INJEKTÍV FUNKCIÓ: MI EZ, MIRE VALÓ, ÉS PÉLDÁK - MATEMATIKA - 2026

Az injektáló függvény a domén elemeinek bármilyen összekapcsolása a kodén egyetlen elemével. Más néven egy -egy funkcióként (1 - 1) is szerepelnek a funkciók osztályozásában az elemek rokonsága szempontjából.

A kodén egy eleme csak a domain egyetlen elemének képe lehet, így a függő változó értékeit nem lehet megismételni.

Forrás: Szerző.

Világos példa erre a férfiak csoportosítása az A csoportban és a B csoportban az összes főnöknél. Az F funkció az, amely egyesíti a dolgozókat a főnökével. Ha minden egyes dolgozó amelyhez eltérő főnök keresztül F, akkor F lesz injektıv funkciót.

Az injektív funkció megítéléséhez az alábbiakat kell teljesíteni:

₁ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁) ≠ F (x ₂)

Ez az algebrai mondásmód . Minden x _{1-től, amely} különbözik az x _2-től, F (x ₁) -től különbözik F (x ₂) -től.

Mire szolgálnak az injektálás?

Az injektivitás a folyamatos funkciók tulajdonsága, mivel biztosítják a képek hozzárendelését a tartomány minden eleméhez, ami egy funkció folytonosságának alapvető eleme.

Ha az injekciós funkció gráfján egy vonalat rajzol az X tengelyhez, akkor csak egy pontot kell megérinteni, függetlenül attól, hogy mekkora Y- magasságot vagy nagyságot húz a vonal. Ez a grafikus módszer egy funkció injektálhatóságának tesztelésére.

Egy másik módszer annak ellenőrzésére, hogy egy függvény injektív- e, az az X független változó feloldása az Y függõ változó szempontjából. Ezután meg kell ellenõrizni, hogy az új kifejezés domainje tartalmazza-e a valós számokat, egyidejûleg az Y minden értékére egyetlen X érték van.

A függvények vagy a rendviszonyok többek között az F: D _f → C _f jelölést is betartják

Mi az F olvasás , amely D _f- ről C _f- re megy

Ahol az F függvény összekapcsolja a Domain és a Codomain halmazokat. Kezdeti és befejező készletként is ismert.

A D _f tartomány a független változó megengedett értékeit tartalmazza. A C _f kodon domain az összes függõ változó számára rendelkezésre álló értékbõl áll. Az elemek a C _f kapcsolódó D _f ismertek, mint a tartomány a függvény (R _F).

Funkcionális kondicionálás

Időnként egy nem injektáló funkció bizonyos feltételeknek ki lehet téve. Ezek az új feltételek lehetővé teszik, hogy injekciós funkcióvá váljon . A funkció tartományának és kodomerének mindenféle módosítása érvényes, ahol a cél az injektálhatóság tulajdonságainak a megfelelő kapcsolatban való teljesítése.

Példák az injekciós funkciókra megoldott gyakorlatokkal

1. példa

Az F: R → R függvényt definiáljuk az F (x) = 2x - 3 vonallal

A:

Forrás: Szerző.

Megfigyelték, hogy a domain minden értékére van kép a kodénben. Ez a kép egyedülálló, ami F-et injektív funkcióvá teszi. Ez vonatkozik minden lineáris függvényre (Funkciók, amelyeknek a változó legmagasabb foka egy).

Forrás: Szerző.

2. példa

Legyen F: R → R függvény F (x) = x ² +1 értékkel definiálva

Forrás: Szerző

Vízszintes vonal rajzolásakor megfigyelhető, hogy a grafikon egynél több alkalommal található. Ennek következtében az F funkció nem injektív, mindaddig, amíg R → R meg van határozva

Folytatjuk a függvény tartományának feltételét:

F: R ⁺ U {0} → R

Forrás: Szerző

Most a független változó nem vesz negatív értékeket, így elkerülhető az eredmények megismétlése, és az F: R ⁺ U {0} → R függvény, amelyet F (x) = x ² + 1 határoz meg , injektív.

Egy másik homológ megoldás az lenne, ha a domént balra korlátoznánk, vagyis a funkciót csak negatív és nulla értékekre korlátoznánk.

Folytatjuk a függvény tartományának feltételét

F: R ^- U {0} → R

Forrás: Szerző

Most a független változó nem vesz negatív értékeket, így elkerülhető az eredmények megismétlése, és az F: R ^- U {0} → R függvény, amelyet F (x) = x ² + 1 határoz meg , injektív.

