HOMOGRÁFIAI FÜGGVÉNY: HOGYAN ÁBRÁZOLHATJUK, MEGOLDOTT GYAKORLATOKAT - MATEMATIKA - 2026

A funkció homographic vagy racionális ng egy olyan típusú matematikai függvény áll polinomiális szétválás két komponens. Engedelmeskedik a P (x) / Q (x) formának, ahol Q (x) nem lehet nulla.

Például a (2x - 1) / (x + 3) kifejezés egy homográfiai függvénynek felel meg, P (x) = 2x - 1 és Q (x) = x + 3 értékkel.

Forrás: pixabay.com

A homográfiai funkciók az analitikai funkciók tanulmányi részét képezik, amelyeket a grafikus megközelítésből és a tartomány és a tartomány vizsgálatából kezelnek. Ennek oka a korlátozások és indokok, amelyeket a határozatokhoz alkalmazni kell.

Mi a homográfiai funkció?

Egy változó racionális kifejezései, bár ez nem jelenti azt, hogy két vagy több változó esetében nem lenne hasonló kifejezés, ahol már olyan test jelenlétében lenne a térben, amely ugyanazokat a mintákat követi, mint a síkban a homográfiai funkció.

Bizonyos esetekben valódi gyökerek vannak, de a vertikális és vízszintes aszimptoták meglétét, valamint a növekedési és csökkenési intervallumokat mindig meg kell tartani. Általában ezeknek a tendenciáknak csak egy van jelen, de vannak olyan kifejezések, amelyek mindkettőt megmutathatják fejlődésük során.

Tartományát a nevező gyökerei korlátozzák, mivel a valós számok nullával nem oszlanak meg.

Vegyes homográfiai funkció

Nagyon gyakoriak a számításban, különösen a differenciál és az integrál szempontjából, amelyek szükségesek az egyes képletek alapján származékok és anti-származékok származtatására. Néhány a leggyakoribb az alábbiakban felsorolva.

A homográfiai funkció még a n. Gyökere

Kizárja a domain összes elemét, amely negatívvá teszi az érvet. A gyökerek mindegyik polinomi hozamértéke nulla, ha kiértékeljük.

Ezeket az értékeket a radikálisok elfogadják, bár a homográfiai funkció alapvető korlátozását figyelembe kell venni. Ahol Q (x) nem kaphat null értékeket.

Az intervallumok megoldásait el kell fogni:

A kereszteződések megoldásához többek között a jel módszerét is lehet használni.

A homográfiai függvény logaritmusa

Általános az is, ha mindkét kifejezést egyben találják meg, a többi lehetséges kombináció között.

Hogyan ábrázolhatunk egy homográfiai függvényt?

A homográfiai függvények grafikusan megfelelnek a sík hiperboláinak. Melyeket vízszintesen és függőlegesen szállítanak a polinomokat meghatározó értékek szerint.

Számos elem van, amelyet meg kell határoznunk egy racionális vagy homográfiai függvény ábrázolására.

Birtok

Az első a P és Q függvények gyökerei vagy nullái.

Az elért értékeket a grafikon x tengelyén jelöljük. Jelzi a grafikon tengelye metszéspontját.

Függőleges aszimptot

Ezek függőleges vonalaknak felelnek meg, amelyek a grafikonokat az ábrázolt trendek szerint határozzák meg. Az x tengelyre érkeznek az értékeknél, amelyek a nevezőt nullává teszik, és soha nem fogják megérinteni a homográfiai függvény grafikonját.

Vízszintes aszimptot

Vízszintes öltésvonalat ábrázolva azt a határt jelöli, amelyre a funkció nem lesz pontosan meghatározva. A trendeket a sor előtt és után is megfigyeljük.

Ennek kiszámításához egy olyan módszert kell alkalmaznunk, mint a L'Hopital módszeréhez, amelyet a végtelenre hajlamos ésszerű funkciók határoinak megoldására használunk. A függvény számlálójában és nevezőjében figyelembe kell venni a legmagasabb erők koefficienseit.

Például a következő kifejezésnek van egy vízszintes aszimptotája y = 2/1 = 2-nél.

Növekedési intervallum

Az ordináták értékei az aszimptoták miatt a grafikonon meg vannak jelölve. Növekedés esetén a függvény értéke növekszik, mivel a tartomány elemeit balról jobbra értékelik.

