ENEAGON: TULAJDONSÁGOK, HOGYAN LEHET ENEAGONOT KÉSZÍTENI, PÉLDÁK - MATEMATIKA

Az enegon egy sokszög, kilenc oldallal és kilenc csúccsal, amelyek lehetnek vagy nem szabályosak. Az eneágono név a görög eredetű, és görög szavakból áll, amelyek előa (kilenc) és gonon (szög).

A kilenc oldalas sokszög alternatív neve a nonagon, amely a latin nonus (kilenc) és a gonon (csúcs) szóból származik. Másrészt, ha az orr oldalai vagy szögei egyenlőtlenek egymással, akkor szabálytalan ferde van. Ha viszont mindkét kilenc oldal és kilenc szög azonos, akkor ez egy szabályos hatszög.

1. ábra. Rendszeres és szabálytalan hatszög. (Saját kidolgozás)

Az axon tulajdonságai

N oldalú sokszög esetén belső szögeinek összege:

(n - 2) * 180º

Az egonban n = 9 lenne, tehát belső szögeinek összege:

Sa = (9 - 2) * 180º = 7 * 180º = 1260º

Bármely sokszögben az átlók száma:

D = n (n - 3) / 2, és az enegon esetében, mivel n = 9, akkor D = 27.

Normál enegon

A szabályos eneagonban vagy nonagonban kilenc (9) egyenlő belső szög van, tehát mindegyik szög a belső szögek teljes összegének kilencedikét méri.

Az átlag belső szögeinek mértéke 1260º / 9 = 140º.

2. ábra: Szabályos átmérő apotémája, sugara, oldala, szöge és csúcsa. (Saját kidolgozás)

A d oldallal rendelkező szabályos egon területének képletének kiszámításához célszerű néhány kiegészítő konstrukciót készíteni, például a 2. ábrán láthatókat.

Az O középpontot két szomszédos oldal felezőinek nyomon követésével lehet megtalálni. Az O középpont egyenlő távolságra van a csúcsoktól.

Az r hosszúság sugara az O közepétől az egész csúcsáig terjedő szakasz. A 2. ábra az r hosszúság OD és OE sugarait mutatja.

Az apothem az a szegmens, amely az egon egyik oldalának központjától a középpontjáig megy. Például a OJ olyan apotémája, amelynek hossza a.

Az egyik oldalnézet és az apotémát ismert enegon területe

Az ODE háromszöget vesszük figyelembe a 2. ábrán. Ennek a háromszögnek a területe az alapja és a magasság szorzata, a 2-vel osztva:

ODE terület = (DE * HL) / 2 = (d * a) / 2

Mivel az egonban 9 egyenlő területű háromszög van, arra a következtetésre juthatunk, hogy az azonos terület területe:

Enegon terület = (9/2) (d * a)

Az oldal ismert oldalának területe

Ha csak az enegon oldalának d hossza ismeretes, akkor az előző szakaszban szereplő képlet alkalmazásához meg kell találni az apothem hosszát.

A jobb oldali háromszöget tekintjük OJE J-ben (lásd a 2. ábrát). Ha az érintő trigonometrikus arányt alkalmazzuk, akkor az alábbiakat kapjuk:

tan (∡ OEJ) = OJ / EJ.

Az ∡OEJ = 140º / 2 = 70º szög, mivel az EO az egon belső szögének felezője.

Másrészről, a OJ az a.

Ezután, mivel J az ED középpontja, ebből következik, hogy EJ = d / 2.

A korábbi értékek helyettesítése az érintő relációban van:

barnás (70 °) = a / (d / 2).

Most tisztázzuk az apothem hosszát:

a = (d / 2) barnás (70 °).