A trigonometrikus függvényeknek hullámszerű viselkedése van, ahol nagyon gyakori az értékek ismétlődése a függő változóban. Specifikus kondicionálás révén, ezen funkciók előzetes ismerete alapján, szűkíthetjük a tartományt az injektivitás feltételeinek való megfelelés érdekében.

3. példa

Legyen a függvény F: → R által meghatározott F (x) = Cos (x)

Az intervallumban a koszinus funkció eredményei nulla és egy között változnak.

Forrás: Szerző.

Amint az a grafikonon is látható. Nullától kezdődik x = - π / 2-nél, majd nullán eléri a maximumot. X = 0 után az értékek megismétlődnek, amíg x = π / 2 értéknél nullára nem térnek vissza. Ilyen módon ismert, hogy F (x) = Cos (x) nem injektálható egy adott intervallumon belül.

Az F (x) = Cos (x) függvény grafikonjának tanulmányozásakor olyan intervallumokat figyelünk meg, ahol a görbe viselkedése alkalmazkodik az injektálási kritériumokhoz. Mint például az intervallum

Ahol a függvény 1-től -1-ig változik, anélkül, hogy bármilyen értéket megismételne a függő változóban.

Ilyen módon az F: → R függvényt definiálja F (x) = Cos (x). Injektáló

Van olyan nemlineáris függvény, ahol hasonló esetek fordulnak elő. A racionális típusú kifejezések esetében, ahol a nevező legalább egy változót tartalmaz, vannak olyan korlátozások, amelyek megakadályozzák a kapcsolat injektálhatóságát.

4. példa

Az F: R → R függvényt definiáljuk F (x) = 10 / x értékkel

A függvény minden valós számra meg van határozva, kivéve a {0} -t, akinek határozatlan (nem osztható nullával) .

Mivel a függő változó balról közelít a nullához, nagyon nagy negatív értékeket vesz igénybe, és közvetlenül a nulla után a függő változó értékei nagy pozitív értékeket kapnak.

Ez a zavar az F: R → R kifejezést F (x) = 10 / x által definiálva teszi

Ne légy injekciós.

Amint az az előző példákból kitűnik, az értékek kizárása a tartományban ezeket a határozatlanságokat "javítja". Folytatjuk a nulla kizárását a domainből, a kezdő és befejező halmazokat a következőképpen definiálva:

R - {0} → R

Ahol R - {0} a valóságot szimbolizálja, kivéve egy halmazt, amelynek egyetlen elem nulla.

Ilyen módon az F: R - {0} → R kifejezés, amelyet F (x) = 10 / x határoz meg , injektív.

5. példa

Legyen a függvény F: → R által meghatározott F (x) = Sen (x)

Az intervallumban a szinusz funkció eredményei nulla és egy között változnak.

Forrás: Szerző.

Amint az a grafikonon is látható. Nullától kezdődik x = 0-nál, majd x = π / 2- nél eléri a maximumot. X = π / 2 után kezdik megismételni az értékeket, amíg nullára nem válnak x = π értéknél. Ilyen módon ismert, hogy F (x) = Sen (x) nem injektálható az adott intervallumban.

Az F (x) = Sen (x) függvény grafikonjának tanulmányozásakor olyan intervallumokat kell megfigyelni, ahol a görbe viselkedése alkalmazkodik az injektivitási kritériumokhoz. Mint például az intervallum

Ahol a függvény 1-től -1-ig változik, anélkül, hogy bármilyen értéket megismételne a függő változóban.

Ilyen módon az F: → R függvényt definiálja F (x) = Sen (x). Injektáló

6. példa

Ellenőrizzük, hogy a funkció F: → R által meghatározott F (x) = tan (x)

F: → R meghatározva: F (x) = cos (x + 1)

F: R → R az F (x) = 7x + 2 vonal által definiált

Irodalom

1. Bevezetés a logikába és a kritikus gondolkodásba. Merrilee H. Salmon. Pittsburghi Egyetem
2. A matematikai elemzés problémái. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Wroclawi Egyetem. Lengyelország.
3. Az elvont elemzés elemei. O'Searcoid Mícheál PhD. Matematika Tanszék. Dublini Egyetemi Főiskola, Beldfield, Dublind 4.
4. Bevezetés a logika és a deduktív tudományok módszertanához. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University sajtó.
5. A matematikai elemzés alapelvei. Enrique Linés Escardó. Szerkesztõ Reverté S. A, 1991. Barcelona Spanyolország.