RÉSZLEGES FRAKCIÓK: ESETEK ÉS PÉLDÁK - MATEMATIKA - 2025

A részleges frakciók a polinomok által létrehozott frakciók, amelyekben a nevező lehet egy lineáris vagy kvadratikus polinom, és emellett növelhető némi teljesítményre. Időnként, ha racionális funkciókkal rendelkezünk, nagyon hasznos ezt a funkciót részleges vagy egyszerű törtek összegeként átírni.

Ennek oka az, hogy ily módon jobban manipulálhatjuk ezeket a funkciókat, különösen azokban az esetekben, amikor szükséges az említett alkalmazás integrálása. A racionális függvény egyszerűen hányados a két polinom között, és lehetnek megfelelőek vagy nem megfelelőek.

Ha a számláló polinomának mértéke kisebb, mint a nevező, akkor ezt racionális megfelelő függvénynek nevezzük; egyébként nem megfelelő racionális funkciónak nevezik.

Meghatározás

Ha nem megfelelő racionális függvényünk van, akkor a számláló polinomját megoszthatjuk a nevező polinomával, és így átírhatjuk a p (x) / q (x) törtet, a t (x) + s (x) osztás algoritmust követve. q (x), ahol t (x) egy polinom, és s (x) / q (x) egy megfelelő racionális függvény.

A parciális rész a polinomok bármely megfelelő függvénye, amelyek nevezője (ax + b) ⁿ vagy (ax ² + bx + c) ⁿ formájú, ha a ² + bx + c polinom axiának nincs valódi gyöke, és n szám természetes.

A racionális függvény részleges törtekben való átírása érdekében az első lépés, hogy a nevezőt q (x) -ra tegyük lineáris és / vagy kvadratikus tényezők szorzataként. Miután ezt megtették, meghatározzuk a részleges frakciókat, amelyek ezen tényezők természetétől függnek.

Olyan esetek,

Számos esetet külön vizsgálunk.

1. eset

A q (x) tényezők mind lineárisak, és egyik sem megismétlődik. Vagyis:

q (x) = (a ₁ x + b ₁) (a ₂ x + b ₂)… (a _s x + b _s)

Nincs olyan lineáris tényező, amely azonos a másikkal. Amikor ez az eset megtörténik, azt írjuk:

p (x) / q (x) = A ₁ / (a ₁ x + b ₁) + A ₂ / (a ₂ x + b ₂)… + A _s / (a _s x + b _s).

Ahol A ₁, A ₂,…, A _s a konstansok, amelyeket meg kell találni.

Példa

A racionális funkciót egyszerű frakciókra szeretnénk bontani:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x)

Folytatjuk a nevező tényezőjét, azaz:

x ³ + 3x ² + 2x = x (x + 1) (x + 2)

Azután:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

A legkevésbé gyakori többszörös alkalmazásával a következőket kaphatjuk meg:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Szeretnénk megszerezni az A, B és C állandók értékeit, amelyek úgy találhatók meg, hogy helyettesítjük azokat a gyökereket, amelyek minden kifejezést törölnek. 0 helyettesítése x-rel:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

Kicserélve - 1 x-re:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2.

Kicserélve - 2 x-re:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

–3 = 2C

C = –3 / 2.

Ily módon kapjuk az A = –1/2, B = 2 és C = –3/2 értékeket.

Van még egy módszer az A, B és C értékek meghatározására. Ha az egyenlet jobb oldalán x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x +) 1) x egyesítjük a kifejezéseket, és van:

x - 1 = (A + B + C) x ² + (3A + 2B + C) x + 2A.

Mivel ez a polinomok egyenlősége, úgy gondoljuk, hogy a bal oldali együtthatóknak meg kell egyezniük a jobb oldalon lévő együtthatókkal. Ez a következő egyenletrendszert eredményezi:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

Az egyenletrendszer megoldásával az A = –1/2, B = 2 és C = –3 / 2 eredményeket kapjuk.

Végül, a kapott értékek helyettesítésével a következőket kapjuk:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

2. eset

A q (x) tényezők mind lineárisak, és néhány ismétlődik. Tegyük fel, hogy (ax + b) olyan tényező, amely megismétli az "s" időket; akkor ehhez a tényezőhöz felelje meg a «s» részleges frakciók összegét.

A _s / (ax + b) ^s + A _s-1 / (ax + b) ^s-1 +… + A ₁ / (ax + b).

Ahol A _s, A _s-1,…, A ₁ a meghatározandó állandók. A következő példával megmutatjuk, hogyan kell meghatározni ezeket az állandókat.

Példa

Bomlik részleges frakciókba:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³)

A racionális függvényt a következőképpen írjuk részleges törtek összegeként:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³) = A / x ² + B / x + C / (x - 2) ³ + D / (x - 2) ² + E / (x - 2).

Azután:

x - 1 = A (x - 2) ³ + B (x - 2) ³ x + Cx ² + D (x - 2) x ² + E (x - 2) ² x ²

Kicserélve 2-t x-ra, így van:

7 = 4C, azaz C = 7/4.

