ANALITIKAI GEOMETRIA: MIT TANUL, TÖRTÉNELEM, ALKALMAZÁSOK - MATEMATIKA - 2026

Az analitikus geometria a vonalakat és a geometriai alakzatokat alapvető algebrai technikák és matematikai elemzések alkalmazásával tanulmányozza egy adott koordinátarendszerben.

Következésképpen az analitikus geometria a matematika egyik ága, amely részletesen elemzi a geometriai adatok összes adatát, azaz a térfogatot, a szöget, a területet, a metszéspontot, azok távolságát, többek között.

Az analitikai geometria alapvető jellemzője, hogy lehetővé teszi a geometriai ábrák képlettel való ábrázolását.

Például a kerületeket a második fok polinom egyenletei képviselik, míg a vonalakat az első fok polinom egyenletei fejezik ki.

Az analitikai geometria a tizenhetedik században merül fel, mivel szükség van válaszokra a problémákra, amelyek eddig még nem voltak megoldással. Legfőbb képviselői René Descartes és Pierre de Fermat voltak.

Manapság sok szerző rámutat arra, hogy forradalmi alkotásként jelentkezik a matematika történetében, mivel ez a modern matematika kezdete.

Az analitikai geometria története

Az analitikus geometria kifejezés Franciaországban a tizenhetedik században merült fel, mivel olyan kérdésekre kellett válaszolni, amelyeket nem lehetett megoldani az algebrai és a geometriai adatok segítségével, de a megoldás mindkettő kombinált alkalmazásában rejlik.

Az analitikai geometria fő képviselői

A tizenhetedik század folyamán két francia véletlenszerűen végezte az életben olyan kutatásokat, amelyek valamilyen módon analitikai geometria létrehozásával zárultak le. Ezek az emberek Pierre de Fermat és René Descartes voltak.

Jelenleg úgy gondolják, hogy az analitikus geometria alkotója René Descartes volt. Ennek oka annak a ténynek köszönhető, hogy a könyvet Fermat előtt jelentette meg, és mélyrehatóan Descartes-szel az analitikus geometria témájában.

Fermat és Descartes azonban felfedezték, hogy a vonalakat és a geometriai ábrákat egyenletekkel lehet kifejezni, az egyenleteket pedig vonalakkal vagy geometriai ábrákkal lehet kifejezni.

A kettő felfedezései szerint elmondható, hogy mindkettő az analitikai geometria alkotója.

Pierre de Fermat

Pierre de Fermat francia matematikus, 1601-ben született és 1665-ben halt meg. Élete során Euclid, Apollonius és Pappus geometriáját tanulmányozta az akkoriban fennálló mérési problémák megoldása érdekében.

Később ezek a tanulmányok kiváltotta a geometria kialakítását. Végül az "Sík és szilárd helyek bevezetése" című könyvében (Ad Locos Planos et Solidos Isagoge) fejezték ki őket, amelyet 1479-ben adtak ki halála után, 1679-ben.

Pierre de Fermat analitikus geometriát alkalmazott Apollonius tételeinek geometriai helyein 1623-ban. Ő volt az első, aki analitikai geometriát alkalmazott háromdimenziós térben.

Rene Descartes

Cartesius néven is ismert, matematikus, fizikus és filozófus, aki 1596 március 31-én született Franciaországban és 1650-ben halt meg.

René Descartes 1637-ben megjelent „Az értelem helyes vezetésének és az igazságnak a tudományban való keresésének módszeréről szóló diskurzus” című könyv, amelyet jobban ismertnek hívnak „A módszer” néven, és onnan az analitikus geometria kifejezést vezette be a világba. Az egyik melléklete a "Geometria" volt.

Az analitikai geometria alapvető elemei

Az analitikai geometria a következő elemekből áll:

A derékszögű koordinátarendszer

Ezt a rendszert René Descartesnek nevezték el.

Nem ő nevezte el, és nem az, aki kitöltette a derékszögű koordinátarendszert, hanem ő volt az, aki beszélt a pozitív számú koordinátákról, amelyek lehetővé tették a jövőbeli tudósok számára, hogy kiegészítsék azt.

Ez a rendszer téglalap alakú koordinátarendszerből és a poláris koordinátarendszerből áll.

Téglalap alakú koordinátarendszerek

A téglalap alakú koordinátarendszereket síknak nevezzük, amelyeket két egymásra merőleges számú vonal követése képez, és ahol a küszöbérték egybeesik a közös nullával.

Akkor ez a rendszer egy vízszintes és egy függőleges vonalból állna.

A vízszintes vonal az X tengely vagy az abszcissza tengely. A függőleges vonal az Y tengely vagy a ordináta tengely lenne.

Poláris koordinátarendszer

Ez a rendszer feladata egy pont relatív helyzetének ellenőrzése egy rögzített vonalhoz és egy vonal rögzített pontjához viszonyítva.

A vonal derékszögű egyenlete

Ezt az egyenletet egy vonaltól kapjuk, amikor két pont ismert, amelyen áthalad.

Egyenes

Ez az egyik nem tér el, ezért nincs görbéje és szöge.

conics

Ezek a görbék, amelyeket egy rögzített ponton áthaladó vonalak és egy görbe pontjai határoznak meg.

Az ellipszis, a kerület, a parabola és a hiperbola kúpos görbék. Mindegyiket alább ismertetjük.

