KÖZÖS TÉNYEZŐ A KIFEJEZÉSEK CSOPORTOSÍTÁSA ALAPJÁN: PÉLDÁK, GYAKORLATOK - MATEMATIKA - 2026

A közös tényező a kifejezések csoportosítása révén egy algebrai eljárás, amely lehetővé teszi néhány algebrai kifejezés tényezők formájában történő írását. E cél elérése érdekében először megfelelően kell csoportosítani a kifejezést, és meg kell jegyeznie, hogy az így kialakult csoportoknak gyakorlatilag közös tényezője van.

A technika helyes alkalmazása bizonyos gyakorlást igényel, de soha nem ismeri el azt. Először nézzünk meg egy lépésről lépésre bemutatott szemléltető példát. Ezután az olvasó alkalmazhatja azt, amit megtanult, a később megjelenő gyakorlatok mindegyikében.

1. ábra: A közös tényező figyelembevétele a kifejezések csoportosítása révén megkönnyíti az algebrai kifejezésekkel való munkát. Forrás: Pixabay.

Tegyük fel például, hogy figyelembe kell vennie a következő kifejezést:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Ez az algebrai kifejezés 4 monómból vagy kifejezésből áll, amelyeket + és - jelek választanak el, nevezetesen:

2x ², 2xy, -3zx, -3zy

Figyelembe véve az x közös az első háromra, de nem az utolsó, míg az y a második és a negyedik, és z a közös a harmadik és a negyedikhez.

Tehát elvileg nincs közös tényező a négy kifejezéshez egyszerre, de ha azokat a következő szakaszban bemutatott módon csoportosítják, akkor előfordulhat, hogy megjelenik egy, amely segít a kifejezés kettő vagy többnek szorzataként történő megírásában. tényezők.

Példák

Faktor expressziós: 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

1. lépés: Csoport

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² + 2xy) + (-3zx - 3zy)

2. lépés: Keresse meg az egyes csoportok közös tényezőjét

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy =

= (2x ² + 2xy) - (3zx + 3zy) =

= 2x (x + y) - 3z (x + y)

Azt érhetnek: a negatív előjel is egy közös tényező, hogy kell figyelembe venni.

Most vegye figyelembe, hogy a zárójel (x + y) megismétlődik a csoportosítással kapott két kifejezésben. Ez a közös tényező, amelyet kerestek.

3. lépés: Tényezze be a teljes kifejezést

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (x + y) (2x - 3Z)

Az előző eredménnyel elértük a faktorizálás célját, amely nem más, mint egy kifejezések összeadása és kivonása alapján algebrai kifejezés átalakítása a példa két vagy több tényezőjének szorzatává: (x + y) és (2x - 3z).

Fontos kérdések a közös tényezőről csoportosítva

1. kérdés: Hogyan lehet tudni, hogy az eredmény helyes?

Válasz: Az elosztó tulajdonságot alkalmazzuk a kapott eredményre, és a redukció és egyszerűsítés után az így kapott kifejezésnek meg kell egyeznie az eredetivel, ha nem, akkor hiba van.

Az előző példában az eredménytel fordítva dolgozunk, hogy ellenőrizzük, hogy helyes-e:

(x + y) (2x - 3Z) = 2x ² -3zx + 2xy - 3zy

Mivel a kiegészítések sorrendje nem változtatja meg az összeget, a disztribúciós tulajdonság alkalmazása után minden eredeti feltétel visszakerül, beleértve a jeleket is, tehát a faktorizáció helyes.

2. kérdés: csoportosítható-e más módon?

Válasz: Vannak olyan algebrai kifejezések, amelyek lehetővé teszik a csoportosítás egynél több formáját, mások pedig nem. A kiválasztott példában az olvasó más lehetőségeket is kipróbálhat egyedül, például így csoportosítva:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² - 3zx) + (2xy - 3zy)

És ellenőrizheti, hogy az eredmény megegyezik-e az itt kapott eredményekkel. Az optimális csoportosítás megtalálása a gyakorlat kérdése.