Csökkentse az intervallumot

A ordináta értékei csökkennek, amikor a tartomány elemeit balról jobbra értékelik.

Az értékekben található ugrásokat növekedés vagy csökkenéskor nem veszik figyelembe. Ez akkor fordul elő, amikor a grafikon közel áll egy függőleges vagy vízszintes aszimptotához, ahol az értékek végtelentől negatív végtelenségig változhatnak, és fordítva.

Y kereszteződés

Ha x értékét nullára állítjuk, akkor megtaláljuk az elfogást a ordináta tengelyével. Ez nagyon hasznos adat a racionális függvény grafikonjának megszerzéséhez.

Példák

Határozza meg a következő kifejezések grafikonját, keresse meg azok gyökereit, függőleges és vízszintes aszimptotjait, a növekedés és csökkenés intervallumát, valamint a kereszteződést a ordináta tengelyével.

1. Feladat

A kifejezésnek nincs gyökere, mert állandó értéke van a számlálóban. Az alkalmazandó korlátozás x különbözik a nullától. Vízszintes aszimptotával, y = 0 esetén, és függőleges aszimptotussal, ha x = 0, nincsenek metszéspontjai az y tengelyhez.

Megfigyelték, hogy nincsenek növekedési intervallumok, még akkor sem, ha x = 0-on mínuszról plusz végtelenre ugornak.

A csökkenési intervallum:

ID: (-∞; o) U (0, ∞)

Gyakorlat 1.2

2 polinomot figyelünk meg, mint az eredeti meghatározásban, tehát a megállapított lépések szerint járunk el.

A talált gyökér x = 7/2, ami a függvény nullával való beállításával jár.

A függőleges aszimptotája x = - 4-nél van, amely az érték a tartományból a racionális függvény feltétel miatt.

A vízszintes aszimptotája y = 2-nél van, ez a 2/1 eloszlása ​​után az 1. fokozat változóinak együtthatói.

Y-lehallgatása = - 7/4. Az érték x után nullával egyenlő.

A függvény folyamatosan növekszik, plusz és mínusz végtelenség közötti ugrással az x = -4 gyökér körül.

Növekedési intervalluma (-∞, - 4) U (- 4, ∞).

Amikor az x értéke megközelíti a mínusz végtelenséget, akkor a függvény 2-es értéket vesz fel. Ugyanez történik, amikor az x több végtelenhez közelít.

A kifejezés plusz végtelenséghez közelít, ha balról - 4-re értékeli, és mínusz végtelenre, ha jobbról - 4-re értékeli.

2. gyakorlat

A következő homográfiai függvény grafikonját figyeltük meg:

Mutassa be viselkedését, gyökereit, függőleges és vízszintes aszimptótait, a növekedési és csökkenési időközöket, valamint az ordinát tengelye metszéspontját.

A kifejezés nevezője a négyzet (x + 1) (x - 1) különbségének faktorozásával mondja meg a gyökerek értékét. Ilyen módon mindkét függőleges aszimptotust meghatározhatjuk:

x = -1 és x = 1

A vízszintes aszimptotusz az abszcissza tengelynek felel meg, mivel a legnagyobb teljesítmény a nevezőben van.

Az egyetlen gyökér x = -1/3.

A kifejezés mindig balról jobbra csökken. A végtelenséghez közeledve nulla. Mínusz végtelenség, amikor balról -1-re közeledik. Plusz végtelenség, amikor jobbról -1-re közeledik. Kevesebb végtelenség, ha balról az 1-re közeledik, és több végtelen, ha jobbra 1-re közeledik.

Irodalom

1. Közelítés a racionális funkciókkal. Donald J. Newman. American Mathematical Soc., December 31. 1979
2. Ortogonális racionális függvények. Az UNIVERSIDAD DE LA LAGUNA TENERIFE ADHEMAR BULTHEEL, Adhemar Bultheel, Pablo Gonzalez-Vera, Erik Hendriksen, Olav Njastad. Cambridge University Press, február 13. 1999
3. A valós funkciók racionális közelítése. PP Petrušev, Vaszil Atanasov Popov. Cambridge University Press, március 3. 2011
4. Algebrai funkciók. Gilbert Ames Bliss. Courier Corporation, január 1 2004
5. A Spanyol Matematikai Társaság folyóiratának 5-6. Kötete. Spanyol Matematikai Társaság, Madrid, 1916