DISZKRÉT VALÓSZÍNŰSÉG-ELOSZLÁSOK: JELLEMZŐK, GYAKORLATOK - MATEMATIKA - 2026

A diszkrét valószínűség-eloszlások egy olyan funkció, amely az X (S) = {x1, x2,…, xi,…} minden elemére hozzárendelésre kerül, ahol X egy adott diszkrét véletlen változó és S a mintaterület, annak valószínűsége, hogy az esemény bekövetkezik. Ezt az X (S) f funkciót, amely f (xi) = P (X = xi)ként definiált, néha valószínűségi tömegfüggvénynek hívják.

Ezt a valószínűségi tömeget általában táblázat formájában ábrázoljuk. Mivel X egy diszkrét véletlen változó, X (S) -nél véges események száma vagy megszámolható végtelenség van. A leggyakoribb diszkrét valószínűség-eloszlások között van az egyenletes eloszlás, a binomiális eloszlás és a Poisson-eloszlás.

jellemzők

A valószínűség-eloszlási függvénynek meg kell felelnie a következő feltételeknek:

Továbbá, ha X csak véges számú értéket vesz fel (például x1, x2,…, xn), akkor p (xi) = 0, ha i> ny, tehát a b feltétel végtelen sorozata válik véges sorozat.

Ez a funkció a következő tulajdonságokat is teljesíti:

Legyen B az X véletlen változóval társított esemény. Ez azt jelenti, hogy B X (S) -ben található. Pontosabban, tegyük fel, hogy B = {xi1, xi2,…}. Így:

Más szavakkal, egy B esemény valószínűsége megegyezik a B-hez kapcsolódó egyes eredmények valószínűségének összegével.

Ebből azt a következtetést vonhatjuk le, hogy ha a <b, akkor az események (X ≤ a) és (a <X ≤ b) kölcsönösen kizárják egymást, és ezen felül, az egyesülésük az esemény (X ≤ b), tehát:

típusai

Egységes eloszlás n pontonként

Azt mondják, hogy egy X véletlen változó egy eloszlást követi, azzal jellemezve, hogy n ponton egyenletes, ha minden értékhez azonos valószínűség tartozik. Valószínűségi tömegfüggvénye:

Tegyük fel, hogy van egy kísérlet, amelynek két lehetséges kimenetele van: ez lehet egy érme dobása, amelynek lehetséges kimenetele fej vagy farok, vagy olyan egész szám megválasztása, amelynek eredménye páros vagy páratlan szám lehet; az ilyen típusú kísérletet Bernoulli-tesztnek nevezzük.

Általában a két lehetséges eredményt sikernek és kudarcnak nevezzük, ahol p a siker valószínűsége és 1-p a kudarc valószínűsége. Az n Bernoulli tesztekben meghatározzuk az x sikerek valószínűségét, amelyek függetlenek egymástól, a következő eloszlással.

Binomiális eloszlás

Ez a függvény képviseli az x független Bernoulli-tesztben az x siker elérésének valószínűségét, amelynek sikerének valószínűsége p. Valószínűségi tömegfüggvénye:

Az alábbi grafikon a binomiális eloszlás paramétereinek különböző értékeinek valószínűségi tömegfüggését mutatja be.

A következő eloszlás a nevét a francia matematikusnak, Simeon Poissonnak (1781-1840) köszönheti, aki a binomiális eloszlás határaként szerezte meg.

Poisson eloszlás

Egy X véletlen változóról λ paraméter Poisson-eloszlása ​​van, ha a következő valószínűséggel veszi fel a 0,1,2,3,… pozitív egész értékeket:

Ebben a kifejezésben λ az esemény számának az átlagos száma az egyes időegységekben, és x az esemény bekövetkezésének száma.

Valószínűségi tömegfüggvénye:

Itt egy grafikon, amely a valószínűségi tömegfüggvényt képviseli a Poisson-eloszlás paramétereinek különböző értékeihez.

