok jellegétől függően. Nagyon általános példa a V (t) függvény ismerete, amely a részecske sebességét mutatja a t idő függvényében. Ismert, hogy a V (t) primitívjának kiszámításakor az R (t) függvényt kapjuk, amely a részecske helyzetét mutatja az idő függvényében.
Az integrációs állandó a kezdeti helyzet értékét képviseli, vagyis t = 0 időpontban.
Ugyanígy, ha ismert a részecske időbeli gyorsulását képviselő A (t) függvény. Az A (t) primitívje V (t) függvényt eredményez, ahol az integrációs állandó a V 0 kezdeti sebesség értéke.
A közgazdaságtanban azáltal, hogy az integrációval megkapja a költségfüggvény primitívjét. Az integráció állandója jelenti a rögzített költségeket. És oly sok más alkalmazás, amelyek érdemesek a differenciál és integrált számítások szempontjából.
Hogyan számítják ki az integrációs állandót?
Az integrációs állandó kiszámításához mindig meg kell ismerni a kezdeti feltételeket. Melyek a meghatározásáért, hogy melyik lehetséges primitív közül melyik a megfelelő.
Számos alkalmazásban független változóként kezelik (t) időpontban, ahol a C konstans értékei meghatározzák az adott eset kezdeti feltételeit.
Ha a kezdeti példát vesszük: ∫ (2x + 1) dx = x 2 + x + C
Érvényes kezdeti feltétel lehet, ha a grafikon egy meghatározott koordinátán halad át. Például, tudjuk, hogy az primitív (x 2 + x + C) áthalad az (1, 2) ponton
F (x) = x 2 + x + C; ez az általános megoldás
F (1) = 2
Az általános megoldást ebben az egyenlőségben helyettesítjük
F (1) = (1) 2 + (1) + C = 2
Innen könnyen következik, hogy C = 0
Ilyen módon a megfelelő primitív ebben az esetben F (x) = x 2 + x
Többféle numerikus gyakorlat létezik, amelyek az integráció állandóival működnek. Valójában a differenciál és integrált számítás nem áll le a jelenlegi vizsgálatok során. Különböző tudományos szinteken megtalálhatók; a kezdeti számítástól kezdve, többek között a fizikán, kémián, biológián, közgazdaságtanon keresztül.
Ez a differenciálegyenletek tanulmányozásakor is nagyra becsülhető, ahol az integrációs állandó eltérő értékeket és megoldásokat vehet fel, ennek oka az ebben a kérdésben végrehajtott többszörös derivációk és integrációk.
Példák
1. példa
- Egy 30 méter magas ágyú függőlegesen felfelé lövöldöz egy lövedéket. A lövedék kezdeti sebessége ismert, hogy 25 m / s. Döntsd el:
- Az a funkció, amely meghatározza a lövedék helyzetét az idő függvényében.
- A repülés ideje vagy azon pillanat, amikor a részecske eléri a talajt.
Ismeretes, hogy egyenes vonalú mozgással egyenletesen változtatva a gyorsulás állandó érték. Ez vonatkozik a lövedék indulására, ahol a gyorsulás gravitáció lesz
g = - 10 m / s 2
Az is ismert, hogy a gyorsulás a helyzet második származéka, amely kettős integrációt jelez a gyakorlat felbontásában, így két integrációs állandót kap.
A (t) = -10
V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C 1
A gyakorlat kezdeti feltételei azt jelzik, hogy a kezdeti sebesség V 0 = 25 m / s. Ez a sebesség t = 0 idő pillanatában. Ilyen módon meggyőződik arról, hogy:
V (0) = 25 = -10 (0) + a C 1 és C 1 = 25
A sebességfüggvény meghatározásával
V (t) = -10 t + 25; A hasonlóság megfigyelhető az MRUV képlettel (V f = V 0 + axt)
Homológ módon folytatjuk a sebességfüggvény integrálását, hogy megkapjuk a kifejezést, amely meghatározza a helyzetet:
R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10 t + 25) dt = -5 t 2 + 25 t + C 2
R (t) = -5t 2 + 25t + C 2 (összesen primitív)
Az R (0) = 30 m kiindulási helyzet ismert. Ezután kiszámítják a lövedék sajátos primitivitását.