0 helyettesítése x-rel:

- 1 = –8A vagy A = 1/8.

Helyettesítve ezeket az értékeket az előző egyenletben és fejlesztve, megkapjuk a következőket:

x - 1 = 1/8 (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + Bx (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + 7 / 4x ² + Dx ³ - 2Dx ² + Ex ² (x ² - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x ⁴ + (1/8 - 6B + D - 4E) x ³ + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x ² + (3/2 - 8B) x - 1.

Az együtthatóval együtt az alábbi egyenletrendszert kapjuk:

B + E = 0;

1 / 8-6B + D-4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

A rendszer megoldása:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

Ehhez:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³) = (1/8) / x ² + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2) ³ + (5 / 4) / (x - 2) ² - (3/16) / (x - 2).

3. eset

A q (x) tényezők lineáris kvadratikusak, ismételt kvadratikus tényezők nélkül. Ebben az esetben a kvadratikus tényező (ax ² + bx + c) megfelel a részaránynak (Ax + B) / (ax ² + bx + c), ahol az A és B állandók azok, amelyeket meg kell határozni.

A következő példa bemutatja, hogyan kell ebben az esetben eljárni

Példa

Bomlanak egyszerű frakciókba a (x + 1) / (x ^3-1).

Először folytatjuk a nevező tényezőjét, amelynek eredményeként:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

Megfigyelhetjük, hogy (x ² + x + 1) nem redukálható kvadratikus polinom; vagyis nincs valódi gyökerei. Bontása részleges frakciókban a következő lesz:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x ² + x +1)

Ebből a következő egyenletet kapjuk:

x + 1 = (A + B) x ² + (A - B + C) x + (A - C)

A polinomok egyenlősége alapján a következő rendszert kapjuk:

A + B = 0;

A-B + C = 1;

A-C = 1;

Ebből a rendszerből van, hogy A = 2/3, B = - 2/3 és C = 1/3. Helyettesítve:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x ² + x +1).

4. eset

Végül a 4. eset az, amelyben q (x) tényezői lineárisak és kvadratikusak, ahol a lineáris kvadratikus tényezők egy részét megismételjük.

Ebben az esetben, ha (ax ² + bx + c) kvadratikus tényező, amely "s" -szor ismétlődik, akkor a tényezőnek megfelelő részrész (ax ² + bx + c) a következő lesz:

(A ₁ x + B) / (ax ² + bx + c) +… + (A _s-1 x + B _s-1) / (ax ² + bx + c) ^s-1 + (A _s x + B _s) / (ax ² + bx + c) ^s

Ahol A _s, A _s-1,…, A és B _s, B _s-1,…, B a meghatározandó állandók.

Példa

A következő racionális függvényt részleges frakciókra szeretnénk bontani:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ²)

Mivel az x ² - 4x + 5 nem redukálható kvadratikus tényező, annak részleges részekre bomlását az alábbiak szerint adjuk meg:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ²) = A / x + (Bx + C) / (x ² - 4x +5) + (Dx + E) / (x ² - 4x + 5) ²

Egyszerűsítve és fejlesztve:

x - 2 = A (x ² - 4x + 5) ² + (Bx + C) (x ² - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x ⁴ + (- 8A - 4B + C) x ³ + (26A + 5B - 4C + D) x ² + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

A fentiekből az alábbi egyenletrendszer található:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

A rendszer megoldásakor a következőket hagyjuk:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 és E = - 3/5.

A kapott értékek helyettesítésével:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ²) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x ² - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x ² - 4x + 5) ²

Alkalmazások

Integrált kalkulus

A részleges frakciókat elsősorban az integrált kalkulus tanulmányozására használják. Íme néhány példa arra, hogy miként lehet részintegrációval integrálokat végrehajtani.

1. példa

Kiszámoljuk a következők integrálását:

Láthatjuk, hogy a q (x) = (t + 2) ² (t + 1) nevezőt lineáris tényezők alkotják, ahol ezek egyikét megismételjük; Ezért van a 2. eset.

Nekünk kell:

1 / (t + 2) ² (t + 1) = A / (t + 2) ² + B / (t + 2) + C / (t + 1)

Átírjuk az egyenletet, és rendelkezünk:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2) ²

Ha t = - 1, akkor:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

Ha t = - 2, akkor megadja:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

Akkor, ha t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

Az A és C értékek helyettesítése:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

A fentiek szerint B = - 1.

Az integrált úgy írjuk át, hogy:

A helyettesítési módszerrel oldjuk meg:

Ez az eredmény:

2. példa

Oldja meg a következő integrált elemet:

Ebben az esetben az aq (x) = x ² - 4 tényezőt adhatjuk meg, mint q (x) = (x - 2) (x + 2). Egyértelműen az 1. eset vagyunk. Ezért:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Ez is kifejezhető:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Ha x = - 2, akkor:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

És ha x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Tehát nekünk kell megoldanunk az adott integrál egyenértékű megoldással:

Ennek eredményeként:

3. példa

Oldja meg az integrált elemet:

Van q (x) = 9x ⁴ + x ², amit q (x) = x ² (9x ² + 1) tényezővé tudunk számolni.

