SZINTETIKUS MEGOSZTÁS: MÓDSZER ÉS MEGOLDOTT GYAKORLATOK - MATEMATIKA - 2026

A szintetikus elosztás a P (x) polinomnak a d (x) = x - c alakú formák bármelyikének egyszerű elosztására szolgáló módszer. Például a P (x) = (x ⁵ + 3x ⁴ -7x ³ + 2x ² -8x + 1) polinom a két legegyszerűbb polinom (x + 1) és (x ⁴ + 2x ³) szorzásával reprezentálható.).

Ez egy nagyon hasznos eszköz, mivel amellett, hogy megengedi a polinomok felosztását, lehetővé teszi a P (x) polinom becslését bármilyen c számnál, amely viszont pontosan megmondja, hogy az említett szám a polinom nulla-e vagy sem.

A megosztási algoritmusnak köszönhetően tudjuk, hogy ha két nem állandó polinomunk van P (x) és d (x), akkor vannak egyedi q (x) és r (x) polinomok, tehát igaz, hogy P (x) = q (x) d (x) + r (x), ahol r (x) nulla vagy kevesebb, mint q (x). Ezeket a polinómokat hányadosnak, illetve maradéknak vagy maradéknak nevezzük.

Azokban az esetekben, amikor a d (x) polinom formája x- c, a szintetikus osztás rövid lehetőséget ad arra, hogy meghatározzuk, kik q (x) és r (x).

Szintetikus osztási módszer

Legyen P (x) = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 +… + a ₁ x + a ₀ az a polinom, amelyet meg akarunk osztani, és d (x) = xc az osztó. A szintetikus megosztás módszerével történő felosztáshoz az alábbiak szerint járunk el:

1- Az első sorba írjuk a P (x) együtthatóit. Ha az X teljesítménye nem jelenik meg, akkor nulla értéket adunk az együtthatójának.

2- A második sorban, _n- től balra, c-t helyezünk el, és az alábbi ábra szerint osztási vonalakat rajzolunk:

3- Csökkentjük a vezető együtthatót a harmadik sorra.

Ebben a kifejezésben b _n-1 = a _n

4- Megszorozzuk a c-t a vezető b _n-1 együtthatóval, és az eredményt a második sorba írjuk, de egy oszlopot jobbra.

5- Felvesszük azt az oszlopot, ahova írjuk az előző eredményt, és az eredményt az összeg alá helyezzük; vagyis ugyanabban az oszlopban a harmadik sor.

A összege, az eredmény az, egy _n-1 + c * b _n-1, amelyre a kényelem hívás b _n-2

6- Szorozzuk meg az c előző eredménnyel, és az eredményt jobbra írjuk a második sorba.

7- Ismételjük meg az 5. és a 6. lépést, amíg el nem éri az együtthatót _0-nál.

8- megírjuk a választ; azaz a hányados és a fennmaradó rész. Mivel az n fokú polinomot elosztjuk az 1. fokozatú polinommal, úgy számolunk, hogy az hányados n-1 fokú.

A hányados polinom együtthatói a harmadik sorban lévő számok lesznek, kivéve az utolsót, amely a maradék polinom vagy a megoszlás fennmaradó része.

Megoldott gyakorlatok

- 1. példa

A következő osztást hajtsa végre a szintetikus megosztás módszerével:

(x ⁵ + 3x ⁴ -7x ³ + 2x ² -8x + 1): (x + 1).

Megoldás

Először az alábbiak szerint írjuk meg az osztalék együtthatóit:

Aztán a bal oldalra, a második sorba c írjuk, az elválasztó vonalakkal együtt. Ebben a példában c = -1.

Csökkentjük a vezető együtthatót (ebben az esetben b _n-1 = 1), és megszorozzuk -1-rel:

Az eredményt jobbra írjuk a második sorba, az alábbiak szerint:

A számokat hozzáadjuk a második oszlophoz:

Szorozzuk meg a 2-t -1-rel, és az eredményt írjuk a harmadik oszlop második sorába:

A harmadik oszlopba felvesszük:

Ugyanezt folytatjuk, amíg el nem éri az utolsó oszlopot:

Így van, hogy az utoljára kapott szám a megosztás fennmaradó része, a fennmaradó számok pedig a hányados polinom együtthatók. Ezt a következőképpen írják:

Ha ellenőrizni akarjuk, hogy az eredmény helyes-e, akkor elegendő ellenőrizni, hogy a következő egyenlet igaz:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

Tehát ellenőrizhetjük, hogy a kapott eredmény helyes-e.

