SZEKVENCIÁLIS SZÁRMAZÉKOK (MEGOLDOTT GYAKORLATOKKAL) - MATEMATIKA - 2026

Az egymást követő származtatások azok, amelyek a második származék utáni egyik funkcióból származnak. Az egymást követő derivatívák kiszámításának folyamata a következő: van egy f függvény, amelyet levezethetünk, és így megkapjuk az f 'derivált függvényt. Ezt az f származékot ismét levezethetjük, így kapjuk az (f ')' -t.

Ezt az új funkciót második derivációnak nevezzük; a másodikból számított összes származékos termék egymást követő; Ezeknek a magasabb rendűnek is nevezhetők nagyszerű alkalmazások, például információk szolgáltatása a függvény gráfjának grafikonjáról, a második derivátum tesztje a relatív szélsőségekre és a végtelen sorozat meghatározása.

Meghatározás

Leibniz jelölésével azt kapjuk, hogy az "y" függvény derivációja "x" -hoz képest dy / dx. Az "y" második deriváltjának Leibniz jelölésével való kifejezéséhez a következőket írjuk:

Általában az egymást követő származékokat az alábbiak szerint fejezhetjük ki Leibniz jelölésével, ahol n a származék sorrendjét jelenti.

Egyéb használt jelölések a következők:

Néhány példa, ahol láthatjuk a különböző jelöléseket:

1. példa

Szerezze be az f függvény összes származékát, amelyet a következő határoz meg:

A szokásos derivációs technikák alkalmazásával azt kapjuk, hogy f származéka:

A folyamat megismételésével megkaphatjuk a második származékot, a harmadik származékot és így tovább.

Vegye figyelembe, hogy a negyedik származék nulla, a nulla származéka pedig nulla, tehát:

2. példa

Számítsuk ki a következő függvény negyedik származékát:

Az adott függvény eredménye:

Sebesség és gyorsulás

Az egyik motiváció, amely a derivátum felfedezéséhez vezetett, a pillanatnyi sebesség meghatározásának keresése volt. A formális meghatározás a következő:

Legyen y = f (t) egy olyan függvény, amelynek gráfja leírja egy részecske trajektóriáját t időpontban, majd annak sebességét t időpontban adja meg:

Miután megkaptuk a részecske sebességét, kiszámolhatjuk a pillanatnyi gyorsulást, amelyet a következőképpen határozunk meg:

Egy részecske azonnali gyorsulása, amelynek útját y = f (t) adja:

1. példa

Egy részecske egy vonal mentén mozog a helyzetfüggvény szerint:

Ahol az "y" -et méterben és "t" -et másodpercekben mérik.

- Melyik pillanatban van 0 sebessége?

- Melyik pillanatban gyorsul fel 0?

A «és» helyzetfüggvény meghatározásakor feltételezzük, hogy annak sebességét és gyorsulását az alábbiak adják meg:

Az első kérdés megválaszolásához elegendő annak meghatározása, mikor az v függvény nulla lesz; ez:

Az alábbi kérdést folytatjuk analóg módon:

2. példa

Egy részecske egy vonal mentén mozog a következő mozgási egyenlet szerint:

Határozzuk meg "t, y" és "v", ha a = 0.

Tudva, hogy a sebességet és a gyorsulást a

Folytatjuk a következő származtatást és megszerzését:

Ha a = 0, akkor:

Ahonnan levonhatjuk, hogy t értéke a-nál nulla = t = 1.

Ezután, kiértékelve a pozíciófüggvényt és a sebességfüggvényt t = 1-nél, megkapjuk:

Alkalmazások

Kifejezett származtatás

Az egymást követő származékok implicit származtatással is megszerezhetők.

Példa

A következő ellipszis alapján keresse meg az "y" értéket:

Az x-re vonatkozó implicit módon származtatva:

Akkor implicit módon az x vonatkozásában történő újbóli származtatása megadja nekünk:

Végül:

Relatív szélsőségek

Egy másik alkalmazás, amelyet adhatunk a másodrendű derivatívákhoz, egy függvény relatív szélsőségeinek kiszámításakor.

