ELLIPSOID: JELLEMZŐK ÉS PÉLDÁK - ARTE - 2026

Az ellipszoid egy olyan térbeli felület, amely a kvadrikus felületek csoportjába tartozik és amelynek általános egyenlete a következő:

Ez egy ellipszis háromdimenziós ekvivalense, azzal jellemezve, hogy ellipszis és kör alakú nyomok vannak bizonyos különleges esetekben. A nyomok azok a görbék, amelyeket az ellipszoid síkkal való metszésével kapunk.

Ábra hossz. Forrás: Wikimedia Commons. Ag2gaeh / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

Az ellipszoidon kívül további öt kvadrikus van: egy- és kétlapos hiperboloid, kétféle paraboloid (hiperbolikus és ellipszis alakú) és az elliptikus kúp. A nyomai szintén kúposak.

Az ellipszoid a standard egyenlettel is kifejezhető derékszögű koordinátákban. Az ellipszis középpontjában az origó (0,0,0) van, és ezzel kifejezve hasonló az ellipszishez, de egy további kifejezéssel:

Az a, b és c értéke 0-nál nagyobb valós számok és az ellipszoid három féltengelyét képviseli.

Ellipszoid jellemzők

- Normál egyenlet

A (h, k, m) pontban középpontban lévő ellipszis derékszögű koordinátáival megadott standard egyenlet a következő:

- Az ellipszoid paraméteres egyenletei

Gömb koordinátákban az ellipszoid az alábbiak szerint írható le:

x = bűn θ. cos φ

y = b sin θ. sen φ

z = c cos θ

Az ellipszoid féltengelyei a, b és c maradnak, míg a paraméterek a következő ábra θ és φ szögei:

2. ábra. Gömb alakú koordinátarendszer. Az ellipszoid paraméterezhető a megjelenített teta és phi szögek felhasználásával. Forrás: Wikimedia Commons. Andeggs / Nyilvános.

- Az ellipszoid nyomai

A térbeli felület általános egyenlete F (x, y, z) = 0, és a felület nyomai a görbék:

- x = c; F (c, y, z) = 0

- y = c; F (x, c, z) = 0

- z = c; F (x, y, c) = 0

Ellipszoid esetén az ilyen görbék ellipszisek és néha körök.

- Hangerő

Az ellipszoid V térfogatát a három féltengely szorzatának szorzata (4/3) adja meg:

V = (4/3) π. ABC

Az ellipszoid különleges esetei

-A ellipszoid gömbré válik, ha az összes féltengely azonos méretű: a = b = c ≠ 0. Ennek van értelme, mivel az ellipszoid olyan, mint egy gömb, amelyet az egyes oldalak mentén eltérően húztak meg tengely.

-A gömb olyan ellipszoid, amelyben a féltengelyek közül kettő azonos és a harmadik eltérő, például lehet a = b ≠ c.

A gömböt forradalom ellipszoidjának is nevezik, mivel egy tengely körül forgó ellipszisekkel állíthatók elő.

Ha a forgástengely egybeesik a főtengellyel, akkor a gömb előrehalad, de ha egybeesik a melléktengellyel, akkor elhajlik:

3. ábra: Csökkentse a bal gömböt, a jobb oldalon pedig gördítsen be. Forrás: Wikimedia Commons.

A gömb simításának mértékét (ellipsziség) a két féltengely közötti hossz-különbség adja meg, frakcionált formában kifejezve, vagyis az egység simítás mértéke az alábbiak szerint adható meg:

f = (a - b) / a

Ebben az egyenletben az a jelöli a félig fő tengelyt és b a félig kisebb tengelyt, ne feledje, hogy a harmadik tengely megegyezik ezek egyikével a gömb esetében. F értéke 0 és 1 között lehet, és egy gömb esetében 0-nál nagyobbnak kell lennie (ha 0-val egyenlő lenne, akkor egyszerűen gömb lenne).

A referencia ellipszoid

A bolygók és általában a csillagok általában nem tökéletes gömbök, mert a tengelyük körül történő forgásmozgatás a testet a pólusoknál ellapítja, és az Egyenlítőn meghúzza.

