PITAGORÓI IDENTITÁSOK: DEMONSTRÁCIÓ, PÉLDA, GYAKORLATOK - MATEMATIKA - 2026

A Pitagóra-identitások mind olyan trigonometrikus egyenletek, amelyek a szög bármely értékére vonatkoznak, és a Pitagora-tételre épülnek. A pitagorói identitások közül a leghíresebb az alapvető trigonometrikus identitás:

Sin ² (α) + Cos ² (α) = 1

1. ábra. Pitagorói trigonometrikus identitások.

Következő jelentőségű, és az érintő és szekanta pitagorói identitását használom:

Tan ² (α) + 1 = Sec ² (α)

És a pitagorai trigonometrikus azonosság, amely magában foglalja a növénytanot és a kasztánsot:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

Demonstráció

A szinusz és a kosinus trigonometrikus arányát egy első sugara körén (1) mutatjuk be, amelyet trigonometrikus körnek hívunk. Az említett kör középpontja az O koordináták kezdete.

A szöget az X pozitív féltengelyétől mérjük, például a 2. ábrán az α szöget (lásd alább). Az óramutató járásával ellentétes irányban, ha a szög pozitív, és az óramutató járásával megegyező irányban, ha a szög negatív.

Meghúzzuk az O eredetű és az α szöget tartalmazó sugarat, amely elfogja a mértékegység körét a P pontban. A P pontot merőlegesen vetítik az X vízszintes tengelyen, és ez C pontot eredményez. Hasonlóképpen P is merőlegesen vetül az Y függőleges tengelyen, így helyezze az S pontot

Megfelelő OCP háromszög van C-nél.

Szinusz és koszinusz

Emlékeztetni kell arra, hogy a szinusz trigonometrikus arányát a derékszögű háromszög a következőképpen határozza meg:

A háromszög szögének szinusza a szöget ellentétes láb és a háromszög hipotenusza közötti arány vagy hányados.

A 2. ábra OCP háromszögére alkalmazva a következőképpen néz ki:

Sen (α) = CP / OP

de CP = OS és OP = 1, így:

Sen (α) = OS

Ami azt jelenti, hogy az Y tengelyen lévő vetítő OS értéke megegyezik a megjelenített szög szinuszával. Meg kell jegyezni, hogy a szög (+1) szinuszának legnagyobb értéke akkor fordul elő, ha α = 90º, és a minimum (-1), ha α = -90º vagy α = 270º.

2. ábra. A trigonometrikus kör a Pitagorasz tétel és az alapvető trigonometrikus identitás kapcsolatát mutatja. (Saját kidolgozás)

Hasonlóképpen, egy szög koszinusa a hányados a szög melletti láb és a háromszög hipotenusza között.

A 2. ábra OCP háromszögére alkalmazva a következőképpen néz ki:

Cos (α) = OC / OP

de OP = 1, így:

Cos (α) = OC

Ez azt jelenti, hogy az X tengelyen az OC vetület értéke megegyezik a bemutatott szög szinuszával. Meg kell jegyezni, hogy a koszinusz maximális értéke (+1) akkor fordul elő, ha α = 0º vagy α = 360º, míg a koszinusz minimális értéke (-1), ha α = 180º.

Az alapvető identitás

A jobb oldali OCP háromszögre a C-ben a Pythagora-tételt kell alkalmazni, amely kimondja, hogy a lábak négyzetének összege megegyezik a hipotenusz négyzetével:

CP ² + OC ² = OP ²

De már azt mondták, hogy CP = OS = Sen (α), hogy OC = Cos (α) és az OP = 1, tehát az előző kifejezést át lehet írni a szög szinusz és kosinususának függvényében:

Sin ² (α) + Cos ² (α) = 1

Az érintő tengelye

Ugyanúgy, ahogyan a trigonometrikus körben az X tengely a koszinusz tengely és az Y tengely a szinusz tengely, ugyanúgy van az érintő tengely (lásd a 3. ábrát), amely pontosan az egység körének érintő vonala a ponton B koordináták (1, 0).

Ha meg akarja tudni a szög érintőinek értékét, akkor a szöget az X pozitív féltengelyéből húzzuk, a szög metszete az érintő tengelyével Q pontot határoz meg, az OQ szegmens hossza a szög.

Ennek oka az, hogy definíció szerint az α szög érintője a szomszédos OB láb közötti QB ellentétes láb. Vagyis Tan (α) = QB / OB = QB / 1 = QB.