Az előző eredményt helyettesíti a terület képlet a következőképpen:

Az éngon területe = (9/2) (d * a) = (9/2) (d * (d / 2) barnás (70º))

Végül megtaláljuk azt a képletet, amely lehetővé teszi a rendes egon területének meghatározását, ha csak az oldalának d hossza ismert:

Az átló területe = (9/4) d ² tan (70º) = 6,1818 d ²

A szabályos enegon kerülete ismerte az oldalát

A sokszög kerülete az oldalának összege. Az enegon esetében, mivel mindkét oldal d hosszúságot mér, a kerülete kerületének kilencszeres összege lesz, azaz:

Kerület = 9 d

Az Enegon kerülete ismerte a sugárát

Figyelembe véve a JE derékszögű háromszöget J-ben (lásd a 2. ábrát), a trigonometrikus koszinusarányt alkalmazzuk:

cos (∡ OEJ) = EJ / OE = (d / 2) / r

Hol szerezhető be:

d = 2r cos (70º)

Ezt az eredményt helyettesítve kapjuk meg a kerület képletét az egon sugárának függvényében:

Kerület = 9 d = 18 r cos (70º) = 6,1564 r

Hogyan készítsünk egy szabályos egonont?

1- Az egy vonalzóval és egy iránytűvel ellátott szabályos átmérő előállításához a kerülettől kezdve kezdődjön, amely körülveszi az átmérőt. (lásd a 3. ábrát)

2- Két merőleges vonal húzódik a kerület O középpontján. Ezután az egyik vonal A és B metszéspontját a kerület jelöli.

3- Az iránytűvel, a B ütközőpontra és a BO sugárral megegyező nyílásra összpontosítva, egy ív húzódik, amely elfogja az eredeti kerületet egy C pontban.

3. ábra: A szabályos egon szerkesztésének lépései. (Saját kidolgozás)

4- Az előző lépést megismételjük, de az A és AO sugár közepén egy ívet húzunk, amely elkapja az c pontot az E pontban.

5- Ha az AC nyitva van és az A közepén van, kerületi ív készül. Hasonlóan a BE nyitással és a B középpontjával egy másik ív készül. E két ív metszéspontját G pont jelöli.

6- G-re központosítva és a GA-t kinyitva egy ívet húzunk, amely elkapja a másodlagos tengelyt (ebben az esetben vízszintes) a H pontban. A másodlagos tengely kereszteződését az eredeti c kerülettel I jelöléssel jelöljük.

7- Az IH szegmens hossza megegyezik az enegon oldalának d hosszával.

8- Az IH = d iránytű kinyitásával az AJ középpont AJ sugara, J középső sugara AK, a K középső sugara KL és az L középső sugara LP meghúzódnak.

9 - Hasonlóképpen, A-tól és a jobb oldalról IH = d sugárú íveket rajzolva, amelyek az eredeti c kerület M, N, C és Q pontját jelölik.

10. Végül az AJ, JK, KL, LP, AM, MN, NC, CQ és végül a PB szegmenseket húzzuk.

Meg kell jegyezni, hogy az építési módszer nem teljesen pontos, mivel ellenőrizhető, hogy az utolsó PB oldal 0,7% -kal hosszabb, mint a többi oldal. A mai napig nincs ismert 100% -kal pontos vonalzóval és iránytűvel történő felépítési módszer.

Példák

Íme néhány kidolgozott példa.

1. példa

Normál enegont akarunk építeni, amelynek oldalsó mérete 2 cm. Milyen sugara van annak a kerületnek, amely körülveszi, hogy a korábban leírt konstrukció alkalmazásával a kívánt eredményt érjék el?

Az előző szakaszban levontuk azt a képletet, amely a körülhatárolt kör r sugarat és a normál enegon d oldalát kapcsolja össze:

d = 2r cos (70º)

Megoldjuk az előző kifejezés r értékét:

r = d / (2 cos (70 °)) = 1,4619 * d

A d = 2 cm-es érték helyettesítésével az előző képletben r sugara 2,92 cm lehet.

2. példa

Mekkora a normál enegon területe, amelynek oldala 2 cm?

A kérdés megválaszolásához a korábban bemutatott képletre kell hivatkoznunk, amely lehetővé teszi számunkra, hogy az ismert enegon területét az oldalának d hossza alapján találjuk meg: