HEPTADECAGON: TULAJDONSÁGOK, ÁTLÓK, KERÜLET, TERÜLET - MATEMATIKA - 2026

A heptadekagon egy szabályos sokszög, amelynek 17 oldala és 17 csúcsa van. Építése euklideszi stílusban végezhető, vagyis csak az vonalzót és az iránytűt használva. Alig 18 éves Carl Friedrich Gauss (1777-1855) nagy matematikai zseni találta meg az eljárás módját 1796-ban.

Úgy tűnik, Gauss mindig is nagyon hajlamos volt erre a geometriai alakra, olyan mértékben, hogy attól a naptól kezdve, amikor felfedezte annak felépítését, úgy döntött, hogy matematikus. Azt is mondják, hogy azt akarja, hogy a heptadekagont gravírozzák a sírkövébe.

1. ábra. A heptadekagon egy szabályos sokszög, amelynek 17 oldala és 17 csúcsa van. Forrás: F. Zapata.

Gauss megtalálta azt a képletet is, amely meghatározza, mely szabályos sokszögeket vonalzóval és iránytűvel lehet felépíteni, mivel néhányuknak nincs pontos euklideszi szerkezete.

A heptadekagon jellemzői

Jellemzőit illetően, mint bármely sokszög, fontos a belső szögeinek összege. Egy n oldalú szabályos sokszögben az összeget a következő adja meg:

Ez a radiánban kifejezett összeg így néz ki:

A fenti képletekből könnyen levezethető, hogy a heptadekagon minden belső szöge pontos α-méréssel rendelkezik:

Ebből következik, hogy a belső szög nagyjából:

Átlóságok és kerület

Az átlók és a kerület további fontos szempont. Bármely sokszögben az átlók száma:

D = n (n - 3) / 2, és a heptadekagon esetében, mint n = 17, akkor D = 119 átlóval rendelkezünk.

Másrészről, ha a heptadekagon mindkét oldalának hossza ismert, akkor a normál heptadekagon kerületét úgy kell megtudni, hogy hozzáadjuk a hossz 17-szerese, vagy ami megegyezik mindkét oldal d hosszának 17-szerese:

P = 17 d

A heptadekagon kerülete

Időnként csak a heptadekagon r sugara ismert, ezért ehhez az esethez képletet kell kidolgozni.

E célból bevezetik az apothem fogalmát. Az apothem az a szegmens, amely a szabályos sokszög közepétől az egyik oldal középpontjáig megy. Az apothem egyik oldalához képest merőleges az oldalával (lásd a 2. ábrát).

2. ábra: Az egy r sugarat tartalmazó szabályos sokszög és apotémája. (Saját kidolgozás)

Ezen túlmenően az apothem a szög felezője a középső csúccsal és az oldalakkal a sokszög két egymást követő csúcsán, ez lehetővé teszi az összefüggés megtalálását az r sugár és a d oldal között.

Ha a DOE középső szöget β-nak nevezzük, és figyelembe véve, hogy az OJ apothem felező, akkor EJ = d / 2 = r Sen (β / 2) van, amelyből összekapcsolódunk a sokszög oldalának d hosszúságának megállapításához. ismert r sugara és β középső szöge:

d = 2 r Sen (β / 2)

A β = 360º / 17 heptadekagon esetében:

d = 2 r Sen (180º / 17) ≈ 0,3675 r

Végül megkapjuk a heptadekagon kerületének képletét, ismert sugártartalmával:

P = 34 r Sen (180º / 17) ≈ 6,2475 r

A heptadekagon kerülete közel van a körülvevő kerület kerületéhez, de az értéke kisebb, vagyis a körülírt kör kerülete Pcir = 2π r ≈ 6,2832 r.

