MINTAVÉTELI HIBA: KÉPLETEK ÉS EGYENLETEK, SZÁMÍTÁS, PÉLDÁK - DUDAS - 2025

A mintavételi hiba vagy a statisztikai mintavételi hiba a minta átlagértéke és a teljes populáció átlagértéke közötti különbség. Az ötlet szemléltetése érdekében képzeljük el, hogy egy város teljes lakosa egymillió ember, ebből azt akarja, hogy az átlagos cipőmérete legyen, amelyre véletlenszerűen mintát vesznek ezer emberből.

A mintából származó átlagos méret nem feltétlenül esik egybe a teljes populáció méretével, bár ha a minta nem torz, akkor az értéknek közel kell lennie. A minta átlagértéke és a teljes populáció közti különbség a mintavételi hiba.

1. ábra. Mivel a minta a teljes populáció egy részhalmaza, a minta átlagának hibája van. Forrás: F. Zapata.

Általában a teljes populáció átlagértéke ismeretlen, de vannak olyan módszerek, amelyek csökkentik ezt a hibát, és vannak módszerek a mintavételi hibahatárok becslésére, amelyeket ebben a cikkben tárgyalunk.

Képletek és egyenletek

Tegyük fel, hogy szeretnénk megismerni egy x mérhető mutató középértékét N méretű populációban, de mivel N nagy szám, nem lehetséges a teljes populációra vonatkozó vizsgálat elvégzése, majd véletlenszerű mintát veszünk a n méret

A minta átlagértékét jelöli és a teljes népesség középértékét görög μ betűvel jelöljük (olvassa a mu vagy miu értéket).

Tegyük fel, hogy m mintát veszünk az N teljes populációból, amelyek mindegyike azonos méretű n átlagértékekkel 1>, 2>, 3>,….m>.

Ezek az átlagértékek nem lesznek azonosak egymással, és körülbelül a populáció átlagértéke μ körül lesznek. Az E mintavételi hibahatár jelzi az átlagértékek várható elválasztását a μ populáció átlagértékéhez viszonyítva egy meghatározott százalékon belül, amelyet γ konfidenciaszintnek (gamma) hívnak.

Az n méretű minta standard ε hibamarginala:

ε = σ / √n

ahol σ a szórás (a variancia négyzetgyöke), amelyet a következő képlettel kell kiszámítani:

σ = √

Az ε standard hibahatár jelentése a következő:

Középérték az n méretű mintából nyert értéket bele kell foglalni az intervallumba ( - ε, + ε) 68,3% -os konfidenciaszinttel.

A mintavételi hiba kiszámítása

Az előző szakaszban megadtuk az n méretű minta standard hibamarhájának meghatározására szolgáló képletet, ahol a standard szó azt jelzi, hogy 68% -os megbízhatósággal jelentkezik a hibahatár.

Ez azt jelzi, hogy ha sok azonos méretű n mintát vesznek, akkor 68% -uk ad átlagértékeket határon belül.

Van egy egyszerű szabály, az úgynevezett 68-95-99.7 szabály, amely lehetővé teszi, hogy könnyen megtaláljuk az E mintavételi hibahatárát a 68%, 95% és 99,7% konfidenciaszintekre, mivel ez a különbség 1⋅ ε, 2 ⋅ ε és 3⋅ ε.

A bizalom szintje érdekében

Ha a γ megbízhatósági szint nem felel meg a fentieknek, akkor a mintavételi hiba σ szórás, szorozva a Zγ tényezővel, amelyet a következő eljárással kapunk:

1.- Először meghatározzuk az α szignifikanciaszintet, amelyet az γ konfidenciaszint alapján számolunk a következő kapcsolaton keresztül: α = 1 - γ

2.- Ezt követően ki kell számítanunk az 1 - α / 2 = (1 + γ) / 2 értéket, amely megfelel a -∞ és Zγ közötti felhalmozódott normál frekvenciának egy F (z) típusú normál vagy Gauss eloszlásban, amelynek meghatározása a 2. ábrán látható.

3.- Az F (Zγ) = 1 - α / 2 egyenletet a normál eloszlás (kumulatív) F táblázatainak segítségével vagy egy számítógépes alkalmazás segítségével oldhatjuk meg, amely F ^-1 fordított Gauss-funkcióval rendelkezik.

Az utóbbi esetben:

Zγ = G- ¹ (1-α / 2).

