HOMESTACIA: TULAJDONSÁGOK, TÍPUSOK ÉS PÉLDÁK - MATEMATIKA - 2026

A tágulás egy sík geometriai változása, amely egy rögzített pontból (középvonalnak (O)) számítva a távolságot megszorozzuk egy közös tényezővel. Ily módon mindegyik P pont megfelel a transzformáció másik P 'pontjának szorzatának, és ezek igazodnak az O ponttal.

Tehát a homotécia két geometriai ábra közötti összefüggésről szól, ahol az átalakított pontokat homotéziseknek nevezzük, és ezek rögzített ponttal és egymással párhuzamos szegmensekkel vannak egybehangzva.

Homothecy

A homotécia egy olyan átalakulás, amelynek nincs egybeeső képe, mivel egy ábrából egy vagy több, az eredeti alaknál nagyobb vagy kisebb méretű alakot kapunk; vagyis hogy a homotécia egy sokszöget másik hasonlóvá alakít.

A homotécia teljesítéséhez a pont-pont és a vonal közötti vonalnak meg kell egyeznie úgy, hogy a homológ pontok párjai egy harmadik rögzített ponttal legyenek egyeztetve, amely a homológia központja.

Hasonlóképpen, a hozzájuk kapcsolódó vonalpároknak párhuzamosaknak kell lenniük. Az ilyen szegmensek közötti kapcsolat állandó, amelyet homotécia aránynak (k) nevezünk; oly módon, hogy a homoszexualitás meghatározható:

Az ilyen típusú átalakítás végrehajtásához egy önkényes pontot választunk, amely a homotécia központja lesz.

Ettől kezdve a szegmenseket rajzoljuk az átalakítandó ábra minden csúcsához. Az új ábra reprodukciójának skáláját a homotécia aránya adja (k).

Tulajdonságok

A homotécia egyik fő tulajdonsága, hogy a (k) homotézis okán az összes homotézis alak hasonló. Egyéb kiemelkedő tulajdonságok között szerepelnek a következők:

- A homotécia középpontja (O) az egyetlen kettős pont, és ez önmagává alakul; vagyis nem változik.

- A középen áthaladó vonalak önmagukba alakulnak át (kettősek), de az azt alkotó pontok nem kettősek.

- Azok a vonalak, amelyek nem haladnak át a központon, párhuzamos vonalakká alakulnak; Ilyen módon a homotécia szögek változatlanok maradnak.

- A szegmens képe az O közep homokitása és a k arány alapján egy ezzel párhuzamos szegmens, amelynek hossza k-szorosa. Például, amint az a következő képen látható, egy AB szegmens homológia útján egy másik A'B 'szegmenst eredményez, úgy, hogy AB párhuzamos lesz az A'B'-vel, és k értéke:

- A homotézis szögek kongrugensek; vagyis nekik ugyanaz a mérték. Ezért egy szög képe olyan szög, amelynek ugyanaz az amplitúdója.

Másrészt van, hogy a háztartás a k (hányados) értékétől függően változik, és a következő esetek fordulhatnak elő:

- Ha a k = 1 állandó, akkor az összes pont rögzítve van, mert átalakítják magukat. Így a homotézis alak egybeesik az eredeti figurával, és a transzformációt identitásfüggvénynek nevezzük.

- Ha k ≠ 1, akkor az egyetlen rögzített pont a homotézis középpontja (O).

- Ha k = -1, akkor a homológia központi szimmetriává válik (C); azaz forgás lép fel C körül, 180 ^vagy 180 ° -kal.

- Ha k> 1, az átalakított ábra mérete nagyobb lesz, mint az eredeti mérete.

- Ha 0 <k <1, az átalakított ábra mérete kisebb lesz, mint az eredeti.

- Ha -1 <k <0, akkor az átalakított ábra mérete kisebb lesz, és az eredetihez képest elforgatható.