- 2. példa

Végezzük el a polinomok következő osztását szintetikus osztási módszerrel

(7x ³ -x + 2): (x + 2)

Megoldás

Ebben az esetben az x ² kifejezés nem jelenik meg, tehát együtthatóként 0-t fogunk írni. Így a polinom lenne 7x ³ + 0x ² -x + 2.

Az együtthatókat egymás után írjuk, ez:

A C = -2 értékét a második sor bal oldalára írjuk, és meghúzzuk az osztási vonalakat.

Lecsökkentjük a b _n-1 = 7 vezetõ együtthatót és szorzzuk -2-vel, az eredményt a második sorba jobbra írva.

Hozzáadjuk és folytatjuk a korábban kifejtett módon, amíg el nem éri az utolsó kifejezést:

Ebben az esetben, a fennmaradó R (x) = - 52, és a hányados kapott q (x) = 7x ² -14x + 27.

- 3. példa

A szintetikus osztás másik módja a következő: Tegyük fel, hogy n (fokozatú) polinomunk van P (x) -val, és x = c értéknél ki akarjuk tudni, mi az érték.

Az osztási algoritmus segítségével a P (x) polinomot a következő módon írhatjuk:

Ebben a kifejezésben q (x) és r (x) hányados, míg a fennmaradó rész. Ha d (x) = x- c, akkor, ha a polinomban c-nél értékeljük, akkor a következőt kapjuk:

Ezért csak az ar (x) megtalálása marad, és ezt a szintetikus megosztásnak köszönhetően meg tudjuk csinálni.

Például a P (x) = x ⁷ -9x ⁶ + 19x ⁵ + 12x ⁴ -3x ³ + 19x ² -37x-37 polinommal rendelkezünk, és x = 5-ös értékelésével szeretnénk tudni, mi az értéke. Ehhez végrehajtjuk a osztás P (x) és d (x) = x -5 között szintetikus megosztási módszerrel:

A műveletek elvégzése után tudjuk, hogy a következőképpen írhatjuk a P (x) -et:

P (x) = (x ⁶ -4x ⁵ –x ⁴ + 7x ³ + 32x ² + 179x + 858) * (x-5) + 4253

Ezért az értékelés során a következőket kell tennünk:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Mint láthatjuk, szintetikus osztás segítségével meg lehet találni a polinom értékét úgy, hogy c-nál kiértékeljük, nem pedig egyszerűen c helyettesíti x-rel.

Ha megpróbáljuk a P (5) -ot hagyományos módon értékelni, akkor kénytelenek leszünk elvégezni néhány olyan számítást, amelyek gyakran unalmassá válnak.

- 4. példa

A polinomok osztási algoritmusa igaz a komplex együtthatókkal rendelkező polinomokra is, és következésképpen azt látjuk, hogy a szintetikus osztási módszer az ilyen polinomokra is működik. Az alábbiakban egy példát fogunk látni.

A szintetikus megosztási módszert használjuk annak kimutatására, hogy z = 1+ 2i a P (x) = x ³ + (1 + i) x ² - (1 + 2i) x + (15 + 5i) polinom nulla; azaz a P (x) osztás d (x) = x - z-rel fennmaradó része egyenlő nullával.

Az előzőek szerint járunk el: az első sorba P (x) együtthatókat írunk, majd a másodikba z-t írunk, és meghúzzuk az osztási vonalakat.

A felosztást a korábbiak szerint hajtjuk végre; ez:

Megfigyelhetjük, hogy a maradék nulla; ezért arra a következtetésre jutunk, hogy z = 1+ 2i nulla P (x) -nél.

Irodalom

1. Baldor Aurelio. Algebra Grupo Editorial Patria.
2. Demana, Waits, Foley és Kennedy. Precalculus: Grafikus, numerikus, algebrai 7. kiadás, Pearson oktatás.
3. Flemming W & Varserg D. Algebra és trigonometria analitikai geometriával. Prentice terem
4. Michael Sullivan. Precalculus 4. kiadás Pearson oktatás.
5. Piros. O. Armando Algebra 1, 6. kiadás Az Athenaeum.