- Származás és történelem
- Arisztotelész
- Mit tanul a matematikai logika?
- Tézisek
- Igazság táblázatok
- A matematikai logika típusai
- területek
- Irodalom
A matematikai logika vagy a szimbolikus logika egy matematikai nyelv, amely magában foglalja azokat az eszközöket, amelyek segítségével megerősítheti vagy tagadhatja a matematikai érvelést.
Köztudott, hogy a matematikában nincsenek kétértelműségek. Matematikai érvelés alapján vagy érvényes, vagy egyszerűen nem. Nem lehet hamis és igaz ugyanakkor.
A matematika egyik sajátossága, hogy formális és szigorú nyelve van, amely alapján meg lehet határozni egy érv érvényességét. Mi okozza egy bizonyos érvelés vagy matematikai bizonyíték megdönthetetlenségét? Erről szól a matematikai logika.
A logika tehát a matematika tudományága, amely felelős a matematikai érvelés és a bizonyítás tanulmányozásáért, valamint az eszközök biztosításáért, hogy a korábbi állításokból vagy állításokból következtetéseket vonhassanak le.
Ehhez axiómákat és más matematikai szempontokat használnak, amelyeket később fejlesztenek.
Származás és történelem
A matematikai logika számos szempontja tekintetében a pontos dátumok bizonytalanok. A témában található bibliográfiák többsége azonban eredete az ókori Görögországig vezethető vissza.
Arisztotelész
A logika szigorú kezelésének kezdetét részben Arisztotelésznek tulajdonítják, aki logikai művek sorozatát írta, amelyeket később a filozófusok és tudósok összegyűjtöttek és fejlesztettek ki a középkorig. Ezt "a régi logikának" lehetne tekinteni.
Később, a kortárs korban, Leibnizben egy mély vágy állt elő, hogy egyetemes nyelvet hozzon létre a matematikai érvelés érdekében, és más matematikusok, például Gottlob Frege és Giuseppe Peano, nagymértékben befolyásolták a matematikai logika fejlődését. köztük a Peano-Axiómák, amelyek meghatározzák a természetes számok nélkülözhetetlen tulajdonságait.
A matematikusok, George Boole és Georg Cantor szintén nagy befolyást gyakoroltak ebben az időben, fontos hozzájárulással a meghatározott elméleti és igazságtáblákhoz, kiemelve többek között a logikai algebrát (George Boole készítette) és a választott axiómát. (George Cantor).
Van még Augustus De Morgan a közismert Morgan-törvényekkel, amelyek megfontolják az állítások, a szimbolikus logika fejlesztésének kulcsainak negatívumait, összekapcsolásait, diszjuncióit és feltételrendszereit, valamint Jhon Venn a híres Venn diagramokkal.
A 20. században, körülbelül 1910 és 1913 között, Bertrand Russell és Alfred North Whitehead kiemelkedik a Principia mateica kiadásával, amely olyan könyvkészlet, amely a logika axiómáinak és eredményeinek sorozatát gyűjti, fejleszti és posztulálja.
Mit tanul a matematikai logika?
Tézisek
A matematikai logika az állítások tanulmányozásával kezdődik. A javaslat egy olyan állítás, amely kétértelműség nélkül elmondható, ha igaz, vagy sem. A következő példák a javaslatokra:
- 2 + 4 = 6.
- 5 2 = 35.
- 1930-ban földrengés történt Európában.
Az első egy igaz állítás, a második egy hamis állítás. A harmadik, annak ellenére, hogy az olvasó nem tudja, hogy igaz-e vagy azonnal, egy állítás, amelyet tesztelni lehet és meg lehet határozni, hogy valóban történt-e vagy sem.
Az alábbiakban példák a kifejezésekre, amelyek nem állítások:
- Szőke.
- 2x = 6.
- Játsszunk!
- Szereted a filmeket
Az első állításban nincs meghatározva, ki "ő", ezért semmit nem lehet megerősíteni. A második javaslatban nem határoztuk meg, hogy az "x" melyik jelentése. Ha ehelyett azt mondanák, hogy valamilyen x természetes szám esetén 2x = 6, akkor ez egy állításnak felel meg, valójában igaz, mivel x = 3 esetében ez teljesül.
Az utolsó két állítás nem felel meg egy állításnak, mivel nem lehet tagadni vagy megerősíteni őket.
Két vagy több javaslat kombinálható (vagy összekapcsolható) közismert logikai összeköttetések (vagy csatlakozók) használatával. Ezek:
- Tagadás: "nem esik."
- Diszjunktus: "Luisa fehér vagy szürke táskát vásárolt."
- Összekapcsolás: "4 2 = 16 és 2 × 5 = 10".
- Feltételes: "Ha esik, akkor ma délután nem megyek az edzőterembe."