Vegye figyelembe, hogy mindaddig, amíg alacsony a sikerek száma és a binomiális eloszláson végzett tesztek száma magas, ezeket a megoszlásokat közelíthetjük, mivel a Poisson-eloszlás a binomiális eloszlás határa.

A két eloszlás közötti fő különbség az, hogy míg a binomiális érték két paramétertől függ, nevezetesen n-től és p-től, a Poisson csak λ-től függ, amelyet néha eloszlás intenzitásának hívnak.

Eddig csak azokról az esetekről beszéltünk valószínűség-eloszlásokról, amikor a különféle kísérletek függetlenek egymástól; vagyis amikor az egyik eredményét nem befolyásolja valami más.

Amikor nem független kísérletek történnek, a hipergeometrikus eloszlás nagyon hasznos.

Hipergeometrikus eloszlás

Legyen N a véges halmaz objektumainak teljes száma, amelyekből k valamilyen módon azonosíthatjuk, így K részhalmazt képezve, amelynek komplementerét a fennmaradó Nk elemek alkotják.

Ha véletlenszerűen választunk n objektumot, akkor az X véletlen változónak, amely a K-hoz tartozó objektumok számát jelöli az említett választásban, N, n és k paraméterek hipergeometrikus eloszlása ​​van. Valószínűségi tömegfüggvénye:

Az alábbi grafikon a hipergeometriai eloszlás paramétereinek különböző értékeinek valószínűségi tömegfüggvényét mutatja be.

Megoldott gyakorlatok

Első gyakorlat

Tegyük fel, hogy annak a valószínűsége, hogy egy rádiócső (egy bizonyos típusú berendezésbe) 500 óránál tovább működik, 0,2. Ha 20 csövet tesztelünk, akkor milyen valószínűséggel áll rendelkezésre pontosan k ezek több mint 500 órán keresztül, k = 0, 1,2,…, 20?

Megoldás

Ha X az 500 óránál hosszabb ideig működő csövek száma, akkor feltételezzük, hogy X binomiális eloszlással rendelkezik. Így

És aztán:

K≥11 esetén a valószínűség kevesebb, mint 0,001

Így láthatjuk, hogy növekszik annak a valószínűsége, hogy k ezen munkája több, mint 500 órán át működik, amíg el nem éri a maximális értékét (k = 4-rel), majd csökkenni kezd.

Második gyakorlat

Egy érmét hatszor dobnak el. Amikor az eredmény drága, azt mondjuk, hogy sikerrel jár. Mi a valószínűsége annak, hogy két fej pontosan feljön?

Megoldás

Ebben az esetben n = 6, és mind a siker, mind a kudarc valószínűsége p = q = 1/2

Ezért annak a valószínűsége, hogy két feje van megadva (vagyis k = 2)

Harmadik gyakorlat

Mennyire valószínű, hogy legalább négy fejet talál?

Megoldás

Ebben az esetben k = 4, 5 vagy 6

Harmadik gyakorlat

Tegyük fel, hogy a gyárban gyártott cikkek 2% -a hibás. Keresse meg annak P valószínűségét, hogy a 100 elemből álló mintában három hibás elem van.

Megoldás

Ebben az esetben a binomiális eloszlást n = 100 és p = 0,02-re alkalmazhatjuk, amelynek eredményeként:

Mivel azonban p kicsi, a Poisson közelítést használjuk λ = np = 2 értékkel. Így,

Irodalom

1. Kai Lai Chung. Elemi valószínűségi elmélet sztochasztikus folyamatokkal. Springer-Verlag New York Inc.
2. Kenneth.H. Rosen: Diszkrét matematika és alkalmazásai. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Valószínűség és statisztikai alkalmazások. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 A diszkrét matematika megoldott problémái. McGraw-Hill.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. Elméleti és valószínűségi problémák. McGraw-Hill.