- Képlet
- Euklideszi távolság két dimenzióban
- Nem euklideszi felületek
- Euklideszi távolság n dimenzióban
- Hogyan lehet kiszámítani az euklideszi távolságot?
- Példa
- Irodalom
Az Euklideszi távolság egy pozitív szám, amely jelzi a távolságot azon két pont között, ahol az Euklidész geometriájának axiómái és tételei teljesülnek.
Az A és B pontok közötti távolság egy euklideszi térben az AB vektor hossza, amely az egyetlen ponton áthaladó vonalhoz tartozik.
1.ábra. A vonal által létrehozott egydimenziós euklideszi tér (OX). Több pont látható az említett térben, koordinátáikkal és távolságukkal. (Ricardo Pérez készítette).
Az a tér, amelyet az emberek érzékelnek, és amelyen mozogunk, egy háromdimenziós (3-D) tér, ahol teljesülnek az Euclid geometria axiómái és tételei. Ebben a térben kétdimenziós alsóterek (síkok) és egydimenziós alterek (vonalak) találhatók.
Az euklideszi terek lehetnek egydimenziós (1-D), két-dimenziós (2-D), háromdimenziós (3-D) vagy n-dimenziós (nD).
Az X egydimenziós térben lévő pontok az orientált vonalhoz (OX) tartoznak, az O és X közötti irány a pozitív. Ezen a vonalon a pontok megkereséséhez a derékszögű rendszert alkalmazzuk, amely egy sornak a sor minden pontjára való hozzárendelését foglalja magában.
Képlet
Az A és B pontok közötti, egy vonalon elhelyezkedő d (A, B) euklideszi távolságot úgy határozzuk meg, mint az X koordinátáikban mutatkozó különbségek négyzetének négyzetgyöke:
d (A, B) = √ ((XB - XA) ^ 2)
Ez a meghatározás garantálja, hogy: a két pont közötti távolság mindig pozitív. És hogy az A és B közötti távolság megegyezik a B és A közötti távolsággal.
Az 1. ábra egy egydimenziós euklideszi teret mutat, amelyet a vonal (OX) és a vonal több pontja alkot. Minden pontnak van egy koordinátája:
Az A pont koordinátája XA = 2,5, a B pont koordinátája XB = 4 és a C pont koordinátája XC = -2,5
d (A, B) = √ ((4 - 2,5) 2) = 1,5
d (B, A) = √ ((2,5 - 4) 2) = 1,5
d (A, C) = √ ((- 2,5 - 2,5) 2) = 5,0
Euklideszi távolság két dimenzióban
A kétdimenziós euklideszi tér egy sík. Egy euklideszi sík pontjai teljesítik az euklideszi geometria axiómáit, például:
- Egy vonal halad át két ponton.
- A sík három pontja háromszöget képez, amelynek belső szöge mindig 180 ° -kal növekszik.
- Egy derékszögű háromszögben a hipotenusz négyzete megegyezik a lábak négyzetének összegével.
Két dimenzióban egy pontnak X és Y koordinátái vannak.
Például egy P pont koordinátáival (XP, YP) és egy Q pont koordinátáival (XQ, YQ) rendelkezik.
A P és Q pont közötti euklideszi távolságot a következő képlettel kell meghatározni:
d (P, Q) = √ ((XQ - XP) ^ 2 + (YQ - YP) ^ 2)
Meg kell jegyezni, hogy ez a képlet megegyezik a Pythagora-tételrel, amint azt a 2. ábra mutatja.
2. ábra: A síkban lévő két P és Q pont közötti távolság teljesíti a Pitagorasi tételt. (Ricardo Pérez készítette).
Nem euklideszi felületek
Nem minden kétdimenziós tér felel meg az euklideszi geometriának. A gömb felülete kétdimenziós tér.
A háromszög gömbfelületen levő szögeinek összege nem haladja meg a 180º értéket, és ezzel a Pitagoraus-tétel nem teljesül, tehát egy gömbfelület nem teljesíti Euclid axiómáit.
Euklideszi távolság n dimenzióban
A koordináták fogalma kibővíthető nagyobb méretekre:
- A 2-D pontban a P koordinátákkal rendelkezik (XP, YP)
- A 3D-ben a Q pont koordinátáival rendelkezik (XQ, YQ, ZQ)
- A 4D-ben az R pont koordinátáival rendelkezik (XR, YR, ZR, WR)
- nD-ben a P pont koordinátáival rendelkezik (P1, P2, P3,….., Pn)
Az n-dimenziós euklideszi tér két P és Q pontja közötti távolságot a következő képlettel kell kiszámítani:
d (P, Q) = √ ((Q1 - P1) ^ 2 + (Q2 - P2) ^ 2 + …….. + (Qn - Pn) ^ 2)
Az Q pontok minden pontja egy n-dimenziós euklideszi térben, amely azonos távolságra van egy másik P rögzített ponttól (a középpont), egy n-dimenziós hiperszférát képez.