- Ha k <-1, az átalakított ábra mérete nagyobb lesz, és az eredetihez képest elforgatható.

típusai

A homogén állapotot két típusba is sorolhatjuk, az arányuk (k) értékétől függően:

Közvetlen házasság

Ez akkor fordul elő, ha a k> 0 állandó; vagyis a homotézis pontok a központhoz hasonlóan vannak:

Az arányosság tényezője vagy a hasonlóság aránya a közvetlen homotézis adatok között mindig pozitív lesz.

Fordított házasság

Ez akkor fordul elő, ha a k <0 állandó; vagyis a kiindulási pontok és homotetikájuk a homotézia középpontjával szemben ellentétes végein helyezkednek el, de igazodnak hozzá. A központ a két ábra között helyezkedik el:

Az arányosság tényezője vagy a hasonlóság aránya a fordított homotézis adatok között mindig negatív lesz.

Fogalmazás

Ha egymás után több mozgást hajtanak végre, amíg meg nem kapják az eredeti mérettel megegyező számot, akkor a mozgások összetétele megtörténik. Több tétel összetétele szintén mozgás.

A két háztartás közötti összetétel új házasságot eredményez; vagyis van egy olyan homothetia szorzata, amelyben a központ a két eredeti transzformáció középpontjához igazodik, és a (k) arány a két arány szorzata.

Így, az összetétel két homotheties H ₁ (O ₁, k ₁) és a H ₂ (O ₂, k ₂), a szorzás a saját arányok: k ₁ xk ₂ = 1 fogja eredményezni homothecy a K arány ₃ = k ₁ xk ₂. Az új homotécia (O ₃) központja az O ₁ O ₂ vonalon helyezkedik el.

A homotécia lapos és visszafordíthatatlan változásnak felel meg; Ha két olyan homotetikát alkalmaznak, amelyeknek azonos a középpontja és az arányuk, de eltérő jelük van, akkor az eredeti ábra lesz meghatározva.

Példák

Első példa

Vigyen homológiát az adott középpont (O) sokszögére, amely az A ponttól 5 cm-re helyezkedik el és amelynek aránya k = 0,7.

Megoldás

Bármelyik pontot választják a homotécia középpontjába, és ettől a ponttól a sugarak az ábra csúcsain keresztül húzódnak:

A központ (O) és az A pont közötti távolság OA = 5; Ezzel meg lehet határozni az egyik homotetikus pont (OA ') távolságát, azt is tudva, hogy k = 0,7:

OA '= kx OA.

OA '= 0,7 x 5 = 3,5.

A folyamat elvégezhető minden csúcsra, vagy a homotézis sokszög is felhívható, emlékezve arra, hogy a két sokszögnek párhuzamos oldalai vannak:

Végül az átalakulás így néz ki:

Második példa

Vigyen homológiát az adott sokszög középpontjába (O), amely 8,5 cm-re helyezkedik el a C ponttól és amelynek y-aránya k = -2.

Megoldás

A középérték (O) és a C pont közötti távolság OC = 8,5; Ezekkel az adatokkal meg lehet határozni az egyik homotikus pont (OC ') távolságát, azt is tudva, hogy k = -2:

OC '= kx OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

A transzformált sokszög csúcsainak szegmenseinek rajzolása után azt látjuk, hogy a kiindulási pontok és homotéziseik a középpont ellenkező végén helyezkednek el:

Irodalom

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Műszaki rajz: tevékenységi jegyzetfüzet.
2. Antonio Álvarez de la Rosa, JL (2002). Affinitás, homológia és homotécia.
3. Baer, ​​R. (2012). Lineáris algebra és projektív geometria. Courier Corporation.
4. Hebert, Y. (1980). Általános matematika, valószínűségek és statisztikák.
5. Meserve, BE (2014). A geometria alapvető fogalmai. Courier Corporation.
6. Nachbin, L. (1980). Bevezetés az algebraba. Reverte.