Körméret

A kerületet zárt síkgörbének nevezzük, amelyet a sík összes pontja alkot, amelyek egy belső pontból, azaz a kerület közepétől azonos távolságra vannak.

Példázat

A sík azon pontjai, amelyek azonos távolságra vannak a rögzített ponttól (fókusz) és egy fix vonaltól (iránytól). A parabolát tehát a direkttrix és a fókusz határozza meg.

A parabolát úgy kaphatjuk meg, mint egy kúp alakú forgásfelületet egy síkban, amely párhuzamos egy generációval.

Ellipszis

A síkban mozgó pontot leíró zárt görbét ellipszisnek nevezzük oly módon, hogy a távolságok összege két (2) rögzített ponttal (fókuszokkal) állandó legyen.

Hiperbola

A hiperbolának azt a görbét nevezzük, amelyet a síkban lévő pontok helyeként definiálunk, amelynél a két rögzített pont (fókusz) távolsága közötti különbség állandó.

A hiperbola szimmetriatengelye áthalad a fókuszon, amelyet fókusztengelynek hívnak. Van még egy, az a szegmens felezője, amelynek a végén vannak rögzített pontok.

Alkalmazások

Az analitikai geometria számos alkalmazásának van lehetősége a mindennapi élet különböző területein. Például megtalálhatjuk a parabolt, az analitikai geometria egyik alapvető elemét, számos olyan eszközben, amelyeket manapság használnak. Ezen eszközök némelyike ​​a következő:

Parabolaantenna

A parabolikus antennáknak van egy reflektoruk, amelyet egy parabola eredményeként generálnak, amely az antenna tengelyén forog. Az ennek a műveletnek az eredményeként keletkező felületet paraboloidnak nevezzük.

A paraboloid ezt a képességét egy parabola optikai tulajdonságának vagy reflexiós tulajdonságának nevezzük, és ennek köszönhetően a paraboloid képes visszatükrözni az elektromágneses hullámokat, amelyeket az antennát alkotó betápláló mechanizmustól kap.

Függő hidak

Ha egy kötél homogén súlyt hordoz, ugyanakkor lényegesen nagyobb, mint maga a kötél súlya, akkor parabola lesz.

Ez az elv alapvető fontosságú függőhidak építésekor, amelyeket általában széles acélkábelszerkezetek tartanak.

A függőhidakban szereplő példabeszéd elvét olyan építményekben alkalmazták, mint például az Egyesült Államok San Francisco városában található Golden Gate híd vagy Japánban található Akashi-szoros Nagyhíd, amely összeköti Japán szigetet. Awaji Honshúval, az ország fő szigetével.

Csillagászati ​​elemzés

Az analitikai geometria nagyon specifikus és meghatározó felhasználást kapott a csillagászat területén is. Ebben az esetben az elemző geometria eleme, amely középpontba kerül, az ellipszis; Johannes Kepler bolygók mozgási törvénye ezt tükrözi.

Kepler, német matematikus és csillagász határozta meg, hogy az ellipszis az a görbe, amely a legjobban illeszkedik a Mars mozgásához; Korábban már kipróbálta a Kopernikusz által javasolt kör alakú modellt, de kísérleteinek közepén arra a következtetésre jutott, hogy az ellipszis egy olyan pálya felhívására szolgál, amely tökéletesen hasonló a vizsgált bolygó körpályájához.

Az ellipszisnek köszönhetően Kepler megerősítette, hogy a bolygók elliptikus pályán mozognak; ez a megfontolás a Kepler ún. második törvényének kijelentése volt.

Ebből a felfedezésből, amelyet később az angol fizikus és matematikus, Isaac Newton gazdagított, meg lehetett tanulmányozni a bolygók keringési mozgásait, és megismertethették az ismereteinket arról a világegyetemről, amelynek része vagyunk.

Cassegrain távcső

A Cassegrain távcsövet kitalálója, a francia születésű fizikus, Laurent Cassegrain nevére nevezték el. Ebben a teleszkópban az analitikus geometria alapelveit alkalmazzák, mivel főleg két tükrből állnak: az első konkáv és parabolikus, a második pedig konvex és hiperbolikus.

Ezen tükrök elhelyezkedése és jellege lehetővé teszi a gömb alakú rendellenességnek nevezett hiba elkerülését; Ez a hiba megakadályozza a fénysugarak visszatükröződését egy adott lencse fókuszában.

A Cassegrain távcső nagyon hasznos a bolygók megfigyeléséhez, ugyanakkor meglehetősen sokoldalú és könnyen használható.

Irodalom

1. Analitikai geometria. Beolvasva 2017. október 20-án, a britannica.com webhelyről
2. Analitikai geometria. Beolvasva 2017. október 20-án, az encyclopediafmath.org webhelyről
3. Analitikai geometria. Beolvasva 2017. október 20-án, a khancademy.org webhelyről
4. Analitikai geometria. Visszakeresve: 2017. október 20-án, a wikipedia.org webhelyről
5. Analitikai geometria. Visszakeresve: 2017. október 20-án, a whitman.edu webhelyről
6. Analitikai geometria. Beolvasva 2017. október 20-án, a stewartcalculus.com webhelyről
7. Sík analitikus geometria A lekérdezés időpontja: 2017. október 20