- A heptadekagon jellemzői
- Átlóságok és kerület
- A heptadekagon kerülete
- Terület
- Az oldal megadott területe
- A sugár megadott területe
- Példák
- 1. példa
- 2. példa
- Irodalom
A heptadekagon egy szabályos sokszög, amelynek 17 oldala és 17 csúcsa van. Építése euklideszi stílusban végezhető, vagyis csak az vonalzót és az iránytűt használva. Alig 18 éves Carl Friedrich Gauss (1777-1855) nagy matematikai zseni találta meg az eljárás módját 1796-ban.
Úgy tűnik, Gauss mindig is nagyon hajlamos volt erre a geometriai alakra, olyan mértékben, hogy attól a naptól kezdve, amikor felfedezte annak felépítését, úgy döntött, hogy matematikus. Azt is mondják, hogy azt akarja, hogy a heptadekagont gravírozzák a sírkövébe.

1. ábra. A heptadekagon egy szabályos sokszög, amelynek 17 oldala és 17 csúcsa van. Forrás: F. Zapata.
Gauss megtalálta azt a képletet is, amely meghatározza, mely szabályos sokszögeket vonalzóval és iránytűvel lehet felépíteni, mivel néhányuknak nincs pontos euklideszi szerkezete.
A heptadekagon jellemzői
Jellemzőit illetően, mint bármely sokszög, fontos a belső szögeinek összege. Egy n oldalú szabályos sokszögben az összeget a következő adja meg:
Ez a radiánban kifejezett összeg így néz ki:
A fenti képletekből könnyen levezethető, hogy a heptadekagon minden belső szöge pontos α-méréssel rendelkezik:
Ebből következik, hogy a belső szög nagyjából:
Átlóságok és kerület
Az átlók és a kerület további fontos szempont. Bármely sokszögben az átlók száma:
D = n (n - 3) / 2, és a heptadekagon esetében, mint n = 17, akkor D = 119 átlóval rendelkezünk.
Másrészről, ha a heptadekagon mindkét oldalának hossza ismert, akkor a normál heptadekagon kerületét úgy kell megtudni, hogy hozzáadjuk a hossz 17-szerese, vagy ami megegyezik mindkét oldal d hosszának 17-szerese:
P = 17 d
A heptadekagon kerülete
Időnként csak a heptadekagon r sugara ismert, ezért ehhez az esethez képletet kell kidolgozni.
E célból bevezetik az apothem fogalmát. Az apothem az a szegmens, amely a szabályos sokszög közepétől az egyik oldal középpontjáig megy. Az apothem egyik oldalához képest merőleges az oldalával (lásd a 2. ábrát).

2. ábra: Az egy r sugarat tartalmazó szabályos sokszög és apotémája. (Saját kidolgozás)
Ezen túlmenően az apothem a szög felezője a középső csúccsal és az oldalakkal a sokszög két egymást követő csúcsán, ez lehetővé teszi az összefüggés megtalálását az r sugár és a d oldal között.
Ha a DOE középső szöget β-nak nevezzük, és figyelembe véve, hogy az OJ apothem felező, akkor EJ = d / 2 = r Sen (β / 2) van, amelyből összekapcsolódunk a sokszög oldalának d hosszúságának megállapításához. ismert r sugara és β középső szöge:
d = 2 r Sen (β / 2)
A β = 360º / 17 heptadekagon esetében:
d = 2 r Sen (180º / 17) ≈ 0,3675 r
Végül megkapjuk a heptadekagon kerületének képletét, ismert sugártartalmával:
P = 34 r Sen (180º / 17) ≈ 6,2475 r
A heptadekagon kerülete közel van a körülvevő kerület kerületéhez, de az értéke kisebb, vagyis a körülírt kör kerülete Pcir = 2π r ≈ 6,2832 r.
