AZ EXPONENSEK TÖRVÉNYEI (PÉLDÁKKAL ÉS MEGOLDOTT FELADATOKKAL) - MATEMATIKA - 2026

Az exponensek törvényei vonatkoznak arra a számra, amely jelzi, hogy hányszor kell egy alap számot szorozni. Az exponenseket hatalmaknak is nevezzük. A felhatalmazás egy matematikai művelet, amelyet egy alap (a), az exponens (m) és a (b) teljesítmény alkot, amely a művelet eredménye.

Az exponenseket általában akkor használják, ha nagyon nagy mennyiségeket használnak, mert ezek nem más, mint rövidítések, amelyek ugyanazon szám szorozását jelzik bizonyos hányszor. Az exponensek lehetnek pozitív és negatív is.

Az exponensek törvényének magyarázata

Mint már korábban kijelentettük, az exponensek egy rövidített forma, amely a számok egymáshoz való szorzását képviseli, ahol az exponens csak a bal oldali számra vonatkozik. Például:

2 ³ = 2 * 2 * 2 = 8

Ebben az esetben a 2-es szám az energia alapja, amelyet háromszor meg kell szorozni, amint azt az exponens jelzi, amely az alap jobb felső sarkában található. A kifejezés olvasásának különböző módjai vannak: 2 emelt 3-ra vagy 2 emelt a kocka felé.

A kitevők azt is megmutatják, hányszor lehet osztani, és hogy meg lehessen különböztetni ezt a mûveletet a szorzásról, a kitevõnek mínuszjele (-) van elõtte (ez negatív), ami azt jelenti, hogy a kitevõ egy töredék. Például:

2 ^{- 4} = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 1/16

Ezt nem szabad összekeverni azzal az esettel, amikor az alap negatív, mivel attól függ, hogy a kitevő páratlan-e, vagy akár annak meghatározására, hogy a teljesítmény pozitív vagy negatív-e. Tehát:

- Ha az exponens egyenletes, akkor a teljesítmény pozitív lesz. Például:

(-7) ² = -7 _* -7 = 49.

- Ha a kitevő páratlan, akkor a teljesítmény negatív lesz. Például:

(- 2) ⁵ = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) = - 32.

Van egy különleges eset, amikor a kitevő értéke 0, akkor a teljesítmény egyenlő 1. Arra is lehetősége van, hogy az alap 0; ebben az esetben az exponenstől függően a teljesítmény határozatlan lesz vagy sem.

Az exponensekkel végzett matematikai műveletek végrehajtásához számos szabályt vagy normát kell követni, amelyek megkönnyítik a megoldás megtalálását ezekre a műveletekre.

Első törvény: az exponens hatalma egyenlő 1-gyel

Ha az exponens 1, az eredmény megegyezik az alap értékével: a ¹ = a.

Példák

9 ¹ = 9.

22 ¹ = 22.

895 ¹ = 895.

Második törvény: a kitevő teljesítménye nullával egyenlő

Ha az exponens 0, ha az alap nulla, az eredmény: a ⁰ = 1.

Példák

1 ⁰ = 1.

323 ⁰ = 1.

1095 ⁰ = 1.

Harmadik törvény: negatív kitevő

Mivel az exponátum negatív, az eredmény egy tört lesz, ahol a hatalom lesz a nevező. Például, ha m pozitív, akkor a ^-m = 1 / a ^m.

Példák

- 3 ^-1 = 1/3.

- 6 ^-2 = 1/6 ² = 1/36.

- 8 ^-3 = 1/8 ³ = 1/512.

Negyedik törvény: a hatalom szorzata azonos bázissal

A hatalom megsokszorozására, ahol az alapok egyenlőek és 0-tól eltérnek, akkor az alap megmarad, és az exponenseket hozzáadjuk: a ^m _* a ⁿ = a ^{m + n}.

Példák

- 4 ⁴ _* 4 ³ = 4 ^{4 + 3} = 4 ⁷

- 8 ¹ _* 8 ⁴ = 8 ^{1 + 4} = 8 ⁵

- 2 ² _* 2 ⁹ = 2 ^{2 + 9} = 2 ¹¹

Ötödik törvény: a hatalommegosztás azonos bázissal

Az olyan hatalom megosztásához, amelyben az alapok egyenlőek és különböznek a 0-tól, megtartják az alapot, és az exponenseket a következők szerint vonják le: a ^m / a ⁿ = a ^m-n.

Példák

- 9 ² /9 ¹ = 9 ^{(2 - 1)} = 9 ¹.

- 6 ^15- / 6 ^Október = 6 ^(15-10) = 6 ⁵.

