- Az exponensek törvényének magyarázata
- Első törvény: az exponens hatalma egyenlő 1-gyel
- Példák
- Második törvény: a kitevő teljesítménye nullával egyenlő
- Példák
- Harmadik törvény: negatív kitevő
- Példák
- Negyedik törvény: a hatalom szorzata azonos bázissal
- Példák
- Ötödik törvény: a hatalommegosztás azonos bázissal
- Példák
- Hatodik törvény: a hatalom megsokszorozása különböző alapokkal
- Példák
- Példák
- Hetedik törvény: a hatalommegosztás különböző alapokkal
- Példák
- Példák
- Nyolcadik törvény: egy hatalom hatalma
- Példák
- Kilencedik törvény: tört kitevő
- Példa
- Megoldott gyakorlatok
- 1. Feladat
- Megoldás
- 2. gyakorlat
- Megoldás
- Irodalom
Az exponensek törvényei vonatkoznak arra a számra, amely jelzi, hogy hányszor kell egy alap számot szorozni. Az exponenseket hatalmaknak is nevezzük. A felhatalmazás egy matematikai művelet, amelyet egy alap (a), az exponens (m) és a (b) teljesítmény alkot, amely a művelet eredménye.
Az exponenseket általában akkor használják, ha nagyon nagy mennyiségeket használnak, mert ezek nem más, mint rövidítések, amelyek ugyanazon szám szorozását jelzik bizonyos hányszor. Az exponensek lehetnek pozitív és negatív is.

Az exponensek törvényének magyarázata
Mint már korábban kijelentettük, az exponensek egy rövidített forma, amely a számok egymáshoz való szorzását képviseli, ahol az exponens csak a bal oldali számra vonatkozik. Például:
2 3 = 2 * 2 * 2 = 8
Ebben az esetben a 2-es szám az energia alapja, amelyet háromszor meg kell szorozni, amint azt az exponens jelzi, amely az alap jobb felső sarkában található. A kifejezés olvasásának különböző módjai vannak: 2 emelt 3-ra vagy 2 emelt a kocka felé.
A kitevők azt is megmutatják, hányszor lehet osztani, és hogy meg lehessen különböztetni ezt a mûveletet a szorzásról, a kitevõnek mínuszjele (-) van elõtte (ez negatív), ami azt jelenti, hogy a kitevõ egy töredék. Például:
2 - 4 = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 1/16
Ezt nem szabad összekeverni azzal az esettel, amikor az alap negatív, mivel attól függ, hogy a kitevő páratlan-e, vagy akár annak meghatározására, hogy a teljesítmény pozitív vagy negatív-e. Tehát:
- Ha az exponens egyenletes, akkor a teljesítmény pozitív lesz. Például:
(-7) 2 = -7 * -7 = 49.
- Ha a kitevő páratlan, akkor a teljesítmény negatív lesz. Például:
(- 2) 5 = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) = - 32.
Van egy különleges eset, amikor a kitevő értéke 0, akkor a teljesítmény egyenlő 1. Arra is lehetősége van, hogy az alap 0; ebben az esetben az exponenstől függően a teljesítmény határozatlan lesz vagy sem.
Az exponensekkel végzett matematikai műveletek végrehajtásához számos szabályt vagy normát kell követni, amelyek megkönnyítik a megoldás megtalálását ezekre a műveletekre.
Első törvény: az exponens hatalma egyenlő 1-gyel
Ha az exponens 1, az eredmény megegyezik az alap értékével: a 1 = a.

Példák
9 1 = 9.
22 1 = 22.
895 1 = 895.
Második törvény: a kitevő teljesítménye nullával egyenlő
Ha az exponens 0, ha az alap nulla, az eredmény: a 0 = 1.

Példák
1 0 = 1.
323 0 = 1.
1095 0 = 1.
Harmadik törvény: negatív kitevő
Mivel az exponátum negatív, az eredmény egy tört lesz, ahol a hatalom lesz a nevező. Például, ha m pozitív, akkor a -m = 1 / a m.

Példák
- 3 -1 = 1/3.
- 6 -2 = 1/6 2 = 1/36.
- 8 -3 = 1/8 3 = 1/512.
Negyedik törvény: a hatalom szorzata azonos bázissal
A hatalom megsokszorozására, ahol az alapok egyenlőek és 0-tól eltérnek, akkor az alap megmarad, és az exponenseket hozzáadjuk: a m * a n = a m + n.

Példák
- 4 4 * 4 3 = 4 4 + 3 = 4 7
- 8 1 * 8 4 = 8 1 + 4 = 8 5
- 2 2 * 2 9 = 2 2 + 9 = 2 11
Ötödik törvény: a hatalommegosztás azonos bázissal
Az olyan hatalom megosztásához, amelyben az alapok egyenlőek és különböznek a 0-tól, megtartják az alapot, és az exponenseket a következők szerint vonják le: a m / a n = a m-n.