Terület
A heptadekagon területének meghatározására a 2. ábrán hivatkozunk, amely egy n oldalú szabályos sokszög oldalait és apotémiáját mutatja. Ezen az ábrán az EOD háromszög területe olyan, mint az alap d (a sokszög oldala) az a magasság és a sokszög apotémája osztva 2-vel:
EOD terület = (dxa) / 2
Tehát, ismerve a heptadekagon apotémiáját és ugyanazon d oldalát, annak területe:
Hatszögletű terület = (17/2) (dxa)
Az oldal megadott területe
Ahhoz, hogy egy képletet kapjunk a heptadekagon területére, amely ismeri a tizenhét oldalának hosszát, összefüggést kell létrehozni az a apotéma hossza és a d oldal között.
A 2. ábra alapján a következő trigonometrikus összefüggést kapjuk:
Tan (β / 2) = EJ / OJ = (d / 2) / a, ahol β a DOE központi szög. Tehát az a apothemát akkor lehet kiszámítani, ha a sokszög oldalának d hossza és a β középső szög ismert:
a = (d / 2) Cotan (β / 2)
Ha ezt a kifejezést az apothem váltja fel, akkor az előző szakaszban kapott heptadekagon területének képletében a következőket kapjuk:
Heptadekagon területe = (17/4) (d 2) Cotan (β / 2)
Ha a heptadekagon β = 360º / 17, tehát végre megkapjuk a kívánt képletet:
Hatszögletű terület = (17/4) (d 2) Cotan (180º / 17)
A sugár megadott területe
Az előző szakaszokban összefüggést találtak a szabályos sokszög d oldala és r sugara között, ez a kapcsolat a következő:
d = 2 r Sen (β / 2)
Ez a d kifejezés beillesztésre kerül a terület előző szakaszában kapott kifejezésbe. A megfelelő helyettesítések és egyszerűsítések elvégzésekor a következő képletet kapjuk, amely lehetővé teszi a heptadekagon területének kiszámítását:
Hatszögletű terület = (17/2) (r 2) Sen (β) = (17/2) (r 2) Sen (360º / 17)
A terület hozzávetőleges kifejezése:
Hatszögletű terület = 3,0706 (r 2)
Ahogy az várható volt, ez a terület valamivel kisebb, mint a terület a kör körülíró heptadecagon A CIRC = π r 2 ≈ 3,1416 r 2. Pontosabban kifejezve, 2% -kal kisebb, mint a körülírt kör.
Példák
1. példa
A kérdés megválaszolásához emlékezetbe kell venni a szokásos n-oldalas sokszög oldalsó és sugara közötti kapcsolatot:
d = 2 r Sen (180º / n)
N = 17 heptadekagon esetében úgy, hogy d = 0,3675 r, vagyis a heptadekagon sugara r = 2 cm / 0,3675 = 5,4423 cm, vagy
10,8844 cm átmérőjű.
A 2 cm-es oldalsó heptadekagon kerülete P = 17 * 2 cm = 34 cm.
2. példa
Hivatkoznunk kell az előző szakaszban bemutatott képletre, amely lehetővé teszi, hogy megtaláljuk a heptadekagon területét, amikor oldalának d hossza van:
Hatszögletű terület = (17/4) (d 2) / Tan (180º / 17)
A d = 2 cm helyettesítésével az előző képletben kapjuk:
Terület = 90,94 cm
Irodalom
- CEA (2003). Geometriai elemek: gyakorlatokkal és iránytű geometriával. Medellini Egyetem.
- Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematika 2. Grupo Editorial Patria.
- Freed, K. (2007). Fedezze fel a sokszögeket. Összehasonlító oktatási társaság.
- Hendrik, V. (2013). Általános poligonok. Birkhäuser.
- IGER. (Sf). Matematika első félév Tacaná. IGER.
- Jr. geometria. (2014). Sokszög. Lulu Press, Inc.
- Miller, Heeren és Hornsby. (2006). Matematika: érvelés és alkalmazások (tizedik kiadás). Pearson oktatás.
- Patiño, M. (2006). Matematika 5. Szerkesztési progreso.
- Sada, M. 17-oldalas szabályos sokszög vonalzóval és iránytűvel. Helyreállítva: geogebra.org
- Wikipedia. Heptadecagon. Helyreállítva: es.wikipedia.com
