A KOCKÁK KÜLÖNBSÉGE: KÉPLETEK, EGYENLETEK, PÉLDÁK, GYAKORLATOK - MATEMATIKA - 2026

A kockák különbsége a ³ - b ³ forma binomiális algebrai kifejezése, ahol az a és b kifejezések lehetnek valós számok vagy különféle típusú algebrai kifejezések. Példa a kockák különbségére: 8 - x ³, mivel a 8 2 ^3- ként írható.

Geometriailag egy nagy, az a oldalú kockát gondolhatunk, amelyből kivonjuk a kis, b oldalú kockát, az 1. ábra szerint:

1. ábra: A kockák különbsége. Forrás: F. Zapata.

A kapott ábra térfogata pontosan a kockák különbsége:

V = a ³ - b ³

Alternatív kifejezés megtalálására megfigyelhető, hogy ez az ábra három prizmára bontható, az alábbiak szerint:

2. ábra: A kockák különbsége (az egyenlőség bal oldalán) egyenlő a részleges térfogatok összegével (jobbra). Forrás: F. Zapata.

A prizma térfogatát háromszoros szorzata adja: szélesség x magasság x mélység. Ily módon a kapott mennyiség:

V = a ³ - b ³ = a ².b + b ³ + ab ²

A b faktor jobbra jellemző. Ezenkívül a fenti ábrán különösen igaz, hogy:

b = (a / 2) ⇒ a = b + b

Ezért elmondható, hogy: b = a - b. Így:

A kockák közötti különbség kifejezésének ilyen módja nagyon hasznosnak bizonyul sok alkalmazásban, és ugyanúgy lett volna elérhető, még akkor is, ha a sarokban lévő hiányzó kocka oldala eltér a b = a / 2-től.

Vegye figyelembe, hogy a második zárójel szorosan hasonlít az összeg négyzetének figyelemre méltó szorzatára, de a keresztnevet nem szorozza meg 2-vel. Az olvasó jobb oldalt kinyújtva ellenőrizheti, hogy a ³ - b ³ valóban megkapódik-e.

Példák

A kockáknak több különbsége van:

1 - m ⁶

a ⁶ b ³ - 8z ¹² és ⁶

(1/125).x ⁶ - 27. y ⁹

Vizsgáljuk meg mindegyiket. Az első példában az 1-et 1 = 1 ^3- ként írhatjuk, és az m ⁶ kifejezés így alakul: (m ²) ³. Mindkét kifejezés tökéletes kocka, tehát a különbség:

1 - m ⁶ = 1 ³ - (m ²) ³

A második példában a kifejezéseket újraírjuk:

a ⁶ b ³ = (a ² b) ³

8z ¹² y ⁶ = 2 ³ (z ⁴) ³ (y ²) ³ = (2z ⁴ y ²) ³

Ezeknek a kockáknak a különbsége a következő: (a ² b) ³ - (2z ⁴ y ²) ³.

Végül az (1/125) frakció (1/5 ³), x ⁶ = (x ²) ³, 27 = 3 ^3, és y ⁹ = (y ³) ³. Helyettesítve mindezt az eredeti kifejezésben, kapsz:

(1/125).x ⁶ - 27y ⁹ = ³ - (3y ³) ³

A kockák különbségének figyelembevétele

A kockák különbségének faktorozása sok algebrai műveletet leegyszerűsít. Ehhez csak használja a fenti képletet:

3. ábra: A kockák különbségének faktorizálása és figyelemre méltó hányados kifejezése. Forrás: F. Zapata.

A képlet alkalmazási eljárása három lépésből áll:

- Mindenekelőtt a különbség feltételeinek kockagyökét kapjuk.

- Ezután a képlet jobb oldalán megjelenő binomiális és trinomiális anyag készül.

- Végül a binomiális és a trinomiális anyagot cseréljük ki, hogy megkapjuk a végső tényezőt.

Bemutatjuk ezeknek a lépéseknek a használatát a fentiekben ismertetett kockakülönbség-példákkal, és így kapjuk meg annak tényleges egyenértékét.

