BIJEKTÍV FUNKCIÓ: MI EZ, HOGYAN TÖRTÉNIK, PÉLDÁK, GYAKORLATOK - MATEMATIKA - 2025

A bijektív funkció az, amely megfelel az injektív és a szelektív kettős feltételnek. Azaz, minden eleme a domain egyetlen képet a codomain, és kapcsolja a codomain egyenlő a rangot függvény (R _F).

Ez teljesül, ha figyelembe vesszük a domain és a kodén elemei közötti egy-egy kapcsolatot. Egy egyszerű példa az F: R → R függvény, amelyet az F (x) = x vonal határoz meg

Forrás: Szerző

Megfigyelték, hogy a domain vagy a kezdőkészlet minden egyes értékére (mindkét kifejezés egyformán vonatkozik) egyetlen kép található a kodéntartományban vagy az érkezési halmazban. Ezen túlmenően a kodén egyetlen elemén kívül található a kép.

Ilyen módon F: R → R, amelyet az F (x) = x vonal határoz meg , bijektív

Hogyan csinálsz bijektív funkciót?

Ennek megválaszolásához tisztában kell lenni a funkció injektálhatóságával és túlérzékenységével kapcsolatos fogalmakról, valamint a függvények kondicionálására vonatkozó kritériumokról, hogy azokat a követelményekhez igazítsák.

Funkció injektivitása

Egy függvény injektív, ha a tartományának minden eleme a kodén egyetlen eleméhez kapcsolódik. A kodén egy eleme csak a domain egyetlen elemének képe lehet, így a függő változó értékeit nem lehet megismételni.

Az injektív funkció megítéléséhez az alábbiakat kell teljesíteni:

₁ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁) ≠ F (x ₂)

A függvény szelektivitása

A függvényt szújektívnak kell besorolni, ha kodomerének minden eleme a domain legalább egy elemének képe.

A funkcionális széljelet tekintve a következőket kell teljesíteni:

Legyen F: D _f → C _f

∀ b ℮ C _f E a ℮ D _f / F (a) = b

Ez az algebrai módszer annak megállapítására, hogy minden C _f -hez tartozó „b” -nél van egy „a”, amely D _f-hez tartozik, úgy, hogy az „a” -ben értékelt funkció megegyezzen „b-vel”.

Funkcionális kondicionálás

Időnként egy olyan funkciót, amely nem bijektív, bizonyos feltételeknek lehet alávetni. Ezek az új feltételek bijektív funkcióvá tehetik . A függvény domainjének és kodomerének mindenféle módosítása érvényes, ahol a cél az injektivitás és a szelektivitás tulajdonságainak a megfelelő kapcsolatban való teljesítése.

Példák: megoldott gyakorlatok

1. Feladat

Az F: R → R függvényt az F (x) = 5x +1 vonal határozza meg

A:

Megfigyelték, hogy a domain minden értékére van kép a kodénben. Ez a kép egyedülálló ami F egy injektıv függvény. Ugyanígy figyeljük meg, hogy a függvény kodomerje megegyezik rangjával. Így teljesül a szelektivitás feltétele.

Ha egyszerre injektáló és szelektív, akkor arra következtethetünk

F: R → R, amelyet az F (x) = 5x +1 vonal határoz meg, egy bijektív függvény.

Ez vonatkozik minden lineáris függvényre (Funkciók, amelyeknek a változó legmagasabb foka egy).

2. gyakorlat

Az F: R → R függvényt definiáljuk F (x) = 3x ² - 2 értékkel

Vízszintes vonal rajzolásakor megfigyelhető, hogy a grafikon egynél több alkalommal található. Ennek következtében az F függvény nem injektív, ezért nem lesz bijektív mindaddig, amíg az R → R

Hasonlóképpen vannak olyan kodon domain értékek, amelyek nem képezik a domain egyik elemét. Ennek következtében a függvény nem szelektív, ezért megérdemli, hogy a megérkezett érkezést is kondicionálja.

Folytatjuk a függvény tartományának és kodomerének feltételét

F: →

Ahol megfigyelték, hogy az új tartomány lefedi az értékeket nulláról pozitív végtelenségre. Az injektivitást befolyásoló értékek ismétlésének elkerülése.

Hasonlóképpen módosították a kodén domént, „-2” -ről pozitív végtelenségre számítva, és eltávolítják a kodódomtól azokat az értékeket, amelyek nem feleltek meg a domain egyik elemének

Ily módon biztosítható, hogy F : → F (x) = 3x ² - 2 által definiált

Ez bijektív

3. gyakorlat

Az F: R → R függvényt definiáljuk: F (x) = Sen (x)

Az intervallumban a szinusz funkció eredményei nulla és egy között változnak.

Forrás: Szerző.

Az F függvény nem felel meg az injektivitás és a szelektivitás kritériumainak, mivel a függő változó értékeit minden π intervallumon megismételjük. Ezenkívül a kodónak az intervallumon kívüli kifejezései nem képezik a domain egyik elemének a képét.

Az F (x) = Sen (x) függvény gráfjának tanulmányozásakor olyan intervallumokat figyelünk meg, ahol a görbe viselkedése megfelel a bijektivitási kritériumoknak. Például a tartomány _f D = intervalluma. És C _f = a kodén számára.

Ahol a függvény 1-től -1-ig változik, anélkül, hogy bármilyen értéket megismételne a függő változóban. Ugyanakkor a kodén egyenlő az Sen (x) kifejezés által elfogadott értékekkel

Így a függvény F: → által meghatározott F (x) = Sen (x). Ez bijektív

4. gyakorlat

Jelölnie a szükséges feltételeket D _f és C _f. Tehát a kifejezés

F (x) = -x ² lehet bijektív.

Forrás: Szerző

Az eredmények megismétlését akkor figyeljük meg, amikor a változó ellentétes értékeket vesz fel:

F (2) = F (-2) = -4

F (3) = F (-3) = -9

F (4) = F (-4) = -16

A domain kondicionált, korlátozva a valódi vonal jobb oldalára.

D _f =

Ugyanígy megfigyeltük, hogy ennek a funkciónak a tartománya az az intervallum, amely kodonként való fellépéskor teljesíti a szelektivitás feltételeit.

Ilyen módon következtethetünk erre

Az F: → kifejezést F (x) = -x ^{2 határozza meg.} Ez bij

Javasolt gyakorlatok

Ellenőrizze, hogy a következő funkciók vonzóak-e:

F: → R meghatározva: F (x) = 5 ct (x)

F: → R meghatározva: F (x) = cos (x - 3)

F: R → R az F (x) = -5x + 4 vonal által definiált

Irodalom

1. Bevezetés a logikába és a kritikus gondolkodásba. Merrilee H. Salmon. Pittsburghi Egyetem
2. A matematikai elemzés problémái. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Wroclawi Egyetem. Lengyelország.
3. Az elvont elemzés elemei. O'Searcoid Mícheál PhD. Matematika Tanszék. Dublini Egyetemi Főiskola, Beldfield, Dublind 4
4. Bevezetés a logika és a deduktív tudományok módszertanához. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University sajtó.
5. A matematikai elemzés alapelvei. Enrique Linés Escardó. Szerkesztõ Reverté S. A, 1991. Barcelona Spanyolország.