EUKLIDESZI GEOMETRIA: TÖRTÉNELEM, ALAPVETŐ FOGALMAK ÉS PÉLDÁK - MATEMATIKA - 2026

Az euklideszi geometria megfelel azoknak a geometriai tereknek a tulajdonságainak tanulmányozására, ahol az Euclid axiómái teljesülnek. Noha ezt a kifejezést gyakran használják hasonló tulajdonságokkal rendelkező magasabb dimenziós geometriák lefedésére, ez általában a klasszikus geometria vagy a sík geometria szinonimája.

A III. Században a. C. Euclides és tanítványai az Elemeket írták, egy olyan munkát, amely magában foglalta az akkori matematikai ismereteket, amelyeket logikai-deduktív struktúrával ruháztak fel. Azóta a geometria tudomány lett, kezdetben a klasszikus problémák megoldására, és kialakító tudomány lett, amely segíti az érvelést.

Történelem

Az euklideszi geometria történetéről való beszélgetéshez elengedhetetlen az Alexandriai Euklidész és az Elemek kezdete.

Amikor Egyiptom I. Ptolemaiosz kezébe maradt, Nagy Sándor halála után egy Alexandriai iskolában kezdte meg projektjét.

Az iskolában tanító bölcsek között volt Euklidész. Arra gondolunk, hogy születése kb. Ie 325-ben származik. C. és 265-ös halála a. C. Biztosan tudjuk, hogy Platón iskolájába ment.

Euclid több mint harminc éve Alexandriában tanított, híres elemeit építve: elkezdte írni korának matematikájának kimerítő leírását. Euklidész tanításai kiváló tanítványokat hoztak létre, mint például Archimedes és Perga Apollonius.

Euklidész az ősi görögök elemeiben tapasztalható eltérő felfedezéseinek szerkesztéséért felelős, ám elődjeivel ellentétben nem korlátozódik arra, hogy megerősítse, hogy egy tétel igaz; Euclid demonstrációt kínál.

Az Elements egy tizenhárom könyvből álló gyűjtemény. A Biblia után ez a legtöbb kiadott könyv, több mint ezer kiadással.

Euklidész elemei

Az elemek Euclid remekműve a geometria területén, és határozottan kezelik a kétdimenziós (sík) és a háromdimenziós (űr) geometriát..

Alapfogalmak

Az elemek meghatározásokból, közismert fogalmakból és posztulációkból (vagy axiómákból) állnak, amelyeket tételek, konstrukciók és bizonyítékok követnek.

- A lényeg az, hogy nincs része.

- A vonal olyan hosszú, amelynek nincs szélessége.

- Az egyenes vonal megegyezik a benne levő pontokkal.

- Ha két vonalat úgy vágnak le, hogy a szomszédos szögek megegyeznek, akkor a szöget egyenes vonalnak és a vonalokat merőlegesnek nevezik.

- A párhuzamos vonalak azok, amelyek ugyanabban a síkban vannak, és soha nem keresztezik egymást.

Ezen és más meghatározások után Euclid öt posztulátum és öt fogalomjegyzékkel mutat be nekünk.

Általános fogalmak

- Két dolog, amelyek egyenlők egy harmadikval, egyenlőek egymással.

- Ha ugyanazokat a dolgokat adják hozzá ugyanazokhoz a dolgokhoz, akkor az eredmények ugyanazok.

- Ha az egyenlő dolgokból egyenlő dolgokat vonunk le, akkor az eredmények megegyeznek.

- A dolgok, amelyek megegyeznek egymással, megegyeznek egymással.

- Az össz nagyobb, mint egy rész.

Posztulációk vagy axiómák

- Egy és egyetlen vonal halad át két különböző ponton.

- Az egyenes vonalok határozatlan ideig meghosszabbíthatók.

- Kör rajzolható tetszőleges középpontból és bármilyen sugarakból.

- Minden derékszög egyenlő.

- Ha egy egyenes egyenes keresztezi két egyeneset, úgy, hogy az ugyanazon oldal belső szöge kevesebb, mint két derékszög, akkor a két vonal ezen az oldalon keresztezi.

Ezt az utolsó posztulátumot párhuzamos posztulátumnak hívják, és a következőképpen fogalmazták meg: "Egy vonalon kívüli ponthoz egy vonal húzható az adott vonallal."

Példák

Ezután az elemek néhány tétele arra szolgál, hogy megmutassa a geometriai terek tulajdonságait, ahol az Euklidész öt posztulációja teljesül; Ezenkívül szemléltetik a matematikus által alkalmazott logikai-deduktív érvelést.

Első példa

1.4. Javaslat (LAL)

Ha két háromszögnek két oldala van, és a szög közöttük egyenlő, akkor a másik oldal és a többi szög egyenlő.

Demonstráció

Legyen ABC és A'B'C 'két háromszög, ahol AB = A'B', AC = A'C ', és a BAC és B'A'C' szögek megegyeznek. Mozgassuk az A'B'C 'háromszöget úgy, hogy A'B' egybeesik AB-vel, és hogy a B'A'C 'szög egybeesik a BAC szöggel.

Tehát az A'C 'vonal egybeesik az AC vonallal, úgy, hogy C' egybeesik C-vel. Ezután az 1. posztulációval a BC vonalnak egybe kell esnie a B'C 'vonallal. Ezért a két háromszög egybeesik, és következésképpen szögeik és oldaluk megegyeznek.

Második példa

1.5. Javaslat (

Tegyük fel, hogy az ABC háromszögnek azonos AB és AC oldala van.

Tehát az ABD és az ACD háromszögeknek két azonos oldala van, és a köztük lévő szögek azonosak. Így az 1.4. Állítás szerint az ABD és az ACD szögek megegyeznek.

Harmadik példa

1.31. Javaslat

Konstruálhat egy vonalat, amely párhuzamos egy adott pont által megadott vonallal.

Épület

Az L vonal és a P pont alapján az M egy vonal P-n húzódik, és keresztezi az L-t. Ezután az N vonal húzódik P-n keresztül, amely keresztezi az L-t. olyan szöget képezve, amely megegyezik azzal, amelyet L az M-mel alakít

Megerősítés

N párhuzamos az L-vel

Demonstráció

Tegyük fel, hogy L és N nem párhuzamosak és keresztezik egymást az A ponton. Legyen B egy pont L-ben az A-n túl. Vegyük figyelembe az O egyeneset, amely B-n és P-n halad át. Ezután O keresztezi M-t olyan szögeknél, amelyek kevesebb mint kettő egyenes.

Ezután O-val 1,5-rel az O vonal keresztezi az L egyeneset M oldalán, tehát L és O két pontban keresztezik egymást, ami ellentmond az 1. posztulátumnak. Ezért L és N párhuzamosaknak kell lenniük.

Irodalom

1. A geometria elemei. Mexikói Nemzeti Autonóm Egyetem
2. Eukleidész. Az első hat könyv, valamint Euclid elemeinek tizenegyedik és tizenkettedik része
3. Eugenio Filloy Yague. Az euklideszi geometria didaktikája és története, Grupo Editorial Iberoamericano
4. K. Ribnikov. A matematika története. Mir Szerkesztés
5. Viloria, N., & Leal, J. (2005) Plane Analytical Geometry. Szerkesztő Venezolana CA