1. példa

Az 1 - m ⁶ kifejezést a leírt lépéseket követve tényezővel kell végrehajtani. A kifejezés átírásával kezdjük: 1 - m ⁶ = 1 ³ - (m ²) ^3, hogy kinyerjük az egyes kifejezések kockagyökereit:

Ezután a binomiális és a trinomiális készülnek:

a = 1

b = m ²

Így:

a - b = 1 - m ²

(a ² + ab + b ²) = 1 ² + 1.m ² + (m ²) ² = 1 + m ² + m ⁴

Végül, ez esetben a képlet egy ³ - b ³ = (ab) (a ² + ab + b ²):

1 - m ⁶ = (1 - m ²) (1 + m ² + m ⁴)

2. példa

Tényezőkre bont:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b) ³ - (2z ⁴ y ²) ³

Mivel ezek a tökéletes kocka, a kocka gyökerek közvetlen: a ² b és 2z ⁴ és ², tehát az következik, hogy:

- Binomial: a ² b - 2z ⁴ és ²

- Háromság: (a ² b) ² + a ² b. 2z ⁴ y ² + (a ² b + 2z ⁴ y ²) ²

És most létrejön a kívánt faktorizáció:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b - 2z ⁴ y ²). =

= (a ² b - 2z ⁴ y ²).

Elvileg a faktoring kész, de gyakran meg kell egyszerűsíteni az egyes kifejezéseket. Ezután kidolgozzák a végén megjelenő figyelemre méltó terméket - egy összeg összegét -, majd hasonló kifejezésekkel egészítik ki. Emlékezzünk arra, hogy az összeg négyzete:

A jobb oldalon található figyelemre méltó terméket így fejlesztették ki:

(a ² b + 2z ⁴ és ²) ² = a ⁴ b ² + 4a ² b.z ⁴ és ² + 4z ⁸ és ⁴

A kockák különbségének faktorizálásánál kapott kiterjedés helyettesítése:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b - 2z ⁴ y ²). =

Végül, hasonló kifejezéseket csoportosítva és a numerikus együtthatókat faktorozva, amelyek mind egyenlőek, a következőt kapjuk:

(a ² b - 2z ⁴ y ²). = 2 (a ² b - 2z ⁴ y ²).

3. példa

A faktoring (1/125) x ⁶ - 27y ⁹ sokkal könnyebb, mint az előző eset. Először azonosítják a és b egyenértékét:

a = (1/5) x ²

b = 3y ³

Ezután közvetlenül helyettesítik őket a képletben:

(1/125).x ⁶ - 27y ⁹ =.

A feladat megoldódott

A kockák különbsége, amint már említettük, számos alkalmazást kínál Algebrában. Nézzük meg néhányat:

1. Feladat

Oldja meg a következő egyenleteket:

a) x ⁵ - 125 x ² = 0

b) 64 - 729 x ³ = 0

Megoldás

Először az egyenletet így számítják ki:

x ² (x ³ - 125) = 0

Mivel a 125 tökéletes kocka, a zárójelek kockák különbségeként vannak írva:

x ². (x ³ - 5 ³) = 0

Az első megoldás x = 0, de többet találhatunk, ha x ³ - 5 ³ = 0-t állítunk elő, akkor:

x ³ = 5 ³ → x = 5

B. Megoldás

Az egyenlet bal oldala 64 - 729 x ³ = 4 ³ - (9x) ³ formátumú. Így:

4 ³ - (9x) ³ = 0

Mivel a kitevő ugyanaz:

9x = 4 → x = 9/4

2. gyakorlat

A tényező a kifejezés:

(x + y) ³ - (x - y) ³

Megoldás

Ez a kifejezés kocka különbség, ha a faktoring formula figyelembe veszi, hogy:

a = x + y

b = x- y

Ezután először a binomiált állítják elő:

a - b = x + y - (x- y) = 2y

És most a trinomial:

a ² + ab + b ² = (x + y) ² + (x + y) (xy) + (xy) ²

Jelentős termékeket fejlesztenek ki:

Ezután ki kell cserélnie és csökkentenie a hasonló kifejezéseket:

a ² + ab + b ² = x ² + 2xy + y ² + x ² - y ² + x ² - 2xy + y ² = 3x ² + y ²

A faktorálás eredménye:

(x + y) ³ - (x - y) ³ = 2y. (3x ² + y ²)

Irodalom

1. Baldor, A. 1974. Algebra. Szerkesztői Kulturális Venezolana SA
2. CK-12 Alapítvány. A kockák összege és különbsége. Helyreállítva: ck12.org.
3. Khan Akadémia. A kockák különbségeinek tényezője. Helyreállítva: es.khanacademy.org.
4. A matematika a Fun Advanced. Két kocka különbsége. Helyreállítva: mathsisfun.com
5. UNAM. A kockák különbségének figyelembevétele. Helyreállítva: dcb.fi-c.unam.mx.