3. ábra. Az érintő tengelyét és az érintő Pythagora-identitását mutató trigonometrikus kör. (Saját kidolgozás)

Az érintő pitagorói identitása

Az érintő Pitagora-i identitása a jobb oldali OBQ háromszög figyelembevételével igazolható B pontnál (3. ábra). A Pitagorasi tételt alkalmazva erre a háromszögre, akkor BQ ² + OB ² = OQ ². De már azt mondták, hogy BQ = Tan (α), hogy OB = 1 és hogy OQ = Sec (α), tehát a pitagorói egyenlőség helyett az OBQ derékszögű háromszöget megkapjuk:

Tan ² (α) + 1 = Sec ² (α).

Példa

Ellenőrizze, hogy az AB = 4 és BC = 3 lábak jobb háromszögében teljesülnek-e a pitagorói identitások.

Megoldás: A lábak ismertek, meg kell határozni a hipotenusz mértékét, amely a következő:

AC = √ (AB ^ 2 + BC ^ 2) = √ (4 ^ 2 + 3 ^ 2) = √ (16 + 9) = √ (25) = 5.

A ∡BAC szöget α, ∡BAC = α-nak nevezzük. Most meghatározzuk a trigonometrikus arányokat:

Sen α = BC / AC = 3/5

Cos α = AB / AC = 4/5

Tehát α = BC / AB = 3/4

Cotan α = AB / BC = 4/3

Sec α = AC / AB = 5/4

Csc α = AC / BC = 5/3

Az alapvető trigonometrikus identitással kezdődik:

Sin ² (α) + Cos ² (α) = 1

(3/5) ^ 2 + (4/5) ^ 2 = 9/25 + 16/25 = (9 + 16) / 25 = 25/25 = 1

Megállapítottam, hogy teljesül.

- A következő pitagorói identitás az érintő:

Tan ² (α) + 1 = Sec ² (α)

(3/4) ^ 2 + 1 = 9/16 + 16/16 = (9 + 16) / 16 = 25/16 = (5/4) ^ 2

Megállapítottam, hogy az érintő identitása ellenőrizve van.

- hasonlóan a növénytanhoz:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

1+ (4/3) ^ 2 = 1 + 16/9 = 25/9 = (5/3) ^ 2

Arra a következtetésre jutottam, hogy teljesült, amellyel befejeződött az adott háromszög pitagorói identitásainak ellenőrzési feladata.

Megoldott gyakorlatok

Bizonyítsuk be a következő azonosságokat, a trigonometrikus arányok és a pitagorói identitások meghatározása alapján.

1. Feladat

Bizonyítsuk be, hogy Cos ² x = (1 + Sin x) (1 - Sin x).

Megoldás: A jobb oldalon felismerjük annak a figyelemre méltó eredményét, hogy a binomiális anyagot megszorozzuk annak konjugátumával, amely, mint tudjuk, négyzetkülönbség:

Cos ² x = 1 ² - Sin ² x

Ezután a jobb oldali szinuszos kifejezés balra változik, amikor a jel megváltozott:

Cos ² x + Sen ² x = 1

Megállapítva, hogy az alapvető trigonometrikus identitást elérték, tehát arra a következtetésre juthatunk, hogy a megadott kifejezés identitás, azaz igaz minden x értékre.

2. gyakorlat

Az alapvető trigonometrikus identitástól kezdve és a trigonometrikus arányok meghatározását használva igazolja a hűtőközeg pitagorói identitását.

Megoldás: Az alapvető identitás:

Sin ² (x) + Cos ² (x) = 1

Mindkét tagot Sen ² (x) osztja meg, és a nevező az első tagban van elosztva:

Sin ² (x) / Sin ² (x) + Cos ² (x) / Sin ² (x) = 1 / Sin ² (x)

Egyszerűsített:

1 + (Cos (x) / Sen (x)) ^ 2 = (1 / Sen (x)) ^ 2

Cos (x) / Sen (x) = Cotan (x) egy (nem Pitagora) identitás, amelyet a trigonometrikus arányok meghatározása igazol. Ugyanez történik a következő identitással: 1 / Sen (x) = Csc (x).

Végül:

1 + Ctg ² (x) = Csc ² (x)

Irodalom

1. Baldor J. (1973). Sík- és űrgeometria a trigonometria bevezetésével. Közép-amerikai kulturális. AC
2. CEA (2003). Geometriai elemek: gyakorlatokkal és iránytű geometriával. Medellini Egyetem.
3. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematika 2. Grupo Editorial Patria.
4. IGER. (Sf). Matematika első félév Tacaná. IGER.
5. Jr. geometria. (2014). Sokszög. Lulu Press, Inc.
6. Miller, Heeren és Hornsby. (2006). Matematika: érvelés és alkalmazások (tizedik kiadás). Pearson oktatás.
7. Patiño, M. (2006). Matematika 5. Szerkesztési progreso.
8. Wikipedia. Trigonometria azonosságok és képletek. Helyreállítva: es.wikipedia.com