Éppen ezért a Föld olyan, mint egy elhalványult gömb, bár nem annyira eltúlzott, mint az előző ábrán, és a maga részéről a Szaturnus gáz óriás a legalacsonyabb a Naprendszer bolygóiról.

Tehát a bolygók reprezentatívabb módja az, ha feltételezzük, hogy olyanok, mint a gömb vagy ellipszoid a forradalomban, amelynek félig fő tengelye az egyenlítői sugár, a félig kisebb tengely a poláris sugár.

A földön elvégzett gondos mérések lehetővé tették a Föld referencia-ellipszoidjának felépítését, amely a legpontosabb módszer a matematikai működéshez.

A csillagok forgási mozgásokkal is rendelkeznek, amelyek többé-kevésbé lapos formát adnak nekik. A gyors csillag Achernar, az éjszakai égbolt nyolcadik legfényesebb csillaga a déli Eridanus csillagképben, a legtöbbhez képest rendkívül elliptikus. 144 fényév van tőlünk.

A másik végén néhány évvel ezelőtt a tudósok megtalálták a valaha talált gömbölyűbb tárgyat: a Kepler 11145123 csillagot, 5000 fényév távolságra, a Nap kétszerese, és a féltengelyek közötti különbség mindössze 3 km. A várakozásoknak megfelelően lassabban forog.

Ami a Földet illeti, akkor sem tökéletes gömböcske, egyenetlen felülete és a gravitáció lokális eltérései miatt. Ezért egynél több referencia-gömb létezik, és mindegyik helyen kiválasztják a helyi földrajzhoz legmegfelelőbbet.

A műholdak segítsége felbecsülhetetlen a Föld alakjának egyre pontosabb modellek készítésében, köszönhetően ezeknek például ismert, hogy a déli pólus közelebb van az Egyenlítőhöz, mint az északi pólus.

4. ábra. Haumea, a transz-Neptuniai törpe bolygó ellipszoid alakú. Forrás: Wikimedia Commons.

Numerikus példa

A Föld forgása következtében egy centrifugális erő jön létre, amely gömb helyett hosszúkás ellipszoid alakját adja meg. A Föld ekvatoriális sugara 3963 mérföld, a sarki sugár pedig 3942 mérföld.

Keresse meg az egyenlítői nyomat egyenletét, ennek az ellipszoidnak a egyenletét és a síkodás mértékét. Hasonlítsa össze a Saturn ellipsziségével az alábbiakban bemutatott adatokkal:

-Sturn Egyenlítői sugár: 60 268 km

-A Szaturnusz poláris sugara: 54,364 km

Megoldás

Szükség van egy koordinátarendszerre, amelyet feltételezünk, hogy az eredetre (a Föld központjára) összpontosítunk. Feltételezzük a függőleges z tengelyt, és az egyenlítőnek megfelelő nyomvonal az xy síkban fekszik, egyenértékű a z = 0 síkkal.

Az egyenlítői síkban az a és b féltengelyek azonosak, tehát a = b = 3963 mérföld, míg c = 3942 mérföld. Ez egy különleges eset: a gömb, amely a fent említett (0,0,0) pont középpontjában van.

Az egyenlítői vonal egy R = 3963 mérföld sugarú kör, amelynek a középpontja az eredet. Ezt úgy számítják ki, hogy z = 0 értéket ad a standard egyenletben:

És a földi ellipszoid standard egyenlete:

f _Föld = (a - b) / a = (3963-3942) mérföld / 3963 mérföld = 0,0053

f _Saturn = (60268-54363) km / 60268 km = 0,0980

Vegye figyelembe, hogy az f ellipsziség dimenzió nélküli mennyiség.

Irodalom

1. ArcGIS for Desktop. Gömbök és gömbök. Helyreállítva: desktop.arcgis.com.
2. BBC World. Az univerzumban valaha felfedezett leggömbös tárgy rejtélye. Helyreállítva: bbc.com.
3. Larson, R. Calculus és analitikus geometria. Hatodik kiadás. 2. kötet. McGraw Hill.
4. Wikipedia. Ellipszoid. Helyreállítva: en.wikipedia.org.
5. Wikipedia. Szteroid. Helyreállítva: en.wikipedia.org.