HÁROMSZÖG EGYENLŐTLENSÉG: BIZONYÍTÉK, PÉLDÁK, MEGOLDOTT GYAKORLATOK - MATEMATIKA - 2026

Olyan egyenlőtlen háromszögtulajdonságnak nevezzük, amely megfelel két valós számnak, amelyek összegük abszolút értékéből állnak, mindig kisebb vagy egyenlő abszolút értékük összegével. Ez a tulajdonság Minkowski egyenlőtlensége vagy háromszög egyenlőtlensége is.

A számok ezt a tulajdonságát háromszög egyenlőtlenségnek nevezzük, mert háromszögekben előfordul, hogy az egyik oldal hossza mindig kisebb vagy egyenlő a másik kettő összegével, bár ez az egyenlőtlenség nem mindig érvényes a háromszögek területére.

1. ábra. Két szám összegének abszolút értéke mindig kisebb vagy egyenlő abszolút értékük összegével. (Pérez R. készítette)

A valós számokban a háromszög egyenlőtlenségre számos bizonyíték van, de ebben az esetben az abszolút érték tulajdonságai és a binomiális négyzet alapján választunk egyet.

Tétel: Minden valós számhoz tartozó a és b számpárhoz:

- a + b - ≤ - a - + - b -

Demonstráció

Először az egyenlőtlenség első tagját vesszük figyelembe, amely négyzet lesz:

- a + b - ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 ab + b ^ 2 (1. egyenlet)

Az előző lépésben azt a tulajdonságot használtuk, hogy bármilyen szám négyzet megegyezzen a négyzet szám abszolút értékével, azaz: -x- ^ 2 = x ^ 2. A négyzetes binomiális expanziót szintén alkalmazták.

Minden x szám kevesebb vagy egyenlő abszolút értékével. Ha a szám pozitív, akkor egyenlő, de ha a szám negatív, akkor mindig kisebb, mint pozitív szám. Ebben az esetben a saját abszolút értéke, azaz kijelenthető, hogy x ≤ - x -.

Az (ab) szorzat egy szám, ezért érvényes, hogy (ab) ≤ - ab -. Amikor ezt a tulajdonságot alkalmazzák (1. egyenlet):

- a + b - ^ 2 = a ^ 2 + 2 (ab) + b ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - ab - + b ^ 2 (2. egyenlet)

Figyelembe véve, hogy - ab - = - a - b - la (2. egyenlet) a következőképpen írható:

- a + b - ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - a - b - + b ^ 2 (3. egyenlet)

De mivel korábban azt mondtuk, hogy egy szám négyzete megegyezik a négyzet abszolút értékével, akkor a 3. egyenletet a következőképpen lehet átírni:

- a + b - ^ 2 ≤ -a- ^ 2 + 2 -a- -b- + -b- ^ 2 (4. egyenlet)

Az egyenlőtlenség második tagjában figyelemre méltó termék kerül felismerésre, amely alkalmazáskor az alábbiakhoz vezet:

- a + b - ^ 2 ≤ (-a- + -b -) ^ 2 (5. egyenlet)

Az előző kifejezésben meg kell jegyezni, hogy az egyenlőtlenség mindkét tagjában négyzetekre eső értékek pozitívak, ezért meg kell győződni arról is, hogy:

- a + b - ≤ (-a- + -b-) (6. egyenlet)

Az előző kifejezés pontosan az, amit be akart mutatni.

Példák

Ezután néhány példával megvizsgáljuk a háromszög egyenlőtlenséget.

1. példa

Vegyük az a = 2 és a b = 5 értéket, azaz mindkét pozitív számot, és ellenőrizzük, hogy az egyenlőtlenség kielégítő-e vagy sem.

- 2 + 5 - ≤ -2- + -5-

- 7 - ≤ -2- + -5-

7 ≤ 2+ 5

Az egyenlőség igazolva van, így a háromszög egyenlőtlenségi tétel teljesült.

2. példa

A következő a = 2 és b = -5 értékeket választjuk, azaz egy pozitív számot és a másik negatív értéket. Ellenőrizzük, hogy az egyenlőtlenség kielégítő-e.

- 2 - 5 - ≤ -2- + - 5-

- -3 - ≤ -2- + --5-

3 ≤ 2 + 5

Az egyenlőtlenség elégedett, ezért ellenőriztük a háromszög egyenlőtlenségi tételt.