R (0) = 30 m = -5 (0) 2 + 25 (0) + C 2. Ahol C 2 = 30
2. példa
- Keresse meg azt a primitív f (x) -ot, amely kielégíti a kezdeti feltételeket:
- f '' (x) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7
Az f '' (x) = 4 második származék információjával megindul az antiderivatív folyamat
f '(x) = ∫f' '(x) dx
∫4 dx = 4x + C 1
Ezután az f '(2) = 2 feltétel ismeretében folytatjuk:
4 (2) + C 1 = 2
C 1 = -6 és f '(x) = 4x - 8
Ugyanezen módon folytatjuk az integráció második állandóját
f (x) = ∫f „(x) dx
∫ (4x - 8) dx = 2x 2 - 8x + C 2
Az f (0) = 7 kezdeti feltétel ismert és folytatjuk:
2 (0) 2 - 8 (0) + C 2 = 7
C 2 = 7 és f (x) = 2x 2 - 8x + 7
- f '' (x) = x 2; f '(0) = 6; f (0) = 3
Az előző problémához hasonlóan az első származékokat és az eredeti függvényt a kezdeti körülmények között definiáljuk.
f '(x) = ∫f' '(x) dx
∫ (X 2) dx = (x 3 /3) + C 1
Az f '(0) = 6 feltétellel folytatjuk:
(0 3/3) + C 1 = 6; Ahol C 1 = 6 és F „(x) = (x 3 /3) + 6
Aztán az integráció második állandója
f (x) = ∫f '(x) dx
∫ dx = (x 4 /12) + 6x + C 2
Az f (0) = 3 kezdeti feltétel ismert és folytatjuk:
+ 6 (0) + C 2 = 3; Ahol C 2 = 3
Így megkapjuk a primitív sajátosságot
f (x) = (x 4 /12) + 6x + 3
3. példa
- Határozza meg a primitív függvényeket a származékokkal és egy ponttal a grafikonon:
- dy / dx = 2x - 2, amely áthalad a ponton (3, 2)
Fontos megjegyezni, hogy a derivatívák a görbe érintőjének egy adott ponton való meredekségére vonatkoznak. Ha nem helyes azt feltételezni, hogy a derivált gráfja megérinti a megadott pontot, mivel ez a primitív függvény gráfjához tartozik.
Ilyen módon a differenciálegyenletet az alábbiak szerint fejezzük ki:
∫dy = ∫ (2x - 2) dx
A kezdeti feltétel alkalmazása:
2 = (3) 2 - 2 (3) + C
C = -1
Ezt kapjuk: f (x) = x 2 - 2x - 1
- dy / dx = 3x 2 - 1, amely áthalad a ponton (0, 2)
A differenciálegyenletet a következőképpen fejezzük ki:
A kezdeti feltétel alkalmazása:
2 = (0) 2 - 2 (0) + C
C = 2
A következőt kapjuk: f (x) = x 3 - x + 2
Javasolt gyakorlatok
1. Feladat
- Keresse meg azt a primitív f (x) -ot, amely kielégíti a kezdeti feltételeket:
- f '' (x) = x; f '(3) = 1; f (2) = 5
- f '' (x) = x + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
- f '' (x) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
- f '' (x) = -x; f '(5) = 1; f (1) = -8
2. gyakorlat
- Egy 16 láb / s sebességgel növekvő léggömb 64 láb magasságból a talajszint felett ledob egy zsákot homokot.
- Adja meg a repülési időt
- Milyen lesz a V f vektor, amikor eléri a talajt?
3. gyakorlat
- Az ábra az x tengely pozitív irányában mozgó autó gyorsulási idő görbéjét mutatja. Az autó állandó 54 km / h sebességgel haladt, amikor a vezető 10 másodpercen belül leállította a fékeket. Határozzuk meg:
- Az autó kezdeti gyorsulása
- Az autó sebessége t = 5s
- Az autó elmozdulása fékezés közben

Forrás: szerző
4. gyakorlat
- Határozza meg a primitív függvényeket a származékokkal és egy ponttal a grafikonon:
- dy / dx = x, amely áthalad a ponton (-1, 4)
- dy / dx = -x 2 + 1, amely áthalad a ponton (0, 0)
- dy / dx = -x + 1, amely áthalad a ponton (-2, 2)
Irodalom
- Integrált kalkulus. A határozatlan integrálási és integrációs módszerek. Wilson, Velásquez Bastidas. Magdalena University 2014
- Stewart, J. (2001). Egy változó kiszámítása. Korai transzcendentálisok. Mexikó: Thomson Learning.
- Jiménez, R. (2011). Matematika VI. Integrált kalkulus. Mexikó: Pearson Education.
- Fizika I. Mc Graw-hegy