Ezúttal ismétlődő lineáris és kvadratikus tényezőnk van; vagyis a 3. esetünkben vagyunk.

Nekünk kell:

1 / x ² (9x ² + 1) = A / x ² + B / x + (Cx + D) / (9x ² + 1)

1 = A (9x ² + 1) + Bx (9x ² + 1) + Cx ² + Dx ²

Egyenlő polinomok csoportosítása és használata esetén:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

Ebből az egyenletrendszerből:

D = - 9 és C = 0

Ilyen módon:

A fentiek megoldásával:

A tömeges törvény

Az integrált kalkulusra alkalmazott parciális frakciók érdekes alkalmazását a kémia, pontosabban a tömeghatás törvénye tartalmazza.

Tegyük fel, hogy két anyagunk, A és B, amelyek összekapcsolódnak és C anyagot alkotnak, úgy, hogy a C mennyiségének deriváltja az idő függvényében az A és B mennyiségének szorzata az adott pillanatban.

A tömeges törvényt a következőképpen fejezhetjük ki:

Ebben a kifejezésben α az A-nak megfelelő kezdeti grammszám, β pedig a B-nek megfelelő grammok kezdeti száma.

Ezenkívül r és s jelentik az A és B grammok számát, amelyek összekapcsolódnak, hogy r + s gramm C legyen. A maga részéről x jelöli a C anyag grammszámát t idõben, K pedig a az arányosság állandója. A fenti egyenlet átírható így:

A következő változtatás végrehajtása:

Megvan az az egyenlet:

Ebből a kifejezésből nyerhetjük:

Ahol ≠b, részleges frakciók használhatók az integrációhoz.

Példa

Vegyük például egy C anyagot, amely az A anyag B-vel való kombinálásából származik, oly módon, hogy teljesüljön a tömegtörvény, ahol a és b értéke 8, illetve 6. Adjon meg egy egyenletet, amely megadja nekünk a gramm C értékét az idő függvényében.

Az adott tömegetörvényben szereplő értékek helyettesítésével:

A változók elválasztásakor:

Itt 1 / (8 - x) (6 - x) írható részleges törtek összegeként, az alábbiak szerint:

Így 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Ha x helyettesítjük a 6-ot, akkor B = 1/2; és helyettesítve x-val a 8-at, akkor A = - 1/2.

Integrálás részleges törtekkel:

Ennek eredményeként:

Diferenciális egyenletek: logisztikai egyenlet

A parciális frakciók számára adható másik alkalmazás a logisztikai differenciálegyenlet. Egyszerű modellek szerint a népesség növekedési aránya arányos a méretével; vagyis:

Ez az eset ideális, és realisztikusnak tekinthető, amíg meg nem történik, hogy a rendszerben rendelkezésre álló erőforrások nem elegendőek a lakosság támogatásához.

Ezekben a helyzetekben a legmegfelelőbb dolog azt gondolni, hogy van egy maximális kapacitás, amelyet L-nek hívunk, hogy a rendszer képes fenntartani, és hogy a növekedési ráta arányos a népesség méretével, szorozva a rendelkezésre álló mérettel. Ez az érv a következő differenciálegyenlethez vezet:

Ezt a kifejezést logisztikai differenciálegyenletnek nevezzük. Ez egy elválasztható differenciálegyenlet, amely részleges frakció-integrációs módszerrel oldható meg.

Példa

Példa lehet egy olyan populáció figyelembe vétele, amely a következő logikai differenciálegyenlet szerint növekszik az y '= 0,0004y (1000 - y) szerint, amelynek kezdeti adatai 400. Tudni akarjuk a populáció méretét t = 2 időpontban, ahol t mérik évek múlva.

Ha y '-t írunk Leibniz jelölésével, mint függvény, amely t függ, akkor:

A bal oldali integrálást részleges frakció-integrációs módszerrel lehet megoldani:

Ezt az utolsó egyenlőséget a következőképpen írhatjuk át:

- Az y = 0 helyettesítésével azt kapjuk, hogy A egyenlő: 1/1000.

- Az y = 1000 helyettesítésével azt kapjuk, hogy B egyenlő: 1/1000.

Ezekkel az értékekkel az integrál a következő:

A megoldás:

A kiindulási adatok felhasználásával:

Amikor elszámolunk, és:

Akkor t = 2-nél van:

Összegezve: 2 év elteltével a népesség nagysága körülbelül 597,37.

Irodalom

1. A, RA (2012). Matematika 1. Universidad de los Andes. Publikációs Tanács.
2. Cortez, I. és Sanchez, C. (második). 801 Felbontott integrálok. Tachira Nemzeti Kísérleti Egyetem.
3. Leithold, L. (1992). A számítás analitikus geometriával. HARLA, SA
4. Purcell, EJ, Varberg, D. és Rigdon, SE (2007). Számítás. Mexikó: Pearson Education.
5. Saenz, J. (második). Integrált kalkulus. Átfogó.