- 49. ^december / 49 ⁶ = 49 ^(12–6) = 49 ⁶.

Hatodik törvény: a hatalom megsokszorozása különböző alapokkal

Ez a törvény ellentétes azzal, amit a negyedik fejez ki; vagyis ha különböző bázisok vannak, de ugyanazokkal az exponensekkel, az bázisok megsokszorozódnak és az exponenst megtartják: a ^m _* b ^m = (a _* b) ^m.

Példák

- 10 ² _* 20 ² = (10 _* 20) ² = 200 ².

- 45 ¹¹ _* 9 ¹¹ = (45 * 9) ^{11 =} 405 ¹¹.

Egy másik módja ennek a törvénynek a képviselésére, ha a szorzás hatalomra növekszik. Így az exponens az egyes kifejezések mindegyikéhez tartozik: (a _* b) ^m = a ^m _* b ^m.

Példák

- (5 _* 8) ⁴ = 5 ⁴ _* 8 ⁴ = 40 ⁴.

- (23 * 7) ⁶ = 23 ⁶ _* 7 ⁶ = 161 ⁶.

Hetedik törvény: a hatalommegosztás különböző alapokkal

Ha különböző bázisai vannak, de azonos exponensekkel, ossza meg az alapokat és tartsa meg a kitevőt: a ^m / b ^m = (a / b) ^m.

Példák

- 30 ³ /2 ³ = (2/30) ³ = 15 ³.

- 440 ⁴ /80 ⁴ = (440/80) ⁴ = 5,5 ⁴.

Hasonlóképpen, ha egy osztás egy hatalomra növekszik, az exponens mindkét fogalomhoz tartozik: (a / b) ^m = a ^m / b ^m.

Példák

- (8/4) ⁸ = 8 ⁸ /4 ⁸ = 2 ⁸.

- (25/5) ² = 25 ² /5 ² = 5 ².

Előfordulhat, hogy a kitevő negatív. Ezután, hogy pozitív legyen, a számláló értékét a nevező értékével invertáljuk, az alábbiak szerint:

- (a / b) ^-n = (b / a) ⁿ = b ⁿ / a ⁿ.

- (4/5) ^-9 = (5/4) ⁹ = 5 ⁹ /4 ⁴.

Nyolcadik törvény: egy hatalom hatalma

Ha van egy olyan energiád, amelyet egy másik energiára emelnek, azaz két exponenst egyidejűleg, akkor az alap megmarad és az exponensek megsokszorozódnak: (a ^m) ⁿ = a ^{m * n}.

Példák

- (8 ³) ² = 8 ^{(3 * 2)} = 8 ⁶.

- (13 ⁹) ³ = 13 ^{(9 * 3)} = 13 ²⁷.

- (238 ¹⁰) ¹² = 238 ^{(10 * 12)} = 238 ¹²⁰.

Kilencedik törvény: tört kitevő

Ha a hatalomnak egy törtje van kitevőként, akkor ezt úgy oldják meg, hogy n-edik gyökérré alakítják át, ahol a számláló exponensen marad, és a nevező képviseli a gyökérindexet:

Példa

Megoldott gyakorlatok

1. Feladat

Számítsa ki a különböző alapokkal rendelkező hatalmak közötti műveleteket:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ².

Megoldás

Az exponensek szabályainak alkalmazásával az alapokat megszorozzuk a számlálóban, és az exponent fenntartjuk a következő módon:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² = (2 _* 4) ⁴ /8 ² = 8 ⁴ /8 ²

Most, mivel ugyanazok a bázisok vannak, de különböző exponensekkel, az alapot megtartjuk, és az exponenseket kivonjuk:

8 ⁴ /8 ² = 8 ^(4-2) = 8 ²

2. gyakorlat

Számítsa ki a másik hatalomra felvetett erők közötti műveleteket:

(3 ²) ³ _* (2 _* 6 ⁵) ^-2 _* (2 ²) ³

Megoldás

A törvények alkalmazásával:

(3 ²) ³ _* (2 _* 6 ⁵) ^-2 _* (2 ²) ³

= 3 ⁶ _* 2 ^-2 _* 2 ^-10 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-2) + (- 10)} _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^-12 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-12) + (6)}

= 3 ⁶ _* 2 ⁶

= (3 _* 2) ⁶

= 6 ⁶

= 46,656

Irodalom

1. Aponte, G. (1998). Az alapvető matematika alapjai. Pearson oktatás.
2. Corbalán, F. (1997). A matematika a mindennapi életben.
3. Jiménez, JR (2009). Matematika 1. szeptember.
4. Max Peters, WL (1972). Algebra és trigonometria.
5. Rees, PK (1986). Reverte.