ALGEBRAI SZÁRMAZÉKOK (PÉLDÁKKAL) - MATEMATIKA - 2026

Az algebrai származékok algebrai függvények esetében a derivatok tanulmányozását foglalják magukban. A származék fogalma az ókori Görögországban nyúlik vissza. Ennek a fogalomnak a kialakulását két fontos probléma megoldásának szükségessége motiválta: az egyik a fizikában, a másik a matematikában.

A fizikában a derivált megoldja a mozgó tárgy pillanatnyi sebességének meghatározásának problémáját. A matematika lehetővé teszi, hogy megtalálja a görbe érintő vonalát egy adott ponton.

Bár valójában még sok más probléma megoldódik a származék felhasználásával, valamint annak általánosításaival, eredményei, amelyek a koncepció bevezetése után jöttek létre.

A differenciálszámítás úttörői Newton és Leibniz. Mielőtt megadnánk a formális meghatározást, kidolgozzuk az alapjául szolgáló ötletet matematikai és fizikai szempontból.

A derivátum az érintő vonal és egy görbe meredeksége között

Tegyük fel, hogy az y = f (x) függvény gráfja folytonos gráf (csúcsok, csúcsok vagy rések nélkül), és hagyjuk, hogy A = (a, f (a)) rögzített pont legyen rajta. Meg akarjuk találni az A függvény f függvényének gráfához tartozó egyenes egyenletét.

Vegyünk bármely más P = (x, f (x)) pontot a grafikonon, közel az A ponthoz, és húzzuk az A és P áthaladó szekvenciavonalat. vagy több pontot.

A kívánt érintővonal eléréséhez csak a meredekséget kell kiszámítanunk, mivel már van egy pontunk a vonalon: A pont.

Ha a P pontot a grafikon mentén mozgatjuk, és egyre közelebb kerülünk az A pontra, akkor az előzőekben említett szekvenciális vonal megközelíti az érintő vonalat, amelyet meg akarunk találni. Ha figyelembe vesszük a határt, amikor a "P hajlamos az A" -re, akkor mindkét vonal egybeesik, tehát lejtéseik is.

A szekunder vonal lejtését a:

Annak mondása, hogy P megközelíti az A-t, egyenértékű azzal, hogy az "x" megközelíti az "a" -t. Így az érintő vonal meredeksége az f gráfhoz az A pontban egyenlő:

A fenti kifejezést f '(a) jelöli, és az f függvény származékaként definiálják az „a” pontban. Ezért látjuk, hogy analitikai szempontból egy függvény derivációja egy ponton egy határérték, de geometriailag az érintő vonal meredeksége a pont függvényének gráfjához.

Ezt a koncepciót a fizika szempontjából fogjuk megtekinteni. Az előző korlát ugyanazon kifejezéséhez fogunk érkezni, bár eltérő úton, így a meghatározás egyhangúságát kapjuk.

A származék, mint a mozgó tárgy pillanatnyi sebessége

Nézzünk egy rövid példát arra, hogy mit jelent a pillanatnyi sebesség. Amikor például azt mondják, hogy egy rendeltetési helyre érkező autó 100 km / h sebességgel tette meg, ami azt jelenti, hogy egy óra alatt 100 km-t tett meg.

Ez nem feltétlenül jelenti azt, hogy az autó egész órájában mindig 100 km volt, az autó sebességmérője bizonyos pillanatokban kevesebbet vagy többet tudott megjelölni. Ha a lámpánál meg kellett állnia, akkor az akkori sebesség 0 km volt. Egy óra elteltével az utazás 100 km volt.

Ezt az úgynevezett átlagsebességet adják meg a megtett távolság és az eltelt idő hányadosa, amint láttuk. A pillanatnyi sebesség viszont az, amely jelzi az autó sebességmérőjének tűjét egy adott pillanatban (időben).

Nézzük ezt most általánosabban. Tegyük fel, hogy egy objektum egy vonal mentén mozog, és ezt az elmozdulást s = f (t) egyenlet képviseli, ahol a t változó az időt méri és az s változó az elmozdulást veszi figyelembe, annak t = 0 pillanat, amikor is nulla, azaz f (0) = 0.

Ezt az f (t) függvényt helyzetfunkciónak nevezzük.

A tárgy azonnali sebességének kifejezését kell keresni egy rögzített "a" pillanatban. Ezen a sebességen V (a) jelöljük.

Legyen bármilyen azonnali az "a" pillanathoz. Az „a” és „t” közötti időintervallumban az objektum helyzetének változását f (t) -f (a) adja meg.

Az átlagos sebesség ebben az időszakban:

Ami a V (a) pillanatnyi sebesség közelítését jelenti. Ez a közelítés jobb lesz, mivel t közelebb kerül az „a” -hez. Így,

Vegye figyelembe, hogy ez a kifejezés ugyanaz, mint az előző esetben kapott, de más szempontból. Ez az úgynevezett "f" függvény derivációja az "a" ponton, és f '(a) -vel van jelölve, amint azt fentebb már említettük.

Vegye figyelembe, hogy ha módosítja a h = xa értéket, akkor van, hogy amikor az „x” „a” -ra hajlik, a „h” 0-ra esik, és az előző határérték (ekvivalens módon) a következőre alakul:

Mindkét kifejezés egyenértékű, ám esettől függően néha jobb az egyiket a másik helyett használni.