Hogyan lehet kiszámítani az euklideszi távolságot?
Az alábbiakban bemutatjuk, hogyan kell kiszámítani az euklideszi háromdimenziós térben található két pont közötti távolságot.
Tegyük fel, hogy az x, y, z derékszögű koordináták A pontja: A:(2, 3, 1) és a B koordináták B pontja:(-3, 2, 2).
Meg akarjuk határozni az ezen pontok közötti távolságot, amelyre az általános összefüggést használjuk:
d (A, B) = √ ((-3 - 2) 2 + (2 - 3) 2 + (2 - 1) 2) = √ ((-5) 2 + (-1) 2 + (1) 2)
d (A, B) = √ (25 + 1 + 1) = √ (27) = √ (9 * 3) = 3 √ (3) = 5 196
Példa
Két P és Q pont van. A x, y, z derékszögű koordináták P pontja P:(2, 3, 1) és Q koordináta Q pont ((-3, 2, 1).
Megkérjük, hogy keresse meg a két pontot összekötő szegmens M középpontjának koordinátáit.
Feltételezzük, hogy az ismeretlen M pont koordinátái vannak (X, Y, Z).
Mivel az M középpontja, igaznak kell lennie, hogy d (P, M) = d (Q, M), tehát d (P, M) ^ 2 = d (Q, M) ^ 2-nek is igaznak kell lennie:
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2 = (X - (-3)) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2
Mint ebben az esetben a harmadik kifejezés mindkét tagban egyenlő, az előző kifejezés egyszerűsödik:
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 = (X + 3) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2
Ezután két egyenlettel rendelkezünk X és Y ismeretlennel. Egy másik egyenletre van szükség a probléma megoldásához.
Az M pont a P és Q pontokon áthaladó vonalhoz tartozik, amelyet az alábbiak szerint tudunk kiszámítani:
Először a sor PQ vektort találjuk: PQ = <-3-2, 2-3, 1-1> = <-5, -1, 0>.
Majd PM = OP + a PQ, ahol az OP a P pont pozícióvektora és egy paraméter, amely a valós számokhoz tartozik.
A fenti egyenletet úgy nevezzük, mint a vonal vektor egyenlete, amely derékszögű koordinátákban a következőképpen alakul:
<X-2, Y-3, Z-1> = <2, 3, 1> + a <-5, -1, 0> = <2 - 5a, 3 - a, 0>
A megfelelő komponensek egyenlőségével:
X = 2 = 2-5 a; Y - 3 = 3 -a; Z - 1 = 0
Vagyis X = 4 - 5a, Y = 6 - a, végül Z = 1.
Helyettesítve van az X-et Y-re mutató másodlagos kifejezésben:
(4 - 5a - 2) ^ 2 + (6 - a - 3) ^ 2 = (4 - 5a + 3) ^ 2 + (6 - a - 2) ^ 2
Egyszerűsített:
(2 - 5a) ^ 2 + (3 -a) ^ 2 = (7 - 5a) ^ 2 + (4 - a) ^ 2
Most kibontakozik:
4 + 25 a ^ 2 - 20a + 9 + a ^ 2 - 6a = 49 + 25 a ^ 2 - 70a + 16 + a ^ 2 - 8a
Egyszerűsített, mindkét taggal megegyező feltételekkel törli:
4 - 20a + 9 - 6a = 49 - 70a + 16 - 8a
Az a paraméter törlődik:
52 a = 49 + 16 - 4 - 9 = 52, ami a = 1-t eredményez.
Vagyis X = 4 - 5, Y = 6 - 1, végül Z = 1.
Végül megkapjuk a szegmens M középpontjának derékszögű koordinátáit:
M: (-1, 5, 1).
Irodalom
- Lehmann C. (1972) Analytical Geometry. UTEHA.
- Superprof. Két pont közötti távolság. Helyreállítva: superprof.es
- UNAM. Az affin sublineáris elosztók közötti távolság. Helyreállítva: prometeo.matem.unam.mx/
- wikipedia. Euklideszi távolság. Helyreállítva: es.wikipedia.com
- wikipedia. Euklideszi tér. Helyreállítva: es.wikipedia.com