A pozitív egész szám additív bomlása azt jelenti, hogy azt két vagy több pozitív egész szám összegével fejezzük ki. Tehát van, hogy az 5-ös szám kifejezhető: 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 vagy 5 = 1 + 2 + 2. Az 5. szám beírásának mindegyik módját nevezzük additív bomlásnak.

Figyelembe véve láthatjuk, hogy az 5 = 2 + 3 és 5 = 3 + 2 kifejezések ugyanazt a kompozíciót képviselik; mindkettő azonos számú. Ugyanakkor csak a kényelem érdekében minden egyes kiegészítést általában a legalacsonyabbtól a legmagasabbig terjedő kritérium alapján írnak.

Additív bomlás

Másik példa lehet a 27-es szám, amelyet kifejezhetünk:

27 = 7 + 10 + 10

27 = 9 + 9 + 9

27 = 3 + 6 + 9 + 9

27 = 9 + 18

Az additív bomlás nagyon hasznos eszköz, amely lehetővé teszi számunkra a számozási rendszerekkel kapcsolatos ismereteink megerősítését.

Kanonikus adalékanyag-bomlás

Ha két számjegynél több szám van, akkor a bontásuk egyik különös módja a 10, 100, 1000, 10 000 stb. Szorzó. Bármely szám ilyen írását kanonikus additív bomlásnak nevezzük. Például a 1456-os szám a következőképpen bontható:

1456 = 1000 + 400 + 50 + 6

Ha 20 846 295-ös szám van, annak kanonikus additív bomlása a következő lesz:

20 846 295 = 20 000 000 + 800 000 + 40 000 + 6000 + 200 + 90 +5.

Ennek a bomlásnak köszönhetően láthatjuk, hogy egy adott számjegy értékét az általunk elfoglalt helyzet adja meg. Vegyük példa a 24. és 42. számot:

24 = 20 + 4

42 = 40 +2

Itt láthatjuk, hogy a 24-ben a 2 értéke 20 egység, a 4 értéke 4 egység; másrészt, a 42-ben a 4 értéke 40 egység, a 2 pedig két egység. Így, bár mindkét szám ugyanazokat a számjegyeket használja, értékeik teljesen különböznek az általuk elfoglalt helyzet miatt.

Alkalmazások

Az additív bomlásnak az egyik alkalmazása bizonyos típusú bizonyítékoknál, amelyekben nagyon hasznos pozitív egész számot látni, mint mások összegét.

Példa tétel

Vegyünk példát a következő tételre és annak megfelelő bizonyításaira.

- Legyen Z négyjegyű egész szám, akkor Z osztható 5-gyel, ha az egységeknek megfelelő szám nulla vagy öt.

Demonstráció

Emlékezzünk vissza, mi az oszthatóság. Ha van "a" és "b" egész szám, akkor azt mondjuk, hogy "a" osztja "b" -et, ha létezik olyan "c" egész szám, amelyben b = a * c.

Az oszthatóság egyik tulajdonsága azt mondja nekünk, hogy ha az "a" és "b" osztható a "c" -nel, akkor az "ab" kivonás is osztható.

Legyen Z négyjegyű egész szám; ezért Z-t írhatjuk Z = ABCD-ként.

Kanonikus adalékanyag-bomlás felhasználásával:

Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D

Nyilvánvaló, hogy az A * 1000 + B * 100 + C * 10 osztható 5-nel. Ez az oka annak, hogy Z osztható 5-gyel, ha Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) osztható 5-gyel.

De Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D és D egy egy számjegyű szám, tehát az 5-re osztható az egyetlen mód, ha 0 vagy 5 közötti.

Ezért Z osztható 5-gyel, ha D = 0 vagy D = 5.

Vegye figyelembe, hogy ha Z-nek n számjegy van, a bizonyíték pontosan ugyanaz, csak akkor változik, hogy most Z = A ₁ A ₂ … A _{n-et írnánk,} és a cél az lenne, hogy bebizonyítsuk, hogy A _n nulla vagy öt.

válaszfalak

Azt mondjuk, hogy a pozitív egész szám felosztása az egyik módja annak, hogy egy számot pozitív egész számként írjunk.

Az additív bomlás és a partíció közötti különbség az, hogy míg az első arra törekszik, hogy legalább két vagy több kiegészítésre bontható, a partíciónak nincs ez a korlátozása.

Így a következők rendelkeznek:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 2 + 2

A fenti 5-es partíciók.

Vagyis minden egyes additív bomlás partíció, de nem minden partíció szükségszerűen additív bomlás.

A szám elméletében az aritmetikai alaptétel garantálja, hogy minden egész egyedileg megírható prímszerkezetként.

A partíciók tanulmányozásakor a cél az, hogy meghatározzuk, hogy a pozitív egész szám hány módon írható be, mint más egész számok összege. Ezért a partíció függvényét az alábbiak szerint definiáljuk.

Meghatározás

A p (n) partíciófüggvényt úgy definiáljuk, hogy az n pozitív egész számot hogyan lehet pozitív egész számként megírni.

Vissza az öt példához:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 1 + 3

5 = 1 + 2 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

Így p (5) = 7.

Grafika

Az n szám mind a megoszlása, mind az additív bomlása geometriailag ábrázolható. Tegyük fel, hogy n additív bomlásuk van. Ebben a bomlásban a kiegészítések úgy rendezhetők el, hogy az összeg tagjai a legkisebbtől a legnagyobbig legyenek rendezve. Szóval, oké:

n = a ₁ + a ₂ + a ₃ +… + a _r- vel

a ₁ ≤ a ₂ ≤ a ₃ ≤… ≤ a _r.

A bomlást az alábbi módon ábrázolhatjuk: az első sorban jelöljük az _{1 pontot}, majd a következőben _{2 pontot}, és így tovább, amíg el nem éri az _{r értéket}.

Vegyük például a 23. számot és annak következő bomlását:

23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

Megrendeljük ezt a bomlást, és rendelkezünk:

23 = 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7

A megfelelő grafikon a következő lenne: