FUNKCIÓ DOMAINJE ÉS KONTRADOMAINJE (PÉLDÁKKAL) - MATEMATIKA - 2026

A funkció tartományának és ellenterületének fogalmait általában az egyetemi diplomák kezdetén számított számítási kurzusokon tanítják.

A domain és az ellentartomány meghatározása előtt meg kell tudnia, mi a funkció. Az f függvény a két halmaz elemei közötti megfelelés törvénye (szabálya).

A halmazt, amelyből az elemeket választják, a függvény tartományának nevezzük, és azt a halmazt, amelyre ezeket az elemeket f segítségével továbbítják, ellentartománynak nevezzük.

A matematikában az A és B ellentartományú függvényt f: A → B kifejezés jelöli.

Az előző kifejezés azt mondja, hogy az A halmaz elemeit elküldjük a B halmaznak az f levelezési törvény alapján.

Egy függvény az A halmaz minden elemét a B halmaz egyetlen eleméhez rendeli.

Tartomány és szerzői domain

Adva egy f (x) valós változó valós függvényét, akkor a függvény tartománya mindegyik valós szám lesz, úgy hogy f-ben értékelve az eredmény valós szám lesz.

Általában a függvény ellentartománya az R valós számok halmaza. Az ellentartományt az f függvény érkezési halmazának vagy kodójának is nevezik.

A függvény domainje mindig R?

Nem. Mindaddig, amíg a függvényt nem vizsgálják részletesen, az R valós számok halmazát általában ellenterületnek veszik.

Miután a funkciót megvizsgálták, egy megfelelőbb halmazt lehet ellentartományként venni, amely R részhalmaza lesz.

Az előző bekezdésben említett megfelelő készlet megegyezik a funkció képével.

Az f függvény képének vagy tartományának meghatározása az összes értékre vonatkozik, amelyek az f tartományban lévő tartomány elemének értékeléséből származnak.

Példák

A következő példák bemutatják, hogyan lehet kiszámítani egy függvény tartományát és annak képét.

1. példa

Legyen f valós függvény, amelyet f (x) = 2 határoz meg.

F tartománya mindegyik valós szám, oly módon, hogy ha f értéken értékelik, akkor az eredmény valós szám. A kontradomain egy pillanatban megegyezik R-vel.

Mivel az adott függvény állandó (mindig 2-gyel egyenlő), nem számít, melyik valós számot választották, mivel f-ben történő értékeléskor az eredmény mindig 2-gyel egyenlő, ami egy valós szám.

Ezért az adott függvény tartománya minden valós szám; vagyis A = R

Most, hogy ismert, hogy a függvény eredménye mindig 2-gyel egyenlő, úgy gondoljuk, hogy a függvény képe csak a 2-es szám, ezért a függvény ellentartományát úgy definiálhatjuk, hogy B = Img (f) = {kettő}.

Ezért f: R → {2}.

2. példa

Legyen g valós függvény, amelyet g (x) = √x határoz meg.

Mindaddig, amíg g képe nem ismeretes, g ellenterülete B = R.

Ezzel a funkcióval figyelembe kell venni, hogy a négyzetgyökeket csak a negatív számokra határozzák meg; vagyis a nullával nagyobb vagy azzal egyenlő számok esetén. Például, √-1 nem valós szám.

Ezért a g függvény tartományának mindegyiknek nullával nagyobbnak vagy egyenlőnek kell lennie; azaz x ≥ 0.

Ezért A = [0, + ∞).

A tartomány kiszámításához meg kell jegyezni, hogy a g (x) bármely eredménye, mivel négyzetgyök, mindig nagyobb vagy egyenlő nullával. Vagyis B = [0, + ∞).

Összegzésképpen: g: [0, + ∞) → [0, + ∞).

3. példa

Ha h (x) = 1 / (x-1) függvénnyel rendelkezünk, akkor ezt a függvényt x = 1-re nem definiáljuk, mivel a nevező nullát kap, és a nullával történő osztás nincs meghatározva.

Másrészt minden más valós érték esetén az eredmény valós szám lesz. Ezért a domainnek egyetlen valósága van, kivéve egy; vagyis A = R {1}.

Ugyanígy megfigyelhető, hogy az egyetlen érték, amelyet eredményként nem lehet megszerezni, 0, mivel ahhoz, hogy a frakció nulla legyen, a számlálónak nullának kell lennie.

Ezért a függvény képe a nulla kivételével az összes valóság halmaza, tehát B = R {0} kontradoménnek tekintjük.

Összegzésképpen: h: R {1} → R {0}.

Megfigyelések

A tartománynak és a képnek nem kell azonosnak lennie, amint azt az 1. és 3. példában bemutatjuk.

Ha egy függvényt ábrázolunk a derékszögű síkon, akkor a domént az X tengely képviseli, az ellentartományt vagy a tartományt az Y tengely képviseli.

Irodalom

1. Fleming, W. és Varberg, DE (1989). Precalculus matematika. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W. és Varberg, DE (1989). Precalculus matematika: problémamegoldó megközelítés (2, illusztrált kiadás). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W. és Varberg, D. (1991). Algebra és trigonometria analitikai geometriával. Pearson oktatás.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8. kiadás). Cengage tanulás.
5. Leal, JM és Viloria, NG (2005). Sík analitikus geometria. Mérida - Venezuela: Szerkesztői Venezolana CA
6. Pérez, CD (2006). Precalculation. Pearson oktatás.
7. Purcell, EJ, Varberg, D. és Rigdon, SE (2007). Calculus (kilencedik kiadás). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Diferenciális számítás a korai transzcendens funkciókkal a tudomány és a technika számára (Second Edition, szerk.). Átfogó.
9. Scott, Kalifornia (2009). Kartézi sík geometria, rész: Analytical Conics (1907) (reprint ed.). Villámforrás.
10. Sullivan, M. (1997). Precalculation. Pearson oktatás.