- Bicondition: "Ma délután megyek az edzőterembe, és csak akkor, ha nem esik."
Egy olyan állítást, amely nem rendelkezik a korábbi összeköttetésekkel, egyszerű (vagy atomi) javaslatnak nevezzük. Például a "2 kisebb, mint 4" egy egyszerű állítás. Azokat a javaslatokat, amelyek valamilyen kötőképességgel bírnak, összetett állításoknak nevezzük, például: "1 + 3 = 4 és 4 páros szám".
Az állítások révén tett állítások általában hosszúak, ezért unalmas az, hogy ezeket mindig írjuk, ahogy eddig láttuk. Ezért szimbolikus nyelvet használunk. Az állításokat általában nagybetűkkel jelölik, például P, Q, R, S stb. És a szimbolikus összeköttetések a következők szerint:
Szóval
A feltételes állítás fordítottja
a javaslat
És a számláló kölcsönös (vagy contrapositive) a javaslat
a javaslat
Igazság táblázatok
A logika másik fontos fogalma az igazságtáblák fogalma. A javaslat igazságértékei a két lehetőségnek szólnak: igaz (amelyet V jelöl, és azt fogják mondani, hogy az igazság értéke V) vagy hamis (amelyet F jelöl, és azt mondják, hogy értéke valóban F).
Egy összetett állítás valós értéke kizárólag a benne megjelenő egyszerű állítások igazságértékeitől függ.
Általánosabban véve, nem a konkrét állításokat vesszük figyelembe, hanem a p, q, r, s stb. Állítási változókat, amelyek bármilyen javaslatot képviselnek.
Ezekkel a változókkal és a logikai összeköttetésekkel a közismert javaslati képletek alakulnak ki, ahogy az összetett állítások is felépülnek.
Ha az állítási képletben megjelenő valamennyi változót egy javaslat helyettesíti, akkor összetett javaslatot kapunk.
Az alábbiakban bemutatjuk a logikai csatlakozók igazságtábláit:
Vannak olyan javaslati képletek, amelyek csak az V. értéket veszik fel az igazságtáblájukban, azaz az igazságtáblázat utolsó oszlopában csak az V. érték szerepel. Az ilyen típusú képletek tautológiákként ismertek. Például:
Az alábbiakban bemutatjuk a képlet igazságát
Az α képlet logikusan egy másik β képletet jelent, ha α igaz minden alkalommal, amikor β igaz. Vagyis az α és β igazságtáblázatában azok a sorok, ahol α V-vel rendelkezik, β-nek is van V. Csak azokat a sorokat érdekeljük, amelyekben α értéke V. A logikai implikáció jelölése a következő::
Az alábbi táblázat összefoglalja a logikai implikáció tulajdonságait:
Két állítási képletet logikailag ekvivalensnek mondnak, ha igazságtábláik azonosak. A következő jelölést használjuk a logikai egyenértékűség kifejezésére:
A következő táblázatok összefoglalják a logikai egyenértékűség tulajdonságait:
A matematikai logika típusai
A logikának különféle típusai vannak, különösen, ha figyelembe vesszük a filozófiára mutató gyakorlati vagy informális logikát, többek között.
A matematikát illetően a logika típusait össze lehet foglalni:
- Forma vagy arisztotelész logika (ősi logika).
- Propozicionális logika: felelős az érvek és állítások érvényességéhez kapcsolódó minden formális és szimbolikus nyelv használatával történő vizsgálatáért.
- Szimbolikus logika: a halmazok és azok tulajdonságainak tanulmányozására összpontosít, formális és szimbolikus nyelven is, és szorosan kapcsolódik a javaslati logikához.
- Kombinatorikus logika: az egyik legújabb fejlesztésű, eredményeket tartalmaz, amelyeket algoritmusok segítségével lehet kidolgozni.
- Logikai programozás: a különféle csomagokban és programozási nyelveken használható.
területek
A matematikai logikát érvelés és érvelés fejlesztésében nélkülözhetetlen módon felhasználó területek közül kiemelkedik a filozófia, a set elmélet, a szám elmélet, az algebrai konstruktív matematika és a programozási nyelv.
Irodalom
- Aylwin, CU (2011). Logika, készletek és számok. Mérida - Venezuela: Publikációs Tanács, Universidad de Los Andes.
- Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., és Soto, A. (1998). Bevezetés a számelméletbe. EUNED.
- Castañeda, S. (2016). A számelmélet alapvető kurzusa. Északi Egyetem.
- Cofré, A. és Tapia, L. (1995). Hogyan dolgozzunk ki matematikai logikai érvelést? Egyetemi Kiadó.
- Zaragoza, AC (sf). Számelmélet Szerkesztői látomás Libros.