Példák
- 9 2 /9 1 = 9 (2 - 1) = 9 1.
- 6 15- / 6 Október = 6 (15-10) = 6 5.
- 49. december / 49 6 = 49 (12–6) = 49 6.
Hatodik törvény: a hatalom megsokszorozása különböző alapokkal
Ez a törvény ellentétes azzal, amit a negyedik fejez ki; vagyis ha különböző bázisok vannak, de ugyanazokkal az exponensekkel, az bázisok megsokszorozódnak és az exponenst megtartják: a m * b m = (a * b) m.

Példák
- 10 2 * 20 2 = (10 * 20) 2 = 200 2.
- 45 11 * 9 11 = (45 * 9) 11 = 405 11.
Egy másik módja ennek a törvénynek a képviselésére, ha a szorzás hatalomra növekszik. Így az exponens az egyes kifejezések mindegyikéhez tartozik: (a * b) m = a m * b m.
Példák
- (5 * 8) 4 = 5 4 * 8 4 = 40 4.
- (23 * 7) 6 = 23 6 * 7 6 = 161 6.
Hetedik törvény: a hatalommegosztás különböző alapokkal
Ha különböző bázisai vannak, de azonos exponensekkel, ossza meg az alapokat és tartsa meg a kitevőt: a m / b m = (a / b) m.

Példák
- 30 3 /2 3 = (2/30) 3 = 15 3.
- 440 4 /80 4 = (440/80) 4 = 5,5 4.
Hasonlóképpen, ha egy osztás egy hatalomra növekszik, az exponens mindkét fogalomhoz tartozik: (a / b) m = a m / b m.
Példák
- (8/4) 8 = 8 8 /4 8 = 2 8.
- (25/5) 2 = 25 2 /5 2 = 5 2.
Előfordulhat, hogy a kitevő negatív. Ezután, hogy pozitív legyen, a számláló értékét a nevező értékével invertáljuk, az alábbiak szerint:
- (a / b) -n = (b / a) n = b n / a n.
- (4/5) -9 = (5/4) 9 = 5 9 /4 4.
Nyolcadik törvény: egy hatalom hatalma
Ha van egy olyan energiád, amelyet egy másik energiára emelnek, azaz két exponenst egyidejűleg, akkor az alap megmarad és az exponensek megsokszorozódnak: (a m) n = a m * n.

Példák
- (8 3) 2 = 8 (3 * 2) = 8 6.
- (13 9) 3 = 13 (9 * 3) = 13 27.
- (238 10) 12 = 238 (10 * 12) = 238 120.
Kilencedik törvény: tört kitevő
Ha a hatalomnak egy törtje van kitevőként, akkor ezt úgy oldják meg, hogy n-edik gyökérré alakítják át, ahol a számláló exponensen marad, és a nevező képviseli a gyökérindexet:

Példa

Megoldott gyakorlatok
1. Feladat
Számítsa ki a különböző alapokkal rendelkező hatalmak közötti műveleteket:
2 4 * 4 4 /8 2.
Megoldás
Az exponensek szabályainak alkalmazásával az alapokat megszorozzuk a számlálóban, és az exponent fenntartjuk a következő módon:
2 4 * 4 4 /8 2 = (2 * 4) 4 /8 2 = 8 4 /8 2
Most, mivel ugyanazok a bázisok vannak, de különböző exponensekkel, az alapot megtartjuk, és az exponenseket kivonjuk:
8 4 /8 2 = 8 (4-2) = 8 2
2. gyakorlat
Számítsa ki a másik hatalomra felvetett erők közötti műveleteket:
(3 2) 3 * (2 * 6 5) -2 * (2 2) 3
Megoldás
A törvények alkalmazásával:
(3 2) 3 * (2 * 6 5) -2 * (2 2) 3
= 3 6 * 2 -2 * 2 -10 * 2 6
= 3 6 * 2 (-2) + (- 10) * 2 6
= 3 6 * 2 -12 * 2 6
= 3 6 * 2 (-12) + (6)
= 3 6 * 2 6
= (3 * 2) 6
= 6 6
= 46,656
Irodalom
- Aponte, G. (1998). Az alapvető matematika alapjai. Pearson oktatás.
- Corbalán, F. (1997). A matematika a mindennapi életben.
- Jiménez, JR (2009). Matematika 1. szeptember.
- Max Peters, WL (1972). Algebra és trigonometria.
- Rees, PK (1986). Reverte.