Az első derivált kritériuma a helyi szélsőségekre azt mondja nekünk, hogy ha az (a, b) intervallumban folyamatos f függvényünk van, és van egy c, amely az említett intervallumhoz tartozik úgy, hogy f 'c-ben eltűnik (azaz hogy c kritikus pont), a három eset egyike fordulhat elő:

- Ha f '(x)> 0 az (a, c) -hez tartozó bármelyik x esetén és f' (x) <0 (x, (c, b) -höz tartozó x esetén, akkor f (c) egy helyi maximum.

- Ha f´ (x) <0 az (a, c) -hez tartozó bármelyik x esetén és f´ (x)> 0 (x, (c, b) -höz tartozó x esetén, akkor f (c) egy helyi minimum.

- Ha az f '(x) azonos jelzéssel rendelkezik az a), c) és a (c), b) pontban, akkor ez azt jelenti, hogy f (c) nem helyi szélsõség.

A második deriváció kritériumának felhasználásával megtudhatjuk, hogy egy függvény kritikus száma lokális maximum vagy minimális-e, anélkül, hogy látnánk, hogy a függvény jele a fent említett intervallumokban van-e.

A második sodródás kritériuma azt mondja nekünk, hogy ha f´ (c) = 0, és ha f´´ (x) folytonos az (a, b) -ben, akkor történik, hogy ha f´´ (c)> 0, akkor f (c) egy helyi minimum, és ha f´´ (c) <0, akkor f (c) egy helyi maximumot jelent.

Ha f´´ (c) = 0, nem tudunk következtetni.

Példa

Adva az f (x) = x ⁴ + (4/3) x ³ - 4x ² függvényt, keresse meg az f relatív maximumát és minimumát a második derivált kritériumával.

Először kiszámoljuk az f´ (x) és f´´ (x) értéket, és rendelkezünk:

f'(x) = 4x ³ + 4x ² - 8x

f'' (x) = 12x ² + 8x - 8

Most, f '(x) = 0, ha, és csak akkor, ha 4x (x + 2) (x - 1) = 0, és ez akkor történik, ha x = 0, x = 1 vagy x = - 2.

Annak meghatározásához, hogy a kapott kritikus számok relatív szélsőségek vannak-e, elegendő az f´-nél felmérni, és így megfigyelni annak jelét.

f´´ (0) = - 8, tehát f (0) egy helyi maximum.

f´´ (1) = 12, tehát f (1) egy helyi minimum.

f´´ (- 2) = 24, tehát f (- 2) egy helyi minimum.

Taylor sorozat

Legyen f a következőképpen definiált függvény:

Ennek a függvénynek a konvergencia sugara R> 0, és az összes rend-származékai (-R, R) -ben vannak. Az f egymást követő származékai nekünk adják:

Ha x = 0, akkor a következőképpen kaphatjuk c _n értékeit származékaik függvényében:

Ha f = (= f ^ 0 = f) függvényt veszünk = 0-nak, akkor a függvényt a következőképpen írhatjuk át:

Most tekintsük a függvényt hatalom-sorozatként x = a esetén:

Ha elvégezzük az előzőhöz hasonló elemzést, akkor az f függvényt így írhatjuk:

Ezeket a sorozatokat Taylor sorozatoknak nevezik, f-től a-ig. Ha a = 0, akkor a Maclaurin sorozatnak nevezzük az adott esetet. Az ilyen sorozatok nagy matematikai jelentőséggel bírnak, különösen a numerikus elemzésben, mivel ezeknek köszönhetően olyan számítógépek funkcióit definiálhatjuk, mint az e ^x, sin (x) és cos (x).

Példa

Szerezze be a Maclaurin sorozatot az e ^x-hez.

Vegye figyelembe, hogy ha f (x) = e ^x, akkor f ⁽ⁿ⁾ (x) = e ^x és f ⁽ⁿ⁾ (0) = 1, tehát a Maclaurin sorozata:

Irodalom

1. Frank Ayres, J. és Mendelson, E. (második). Számítás 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). A számítás analitikus geometriával. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D. és Rigdon, SE (2007). Számítás. Mexikó: Pearson Education.
4. Saenz, J. (2005). Diferenciális számítás. Átfogó.
5. Saenz, J. (második). Integrált kalkulus. Átfogó.