Az f függvény derivációját a tartományához tartozó bármely "x" ponton ezután általánosabban definiáljuk

Az y = f (x) függvény deriváltjának ábrázolására a leggyakrabban használt jelölést láttuk (f 'vagy y'). Ugyanakkor egy másik széles körben használt jelölés a Leibniz jelölése, amely a következő kifejezések bármelyikének felel meg:

Mivel a származék lényegében egy limit, létezhet vagy nem is létezik, mivel a limitek nem mindig léteznek. Ha létezik, akkor a kérdéses funkciót megkülönböztethetőnek mondják az adott ponton.

Algebrai funkció

Az algebrai függvény polinomok kombinációja összeadás, kivonás, termékek, hányadosok, hatalmak és gyökök segítségével.

A polinom a forma kifejezése

P _n = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 +… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀

Ahol n természetes szám, és minden a _i, ha i = 0,1,…, n, racionális szám és _n ≠ 0. Ebben az esetben ennek a polinomnak a fokát n-re állítják.

Az algebrai funkciók példái az alábbiakban találhatók:

Az exponenciális, a logaritmikus és a trigonometrikus függvények itt nem szerepelnek. A derivációs szabályok, amelyeket majd látni fogunk, általában a funkciókra vonatkoznak, de korlátozzuk magunkat és alkalmazzuk azokat az algebrai függvények esetében.

Megkerülő szabályok

Állandó származéka

Azt állítja, hogy egy állandó deriváltja nulla. Vagyis ha f (x) = c, akkor f '(x) = 0. Például a 2 állandó függvény deriváltja egyenlő 0-val.

Egy hatalom származéka

Ha f (x) = x ⁿ, akkor f '(x) = nx ^n-1. Például, a származék X ³ jelentése 3x ². Ennek eredményeként megkapjuk, hogy az f (x) = x azonosságfüggvény derivációja f '(x) = 1x ^1-1 = x ⁰ = 1.

További példa a következő: f (x) = 1 / x ², akkor f (x) = x ^-2 és f '(x) = - 2x ^-2-1 = -2x ^-3.

Ez a tulajdonság érvényes gyökerekre is vonatkozik, mivel a gyökerek racionális hatalmak, és a fentiek abban az esetben is alkalmazhatók. Például a négyzetgyök deriváltját a következő adja meg

Az összeadás és kivonás származéka

Ha f és g differenciálható függvények x-ben, akkor az f + g összeg szintén megkülönböztethető és igaz, hogy (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

Hasonlóképpen van (fg) '(x) = f' (x) -g '(x). Más szavakkal: egy összeg (kivonás) származéka a származékok összege (vagy kivonása).

Példa

Ha h (x) = x ² + x-1, akkor

h '(x) = (x ²) + (x)' - (1) '= 2x + 1-0 = 2x + 1.

Termékből származik

Ha f és g megkülönböztethető függvények x-ben, akkor az fg szorzat megkülönböztethető x-ben is, és igaz ez

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

Következésképpen az következik, hogy ha c állandó, és f x-ban megkülönböztethető függvény, akkor cf szintén megkülönböztethető x-ben és (cf) '(x) = cf' (X).

Példa

Ha f (x) = 3x (x ² +1), akkor

f '(x) = (3x)' (x ² +1) + (3x) (x ² +1) '= 3 (x)' (x ² +1) + 3x

= 3 (1) (x ² +1) + 3x = 3 (x ² +1) + 3x (2x) = 3x ² + 3 + 6x ²

= 9x ² +3.

Egy hányados származéka

Ha f és g megkülönböztethető x-en és g (x) ≠ 0-nál, akkor f / g szintén megkülönböztethető x-en, és igaz, hogy

Példa: ha h (x) = x ³ / (x ² -5x), akkor

h '(x) = / (x ⁵ -5x) ² = / (x ⁵ -5x) ².

Láncszabály

Ez a szabály lehetővé teszi a függvények összetételének meghatározását. Tegye a következőt: ha y = f (u) megkülönböztethető u-val, yu = g (x) x-en megkülönböztethető, akkor az f (g (x)) összetett függvény x-nél megkülönböztethető, és igaz, hogy '= f „(g (x)) g” (x).

Vagyis egy összetett függvény deriváltja a külső függvény derivációja (külső derivált) és a belső függvény derivációja (belső derivált).

Példa

Ha f (x) = (x ⁴ -2x) ³, akkor

f '(x) = 3 (x ⁴ -2x) ² (x ⁴ -2x)' = 3 (x ⁴ -2x) ² (4x ³ -2).

Vannak olyan eredmények is, amelyek segítségével kiszámíthatjuk a függvény inverzét, valamint általánosíthatjuk a magasabb rendű derivatívákra. Az alkalmazások széles körűek. Közülük kiemelkedik annak hasznossága az optimalizálási problémákban, valamint a maximális és minimális funkciókban.

Irodalom

1. Alarcon, S., González, M., és Quintana, H. (2008). Diferenciális számítás. ITM.
2. Cabrera, VM (1997). Számítás 4000. Szerkesztői Progreso.
3. Castaño, HF (2005). Matematika a számítás előtt. Medellini Egyetem.
4. Eduardo, NA (2003). Bevezetés a kalkulusba. Threshold Editions.
5. Fuentes, A. (2016). ALAPMÁNY. Bevezetés a kalkulusba. Lulu.com.
6. Purcell, EJ, Rigdon, SE és Varberg, DE (2007). Számítás. Pearson oktatás.
7. Saenz, J. (2005). Differenciálszámítás (második kiadás). Barquisimeto: Hypotenuse.
8. Thomas, GB és Weir, MD (2006). Számítás: több változó. Pearson oktatás.