3. kérdés: Miért szükséges egy közös tényezőt levenni egy algebrai kifejezésből?

Válasz: Mivel vannak olyan alkalmazások, amelyekben a tényező kifejezés megkönnyíti a számításokat. Tegyük fel például, hogy a 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy értéket 0-ra szeretné állítani. Milyen lehetőségek vannak?

E kérdés megválaszolásához a tényleges változat sokkal hasznosabb, mint az eredeti fejlesztés. Így állítják:

(x + y) (2x - 3z) = 0

Az egyik lehetőség, hogy a kifejezés 0-t ér, az x = -y, z értékétől függetlenül. És a másik az, hogy x = (3/2) z, függetlenül az y értékétől.

Feladatok

- 1. Feladat

A következő kifejezés közös tényezőjét bontsa ki kifejezések csoportosítása révén:

ax + ay + bx + by

Megoldás

Az első kettő a "közös" tényezővel, az utolsó kettő pedig a "b" közös tényezővel van csoportosítva:

ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y)

Ha ez megtörtént, egy új közös tényező kerül feltárásra, amely (x + y), így:

ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)

Egy másik módszer a csoportosításra

Ez a kifejezés támogatja a csoportosítás egy másik módját. Lássuk, mi történik, ha a kifejezések átrendeződnek, és egy csoport jön létre azokkal, amelyek x-t tartalmaznak, és egy másik azokkal, amelyek y-t tartalmaznak:

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b)

Ilyen módon az új közös tényező (a + b):

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b) = (x + y) (a + b)

Ami ugyanazt az eredményt eredményezi az első tesztelt csoportosítás során.

- 2. gyakorlat

A következő algebrai kifejezést két tényező szorzataként kell írni:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ²

Megoldás

Ez a kifejezés 6 kifejezést tartalmaz. Próbáljuk meg csoportosítani az első és a negyedik, a második és a harmadik, és végül az ötödik és a hatodik csoportot:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ² = (3a ³ -a ²) + (- 3a ² b + 9ab ²) + (ab-3b ²)

Most minden zárójel be van számítva:

= (3a ³ -a ²) + (- 3a ² b + 9ab ²) + (ab -3B ²) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b -a) + B (A-3b)

Első pillantásra úgy tűnik, hogy a helyzet bonyolult, de az olvasót nem szabad elbátortalanítani, mivel az utolsó kifejezést átírjuk:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b – a) + b (a-3b) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a)

Az utóbbi két kifejezésnek közös tényezője van, amely (3b-a), így számba vehetők. Nagyon fontos, hogy ne felejtsük el az első kifejezést, a ² (3a - 1) -et, amelynek továbbra is mindent kiegészítésként kell kísérnie, akkor is, ha nem dolgozik vele:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a) = a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b)

A kifejezést két kifejezésre redukálták, és az utóbbiban egy új közös tényezőt fedeztek fel, amely "b". Most ez marad:

a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b) = a ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1)

A következő leggyakoribb tényező a 3a - 1:

a ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1) = (3a - 1)

Vagy ha zárójel nélkül szeretné:

(3a - 1) = (3a - 1) (a ² –ab + 3b ²)

Talál-e az olvasó egy másik csoportosítási módot, amely ugyanahhoz az eredményhez vezet?

2. ábra. Javasolt faktoring gyakorlatok. Forrás: F. Zapata.

Irodalom

1. Baldor, A. 1974. Elemi algebra. Cultural Venezolana SA
2. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
3. A faktoring fő esetei. Helyreállítva: julioprofe.net.
4. UNAM. Alapvető matematika: Faktorizáció kifejezések csoportosítása alapján. Számviteli és Közigazgatási Kar.
5. Zill, D. 1984. Algebra és trigonometria. MacGraw Hill.