TRANSZCENDENS FUNKCIÓK: TÍPUSOK, MEGHATÁROZÁSOK, TULAJDONSÁGOK, PÉLDÁK - MATEMATIKA - 2026

Az elemi transzcendentális függvények az exponenciális, logaritmikus, trigonometrikus, inverz trigonometrikus függvények, hiperbolikus és inverz hiperbolikus függvények. Vagyis ezek azok, amelyeket nem lehet polinom, polinomok hányadosa vagy polinomok gyökerei alapján kifejezni.

A nem elemi transzcendens funkciókat speciális funkcióknak is nevezzük, és ezek között megnevezhető a hibafüggvény. Az algebrai függvények (polinomok, polinomok hányadosai és a polinomok gyökerei) az elemi transzcendentális függvényekkel együtt képezik azokat, amelyeket a matematikában alapfunkcióknak hívnak.

A transzcendens funkciókat azoknak is tekintjük, amelyek a transzcendens funkciók közötti tranzakciók, vagy a transzcendens és az algebrai funkciók közötti műveletek eredményei. Ezek a műveletek: a függvények összege és különbsége, a termék és a függvények hányadosa, valamint két vagy több függvény összetétele.

Meghatározás és tulajdonságok

Exponenciális függvény

Ez a forma valódi független változójának valós függvénye:

f (x) = a ^ x = a ^x

ahol a egy rögzített pozitív valós szám (a> 0), amelyet bázisként hívnak. A circumflex vagy a felülíró jelöli a potencírozó műveletet.

Tegyük fel, hogy a = 2, akkor a függvény így néz ki:

f (x) = 2 ^ x = 2 ^x

Amit az x független változó több értékére kell kiértékelni:

Az alábbiakban egy grafikon látható, ahol az exponenciális függvény az alap több értékére vonatkozik, beleértve az e alapot is (Neper szám e ≃ 2,72). Az e bázis annyira fontos, hogy az exponenciális függvényről általában e ^ x-re gondolunk, amelyet exp (x) -nek is nevezünk.

1. ábra. Az a ^ x exponenciális függvény az alap különféle értékeire a. (Saját kidolgozás)

Az exponenciális függvény tulajdonságai

Az 1. ábra alapján megfigyelhető, hogy az exponenciális függvények tartománya a valós számok (Dom f = R), a tartomány vagy az út pedig a pozitív valóságok (Ran f = R ⁺).

Másrészt, függetlenül az a bázis értékétől, minden exponenciális függvény áthalad a (0, 1) ponton és az (1, a) ponton.

Ha a bázis a> 1, akkor a funkció növekszik, és ha 0 <a <1, a funkció csökken.

Y = a ^ x és y = (1 / a) ^ x görbéi szimmetrikusak az Y tengely körül.

Az a = 1 eset kivételével az exponenciális funkció injektív, vagyis a kép minden egyes értéke megfelel egy és egyetlen kezdőértéknek.

Logaritmikus függvény

Ez egy valódi független változó valós függvénye, egy szám logaritmusának meghatározása alapján. Az x számon alapuló logaritmus az y szám, amelyhez az alapot fel kell emelni az x argumentum megszerzéséhez:

log _a (x) = y ⇔ a ^ y = x

Vagyis az alapuló logaritmus függvény az exponenciális függvény inverz függvénye a.

Például:

log ₂ 1 = 0, mivel 2 ^ 0 = 1

Egy másik eset, log ₂ 4 = 2, mert 2 ^ 2 = 4

A 2 gyökér logaritmusa log ₂ √2 = ½, mert 2 ^ ½ = √2

log ₂ ¼ = -2, mivel 2 ^ (- 2) = ¼

Az alábbiakban egy grafikon látható a logaritmus függvényéről különféle bázisokban.

2. ábra. Az alap különböző értékeinek exponenciális függvénye. (Saját kidolgozás)

A logaritmus függvény tulajdonságai

Az y (x) = log a (x) logaritmus függvény tartománya az R + pozitív valós szám. Az utazási tartomány vagy valós számok R.