4.- Végül ezt a képletet kell alkalmazni a mintavételi hibára γ megbízhatósági szinttel:

E = Zγ ⋅ (σ / √n)

2. ábra A normál eloszlás táblázata. Forrás: Wikimedia Commons.

Példák

- 1. példa

Számítsa ki a standard hibahatárot 100 újszülött mintájának átlagos tömegében. Az átlagos súly kiszámítása:= 3100 kg, σ = 1500 kg szórással.

Megoldás

A standard hibahatár ε = σ / √n = (1500 kg) / √100 = 0,15 kg. Ez azt jelenti, hogy ezekkel az adatokkal arra lehet következtetni, hogy az újszülöttek 68% -a 2 950 kg és 3,25 kg között van.

- 2. példa

Határozza meg az E mintavételi hibahatárát és 100 újszülött súlytartományát 95% -os megbízhatósági szinttel, ha az átlagtömeg 3100 kg, szórása σ = 1500 kg.

Megoldás

Ha a 68. szabály alkalmazandó; 95; 99,7 → 1 ⋅; 2⋅ ε; 3⋅ ε, van:

E = 2⋅ε = 2 ± 0,15 kg = 0,30 kg

Más szavakkal, az újszülöttek 95% -a súlya 2800 kg és 3 400 kg között lesz.

- 3. példa

Határozzuk meg az 1. példában az újszülöttek súlytartományát 99,7% -os megbízhatósági határ mellett.

Megoldás

A mintavételi hiba 99,7% -os megbízhatósággal 3 σ / √n, amely példánkban E = 3 * 0,15 kg = 0,45 kg. Innentől következik, hogy az újszülöttek 99,7% -ának súlya 2650 és 3 550 kg között lesz.

- 4. példa

Határozzuk meg a Zγ tényezőt 75% -os megbízhatósági szint mellett. Az 1. példában bemutatott esetre határozza meg a mintavételi hiba határát a megbízhatóság ezen szintjével.

Megoldás

A konfidenciaszint γ = 75% = 0,75, amely az α szignifikancia szintjéhez kapcsolódik a γ = (1 - α) kapcsolaton keresztül, tehát a szignifikancia szintje α = 1 - 0,75 = 0, 25.

Ez azt jelenti, hogy a kumulatív normális valószínűség a -∞ és Zγ között:

P (Z ≤ Zγ) = 1 - 0,125 = 0,875

Ami a 3. ábrán látható 1.1503 Zγ-értéknek felel meg.

3. ábra: A 75% -os konfidenciaszintnek megfelelő Zγ-tényező meghatározása. Forrás: F. Zapata a Geogebrán keresztül.

Más szavakkal, a mintavételi hiba E = Zγ ⋅ (σ / √n) = 1,15 ⋅ (σ / √n).

Az 1. példa adataira alkalmazva a következő hibát adja:

E = 1,15 * 0,15 kg = 0,17 kg

75% -os megbízhatósággal.

- 5. gyakorlat

Mi a megbízhatósági szint, ha Z _{α / 2} = 2,4?

Megoldás

P (Z ≤ Z _{α / 2}) = 1 - α / 2

P (Z ≤ 2,4) = 1 - α / 2 = 0,9918 → α / 2 = 1 - 0,9918 = 0,0082 → α = 0,0144

A szignifikancia szintje:

α = 0,0164 = 1,64%

És végül, a bizalom szintje továbbra is megmarad:

1- α = 1 - 0,0164 = 100% - 1,64% = 98,36%

Irodalom

1. Canavos, G. 1988. Valószínűség és statisztika: Alkalmazások és módszerek. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Valószínűség és statisztika a mérnöki és tudományos ismeretek számára. 8.. Kiadás. Cengage.
3. Levin, R. 1988. Statisztikák az adminisztrátorok számára. 2.. Kiadás. Prentice Hall.
4. Sudman, S., 1982. Kérdések feltevése: Gyakorlati útmutató a kérdőív elkészítéséhez. San Francisco. Jossey Bass.
5. Walpole, R. 2007. Valószínűség és statisztika a mérnöki és tudományos ismeretek számára. Pearson.
6. Wonnacott, TH és RJ Wonnacott. 1990. Bevezető statisztika. 5. kiadás, Wiley
7. Wikipedia. Mintavételi hiba. Helyreállítva: en.wikipedia.com
8. Wikipedia. Hibahatár. Helyreállítva: en.wikipedia.com