3. példa

Vegyük az a = -2 és a b = 5 értéket, azaz egy negatív számot és a másik pozitív értéket. Ellenőrizzük, hogy az egyenlőtlenség kielégítő-e.

- -2 + 5 - ≤ --2- + -5-

- 3 - ≤ --2- + -5-

3 ≤ 2 + 5

Az egyenlőtlenség ellenőrizve van, ezért a tétel teljesült.

4. példa

A következő a = -2 és b = -5 értékeket választjuk, vagyis mindkét negatív számot, és megvizsgáljuk, hogy az egyenlőtlenség kielégítő-e.

- -2 - 5 - ≤ --2- + --5-

- -7 - ≤ --2- + --5-

7 ≤ 2+ 5

Az egyenlőség igazolva van, tehát Minkowski egyenlőtlenségi tétele teljesült.

5. példa

Vegyük az a = 0 és a b = 5 értéket, azaz a nulla és a másik pozitív értéket, majd ellenőrizzük, hogy az egyenlőtlenség kielégítő-e vagy sem.

- 0 + 5 - ≤ -0- + -5-

- 5 - ≤ -0- + -5-

5 ≤ 0+ 5

Az egyenlőség teljesül, ezért a háromszög egyenlőtlenségi tételét igazoltuk.

6. példa

Vegyük az a = 0 és a b = -7 értéket, azaz nulla és a másik pozitív számot, majd ellenőrizzük, teljesül-e az egyenlőtlenség.

- 0 - 7 - ≤ -0- + --7-

- -7 - ≤ -0- + --7-

7 ≤ 0+ 7

Az egyenlőség igazolva van, ezért teljesült a háromszög egyenlőtlenségi tétel.

Megoldott gyakorlatok

A következő feladatokban ábrázolja geometriailag a háromszög vagy Minkowski egyenlőtlenséget az a és b számoknál.

Az a számot szegmensként ábrázoljuk az X tengelyen, O kezdőpontja egybeesik az X tengely nullájával, és a szegmens másik vége (a P pontban) az X tengely pozitív irányában (jobbra) van, ha a > 0, de ha a <0, akkor az X tengely negatív irányába mutat, annyi egységet mutat, amennyi az abszolút értéke jelzi.

Hasonlóképpen, a b számot szegmensként ábrázoljuk, amelynek eredete a P ponton van. A másik véglet, vagyis a Q pont P-től jobbra, ha b pozitív (b> 0), és Q pont -b - P-től balra eső egységek, ha b <0.

1. Feladat

Ábrázolja a háromszög egyenlőtlenségét a = 5 és b = 3 - a + b - ≤ - a - + - b - esetén, ahol c = a + b.

2. gyakorlat

Ábrázolja a háromszög egyenlőtlenséget a = 5 és b = -3 esetén.

- a + b - ≤ - a - + - b -, ahol c = a + b.

3. gyakorlat

Grafikusan ábrázolja a háromszög egyenlőtlenségét a = -5 és b = 3 esetén.

- a + b - ≤ - a - + - b -, ahol c = a + b.

4. gyakorlat

Grafikailag állítsd össze a háromszög egyenlőtlenséget a = -5 és b = -3 esetén.

- a + b - ≤ - a - + - b -, ahol c = a + b.

Irodalom

1. E. Whitesitt. Boolean Algebra és alkalmazásai. Szerkesztõ cég, a kontinentális CA
2. Mícheál O 'Searcoid. (2003) Az elvont elemzés elemei.. Matematika Tanszék. Dublini Egyetemi Főiskola, Beldfield, Dublind.
3. J. Van Wyk. (2006) Matematika és mérnöki tudomány informatika. Számítástechnikai és Technológiai Intézet. Nemzeti Szabványügyi Iroda. Washington, DC 20234
4. Eric Lehman. Számítástechnika matematika. Google Inc.
5. F Thomson Leighton (1980). Számítás. Matematika Tanszék és a Számítástechnika Tanszék és AI Laboratórium, Massachussetts Institute of Technology.
6. Khan Akadémia. Háromszög egyenlőtlenségi tétel. Helyreállítva: khanacademy.org
7. Wikipedia. Háromszög egyenlőtlenség. Helyrehozva: es. wikipedia.com