Az alaptól függetlenül a logaritmus függvény mindig áthalad az (1,0) ponton, és az (a, 1) pont az adott függvény grafikonjához tartozik.

Abban az esetben, ha az a bázis nagyobb, mint az egység (a> 1), a logaritmus függvény növekszik. De ha (0 <a <1) akkor csökkenő függvény.

Szinusz, koszinusz és érintő funkciók

A szinuszfüggvény valós számot és mindegyik x értéket hozzárendel, ahol x a szög mértéke a radiánban. Egy szög Sen (x) értékének meghatározásához a szöget ábrázoljuk az egység körben, és a szögnek a függőleges tengelyre vetített vetülete az adott szögnek megfelelő szinusz.

Az X1, X2, X3 és X4 különböző szögértékek trigonometrikus körét és szinuszát az alábbiakban mutatjuk be (3. ábra).

3. ábra. Trigonometrikus kör és a különböző szögek szinusza. (Saját kidolgozás)

Ilyen módon meghatározva a Sen (x) függvény maximális értéke 1 lehet, amely akkor fordul elő, ha x = π / 2 + 2π n, ahol n egész szám (0, ± 1, ± 2,). A Sen (x) függvény által felvehető minimális érték akkor fordul elő, ha x = 3π / 2 + 2π n.

Az y = cos (x) koszinusz függvényt hasonlóan definiáljuk, de a P1, P2 stb. Szöghelyzetek kivetítésére a trigonometrikus kör vízszintes tengelyén kerül sor.

Másrészt az y = Tan (x) függvény a szinusz és a koszinusz függvény hányadosa.

Az alábbiakban egy grafikon látható a Sen (x), Cos (x) és Tan (x) transzcendens funkciókról

4. ábra: A transzcendens funkciók grafikonja, a szinusz, a koszinusz és az érintő. (Saját kidolgozás)

Származékok és integrálok

Az exponenciális függvény deriváltja

Az y = a ^ x exponenciális függvény y 'deriváltja az a ^ x függvény, szorozva az a alap természetes logaritmusával:

y '= (a ^ x)' = a ^ x ln a

Az e bázis adott esetben az exponenciális függvény derivációja maga az exponenciális függvény.

Az exponenciális függvény integrálja

A ^ x határozatlan integrálja maga a függvény, osztva az alap természetes logaritmusával.

Az e alap konkrét esetben az exponenciális függvény integrálja maga az exponenciális függvény.

Táblázat a transzcendens függvények származékairól és integrálásáról

Az alábbiakban összefoglaljuk a fő transzcendens funkciókat, azok származékait és határozatlan integrálokat (antiderivatívákat):

Néhány transzcendens függvény deriváltjai és határozatlan integrálai. (Saját kidolgozás)

Példák

1. példa

Keresse meg az f (x) = x ^ 3 függvény összetételéből származó függvényt g (x) = cos (x) függvénnyel:

(köd) (x) = f (g (x)) = cos ³ (x)

Származéka és határozatlan integrálja:

2. példa

Keresse meg a g függvény összetételét az f függvénnyel, ahol g és f az előző példában meghatározott függvények:

(gof) (x) = g (f (x)) = cos (x ³)

Meg kell jegyezni, hogy a funkciók összetétele nem kommutációs művelet.

E függvény deriváltja és határozatlan integrálja a következő:

Az integrált jelölést hagyták, mert az eredményt nem lehet pontosan megírni az elemi funkciók kombinációjaként.

Irodalom

1. Az egyetlen változó számítása. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, november 10 2008
2. Az implicit funkciótétel: történelem, elmélet és alkalmazások. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Tudományos és Üzleti Média, november 9. 2012
3. Többváltozós elemzés. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, december 13. 2010
4. Rendszerdinamika: a mechatronikai rendszerek modellezése, szimulálása és vezérlése. C. Karnopp dékán, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, március 7 2012
5. Kalkulus: Matematika és modellezés. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, január 1 1999
6. wikipedia. Transzcendens funkció. Helyreállítva: es.wikipedia.com