Terület

A heptadekagon területének meghatározására a 2. ábrán hivatkozunk, amely egy n oldalú szabályos sokszög oldalait és apotémiáját mutatja. Ezen az ábrán az EOD háromszög területe olyan, mint az alap d (a sokszög oldala) az a magasság és a sokszög apotémája osztva 2-vel:

EOD terület = (dxa) / 2

Tehát, ismerve a heptadekagon apotémiáját és ugyanazon d oldalát, annak területe:

Hatszögletű terület = (17/2) (dxa)

Az oldal megadott területe

Ahhoz, hogy egy képletet kapjunk a heptadekagon területére, amely ismeri a tizenhét oldalának hosszát, összefüggést kell létrehozni az a apotéma hossza és a d oldal között.

A 2. ábra alapján a következő trigonometrikus összefüggést kapjuk:

Tan (β / 2) = EJ / OJ = (d / 2) / a, ahol β a DOE központi szög. Tehát az a apothemát akkor lehet kiszámítani, ha a sokszög oldalának d hossza és a β középső szög ismert:

a = (d / 2) Cotan (β / 2)

Ha ezt a kifejezést az apothem váltja fel, akkor az előző szakaszban kapott heptadekagon területének képletében a következőket kapjuk:

Heptadekagon területe = (17/4) (d ²) Cotan (β / 2)

Ha a heptadekagon β = 360º / 17, tehát végre megkapjuk a kívánt képletet:

Hatszögletű terület = (17/4) (d ²) Cotan (180º / 17)

A sugár megadott területe

Az előző szakaszokban összefüggést találtak a szabályos sokszög d oldala és r sugara között, ez a kapcsolat a következő:

d = 2 r Sen (β / 2)

Ez a d kifejezés beillesztésre kerül a terület előző szakaszában kapott kifejezésbe. A megfelelő helyettesítések és egyszerűsítések elvégzésekor a következő képletet kapjuk, amely lehetővé teszi a heptadekagon területének kiszámítását:

Hatszögletű terület = (17/2) (r ²) Sen (β) = (17/2) (r ²) Sen (360º / 17)

A terület hozzávetőleges kifejezése:

Hatszögletű terület = 3,0706 (r ²)

Ahogy az várható volt, ez a terület valamivel kisebb, mint a terület a kör körülíró heptadecagon A _CIRC = π r ² ≈ 3,1416 r ². Pontosabban kifejezve, 2% -kal kisebb, mint a körülírt kör.

Példák

1. példa

A kérdés megválaszolásához emlékezetbe kell venni a szokásos n-oldalas sokszög oldalsó és sugara közötti kapcsolatot:

d = 2 r Sen (180º / n)

N = 17 heptadekagon esetében úgy, hogy d = 0,3675 r, vagyis a heptadekagon sugara r = 2 cm / 0,3675 = 5,4423 cm, vagy

10,8844 cm átmérőjű.

A 2 cm-es oldalsó heptadekagon kerülete P = 17 * 2 cm = 34 cm.

2. példa

Hivatkoznunk kell az előző szakaszban bemutatott képletre, amely lehetővé teszi, hogy megtaláljuk a heptadekagon területét, amikor oldalának d hossza van:

Hatszögletű terület = (17/4) (d ²) / Tan (180º / 17)

A d = 2 cm helyettesítésével az előző képletben kapjuk:

Terület = 90,94 cm

Irodalom

1. CEA (2003). Geometriai elemek: gyakorlatokkal és iránytű geometriával. Medellini Egyetem.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematika 2. Grupo Editorial Patria.
3. Freed, K. (2007). Fedezze fel a sokszögeket. Összehasonlító oktatási társaság.
4. Hendrik, V. (2013). Általános poligonok. Birkhäuser.
5. IGER. (Sf). Matematika első félév Tacaná. IGER.
6. Jr. geometria. (2014). Sokszög. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren és Hornsby. (2006). Matematika: érvelés és alkalmazások (tizedik kiadás). Pearson oktatás.
8. Patiño, M. (2006). Matematika 5. Szerkesztési progreso.
9. Sada, M. 17-oldalas szabályos sokszög vonalzóval és iránytűvel. Helyreállítva: geogebra.org
10. Wikipedia. Heptadecagon. Helyreállítva: es.wikipedia.com